广东省“金太阳联考”2025届高三11月数学试题（含答案）

广东省“金太阳联考”2025届高三11月数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.如图，在下列正方体中，，，，分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这四个正方体中，，，，四点共面的是( )
A. B.
C. D.
5.我们把向量叫做直线的正交单位方向向量设，分别是直线与直线的正交单位方向向量，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B.
C. D.
7.某景区新开通了，，个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择个项目进行体验，每个项目至少有名志愿者进行体验，且甲不体验项目，则不同的体验方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象若在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从标准正态分布，令函数，则( )
A. B. 是减函数
C. 是偶函数 D. 的图象关于点对称
10.已知，，函数，则( )
A. 若为偶函数，则
B. 若，则恰有个极值点
C. 若，则对任意，均有
D. 当，时，恒有
11.已知正项数列满足，记的前项和为，前项积为，则( )
A. B. 不可能为常数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，若，则 ．
13.已知，则 ．
14.已知，直线与相交于点，是抛物线上一点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度我国的值标准如下．
值
等级 偏瘦 正常 偏胖 肥胖
某单位采用分层随机抽样的方法抽取了名男员工，名女员工，其中名女员工的值如下．
编号
值
编号
值
编号
值
以频率估计概率，若在该单位任选名女员工，求这人中至少有人的值处于肥胖等级的概率
若被抽中的名男员工中有人的值处于肥胖等级，根据这人的值，将列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该单位员工的性别与肥胖有关
肥胖 不肥胖 总计
女员工
男员工
总计
附：，其中．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
判断的形状
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
17.本小题分
如图，在四面体中，，，，．
证明：．
已知棱上两点，满足，且点到平面的距离为，点到平面的距离为，点到平面的距离为若，求直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的上、下顶点分别为，，是上一点异于，，且直线与的斜率之积为．
求的方程．
过的上焦点且斜率为的直线与相交于，两点，其中点在第一象限内，且点关于轴对称的点为．
设为坐标原点，证明：．
若，求过，，三点的圆的方程．
19.本小题分
已知函数的定义域为，若，，则称为类周期函数，为的一个类周期．
证明：不是类周期函数．
若是函数的一个类周期，且记，求数列的前项和．
若，且是类周期函数，求的取值范围．
参考答案
1.
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15.解：由表格数据可知名女员工中，值处于肥胖等级的有人，
则估计该单位女员工的值处于肥胖等级的概率，
在该单位任选名女员工，则这人中至少有人的值处于肥胖等级的概率．
列联表如下：
肥胖 不肥胖 总计
女员工
男员工
总计
零假设为该单位员工的性别与肥胖之间无关联．
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为该单位员工的性别与肥胖之间无关联．
16.解：由，
得．
因为，
所以．
又，所以，
则，从而是等腰三角形．
因为，所以．
由余弦定理知，
因为，所以，得．
的面积
，
因为为锐角三角形，所以得，
则，，，
故面积的取值范围为
17.解：证明：取的中点，连接，．
因为，，
所以，，
因为，、平面，
从而平面．
又平面，所以．
因为，，、平面，
所以平面．
又平面，所以．
因为，，、平面，
所以平面．
又平面，所以．
解：由可知，，，两两垂直，
设，，
由，得，
，
，
，
，则．
由，得，则．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，．
，，
故直线与所成角的余弦值为．

18.解：由题可知，，，
设，，
则，
整理得，
因为点在上，则，
所以，解得，
故C的方程为；
证明：由可知，则，设，，
联立方程组，整理得，
则，，
因为点关于轴对称的点为，
所以，
同理可得，
则，
因为点在第一象限内，，
所以，则，
从而，即；
因为，所以，
则线段的中点为，
线段的垂直平分线的方程为，
由，两点关于轴对称，可得过，，三点的圆的圆心在轴上，
令，得，
即过，，三点的圆的圆心为，
，，
设过，，三点的圆的半径为，
则，
则过，，三点的圆的方程为．
19.解：证明：假设是类周期函数，且为的一个类周期，
则由，得，
令，得，从而，；
若为奇数，则由，得，即；
若为偶数，则由，得，即，
，式不可能恒成立，故假设不成立，从而不是类周期函数；
因为是函数的一个类周期，
所以，
令，则，
令，则，即，
因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则；
设的类周期为，
则由，得，则，
由，，得，
即，
令，，则，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
则，
从而，解得或，
即的取值范围为

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