浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024?2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析）

浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024 2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
3．若复数满足，则复数（ ）
A． B．
C． D．
4．已知平面向量为单位向量，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．3
5．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与动圆，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，若直线与圆相切，则
C．若直线与圆相交截得弦长为定值，则
D．当时，直线截圆的最短弦长为
二、多选题（本大题共3小题）
9．若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部是
B．的共轭复数是
C．的模是
D．在复平面内对应的点在第二象限
10．如图，已知正方体分别是上底面和侧面的中心，判断下列结论正确的是（ ）
A．存在使得
B．任意，使得
C．存在，使得共面
D．任意，使得共面
11．已知曲线的方程，则以下结论正确的是（ ）
A．无论实数取何值，曲线都关于轴成轴对称
B．无论实数取何值，曲线都是封闭图形
C．当时，曲线恰好经过个整点（即横 纵坐标均为整数的点）
D．当时，曲线所围成的区域的面积小于
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知某圆台上下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积是 .
13．已知椭圆的左 右焦点到直线的距离之和为，则离心率取值范围是 .
14．已知正三棱锥的外接球为球是球上任意一点，为的中点，则的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题：
(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：
(2)已知落在成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差；
(3)若该学校安排甲 乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲 乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.
16．在中，内角的对边分别为，若
(1)求的大小；
(2)若是线段上一点，且，求的最大值.
17．在平面直角坐标系中，已知圆与轴相切，且过点
(1)求圆的方程；
(2)过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程.
18．如图所示，已知四棱锥是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且是的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，求四棱锥的体积；
(3)求二面角的平面角的余弦值.
19．已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为.

(1)求椭圆的方程；
(2)当轴，求的面积；
(3)若分别记的斜率分别为，求的最大值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题直线的斜率为，
设直线的倾斜角，则且，
所以倾斜角.
故选：B.
2．【答案】C
【详解】这组数据一共有个，，，则.
这组数据的分位数是第个数，即. 这组数据的平均数为.
因为这组数据的分位数等于它们的平均数，所以.
解得.
故选：C.
3．【答案】D
【详解】满足，则复数.
故选：D.
4．【答案】B
【详解】已知，根据向量模长公式，可得.
展开得到.
因为，是单位向量，所以，即，.
代入上式可得，解得.
同样根据向量模长公式，.
将展开得到.
把，，代入可得：.
所以.
故选：B.
5．【答案】A
【详解】解：若直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，
即，
，即，
∴“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，
故选：A．
6．【答案】C
【详解】已知点和点，则.
向量在上的投影长度.
先求.再求.所以.
根据勾股定理，点到直线的距离.
先求.则.
故选：C.
7．【答案】D
【详解】因为与是对立事件，根据对立事件概率之和为，已知，所以.
根据以及，，通过求出，即。
然后.
根据概率的加法公式，将，，代入可得：.
故选：D.
8．【答案】C
【详解】对于A，将直线整理为.
令，解方程组，得，即，
将代入得，所以直线过定点，故A选项错误.
对于B，当时，直线方程为，即.
圆，圆心，半径.
因为直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即，
或，解得或，故B选项错误.
对于C，圆，圆心，半径.
直线，根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离.
弦长，若弦长为定值，则为定值，与，无关.
当时，，，是定值，故C选项正确.
对于D，当时，求直线截圆的最短弦长
当时，圆，圆心，半径.
直线过定点.
圆心到定点的距离.
根据几何关系，直线截圆的最短弦长，故D选项错误.
9．【答案】BC
【详解】对于A选项， ，这里，，所以的虚部是，A选项错误.
对于B选项，因为，所以的共轭复数，B选项正确.
对于C选项，对于，则，C选项正确.
对于D选项，先计算.
在复平面内对应的点为，这个点在第四象限，D选项错误.
故选：BC.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，，得，A选项正确；
对于B，，
故，B选项错误；
对于C，，则时，共面，
C选项正确；
对于D，正方体中，，，四边形为平行四边形，
都在平面内，所以任意，都有共面，
D选项正确.
故选：ACD.
11．【答案】AC
【详解】对于选项A，设是曲线上任意一点，则其关于轴的对称点为，
又因为，即点也在曲线上，
所以曲线关于轴对称，故选项A正确，
对于选项B，由得到，
故，当时，，此时曲线不封闭，故选项B错误，
对于选项C，当时，曲线为，
当时，代入可得，解得，即曲线经过点，
当时，方程变换为，由，解得，所以只能取整数，
当时，，解得或，即曲线经过，
根据曲线关于轴对称可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，所以选项C正确，
对于选项D，当时，曲线，
当，曲线方程为：即
设，则，其中，
因，故.
当时，则，
若且，则由得，
但此时，矛盾；
故当时，，或，
由C可知此时图形是封闭的，故此时曲线与坐标轴围成的面积大于1，
当时，，此时，
而，，故此时曲线在的下方，
此时曲线与坐标轴围成的面积大于，
由A中曲线的对称性可得曲线围成的面积大于，故D错误.
故选：AC.
12．【答案】
【详解】设圆台高为，根据圆台的母线、高和上下底面半径之差构成直角三角形，
其中母线为斜边.已知，，，根据勾股定理，
，
代入圆台体积公式，
所以.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】由题意，椭圆左右焦点坐标为，
所以，即，
即在数轴上到的距离和为8，故，即，
所以.
故答案为：
14．【答案】
【详解】因为底面是正三角形，.
根据正三角形外接圆半径公式（其中为正三角形的边长），可得.
设正三棱锥的高为，顶点在底面的射影为.
因为为中点，在上，且.
对于正三角形，，则.
在中，，，根据勾股定理.
设外接球半径为，球心在高上.
根据，将，代入可得：
. 展开得.
移项化简得，解得.
因为.
设球心到点的距离为，在中，，，根据勾股定理.
的最小值为，最大值为.
，.
所以的取值范围是.
15．【答案】(1)人
(2)，
(3)
【详解】（1）人，人，不高于50分的抽到人.
（2）由题意可知，解得.
由图中可知：落在的学生人数为30人，落在的学生人数为60人，
故，
.
（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”事件A，
则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
根据正弦定理得，即，
根据余弦定理可知.
（2）由题意在边上一点，且，可得，
，
故，，
故，当且仅当时取到等号，
故，
即的最大值为，当且仅当时取到等号
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在平面直角坐标系中，圆与轴相切，
设圆方程为，又圆过点，
则，
可得，故圆的方程为
（2）显然当直线斜率为0时不合题意，设直线
将直线与圆联立方程组：，整理得，
整理可得，即
可得，
，
化简可得，经验证
所求的直线方程为
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）取的中点是的中位线，
，又，
四边形是平行四边形 ,
，又平面平面.
平面.
（2）取的中点是以为斜边的等腰直角三角形，
取的中点，底面是等腰梯形，.
是二面角的平面角.
连接
，
在中，，
在中，.
，
二面角的平面角.
.
（3）根据第（2）题，二面角的平面角，
平面平面，如图，建系，不妨令，
则
设平面的法向量是
，即，令，解得
设平面的法向量是
，即令，解得
设二面角的平面角大小为
由图可知二面角的平面角为钝角，故余弦值为.

19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意：，
可得：，
故椭圆方程；
（2）设，
当时，由在第一象限，可得，
即，故求得直线方程为，
联立方程，得，
整理得，
，
所以；
（3）设，因为在椭圆上，故，
由题意
故将直线与椭圆联立方程，
代入可得
整理可得：，所以，
即，即
同理：将直线与椭圆联立方程，
代入可得
整理可得：，所以，
即，即，
所以，
故
由在第一象限内，故
的最大值为，当且仅当在处取到等号.