河北省承德市高新区第一中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

河北省承德市高新区第一中学2025届高三上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知曲线与曲线有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则( )
A. B. C. D.
7.已知正方体的棱长为，为棱的中点，为侧面的中心，点，分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列命题为假命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则( )
A. 存在，使得
B. 当时，存在，使得平面
C. 当，时，四面体的体积为
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最小值是 ．
13.记为数列的前项和，已知，，则数列的通项公式是 ．
14.在中，，若是所在平面上的一点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合．
求；
已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知中，，，设，记；
若，求的值；
求函数的最大值，及相应的值．
17.本小题分
已知数列为等差数列，为前项和，，
求的通项公式；
设，比较与的大小；
18.本小题分
如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数．
若，求函数的最值；
若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；
若对于，，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
易知，，
可得，
所以或
“”是“”的充分不必要条件，所以，
若，则，解得；
若，则，且等号不能同时成立，
解得，
综上可知，实数的取值范围．

16.
因为，则，
由正弦定理，即，所以，
又，所以，所以，所以；
由正弦定理有
所以，
所以
，，
因为，所以，
所以当，即时取得最大值，且．

17.
因为为等差数列，设公差为，
因为，，
所以，解得
；
，
，
则，又，．

18.
如图，在梯形中，连接，因为是的中点，所以，
又，所以，
又因为，所以四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是菱形，从而，
沿着翻折成后，有
又平面，所以平面，
由题意，易知，所以四边形是平行四边形，
故，所以平面．
因为平面，平面，则有，
由知，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形，
则，
设平面的一个法向量为，
则
令得，故，
又平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为；
假设线段上存在点，使得平面，
过点作交于，连接，如图所示：
所以，所以四点共面，
又因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以是的中点，
故在线段上存在点，使得平面，且．

19.
由题意，函数在上单调递减，在区间上单调递增，
且，，，
所以函数的最小值为，最大值为．
由题意，关于的不等式的解集为，
即不等式对于恒成立，
当时，不等式为，即不恒成立，不符合题意；
当时，有，解得．
综上所述，实数的取值范围为．
由题意，对于，，使得成立，
则．
对于函数，，由知，．
对于函数，，
若，，则，而，不符合题意．
若，当，即，所以当时，恒成立，
所以，
则，即，不符合题意；
若，当，即时，，
则，即，所以；
当，即时，，
则，即，所以此种情况不合题意；
当时，，
所以；
综上所述，实数的取值范围为．

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