河北省十县联考2025届高三上学期11月期中考试数学试题（含答案）

河北省十县联考2025届高三上学期11月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.若命题“，”为假命题，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.某企业五个部门年第三季度的营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：
第一部门 第二部门 第三部门 第四部门 第五部门
营业收入占比
净利润占比
若该企业本季度的总营业利润率为营业利润率是净利润占营业收入的百分比，则( )
A. 各部门营业收入占比的极差为
B. 各部门营业收入占比的第百分位数为
C. 第二部门本季度的营业利润为正
D. 第三部门本季度的营业利润率大约为
6.已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
7.已知四边形的外接圆半径为，若，四边形的周长记为，则当取最大值时，四边形的面积为( )
A. B. C. D.
8.当时，，则正数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，，则
10.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，的导函数为，则( )
A. 的图象关于原点对称
B. 函数的最小正周期为
C. 在区间上单调递减
D. 在区间内的所有零点之和为
11.已知抛物线的焦点为，点在上，过点的直线与交于两点，与以为圆心，为半径的圆交于两点点在第一象限内，则( )
A. B. 的最小值为
C. 为原点的最大值为 D. 的最小值不可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和为，且，则 ．
13.已知，均为锐角，，，则 ．
14.已知全集，集合是的非空子集，且，定义为中的一对“子群”关系，则满足这种“子群”关系的共有 个．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求证：数列为等比数列；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在平面五边形中，，，，，将沿翻折，使点到达点的位置，得到如图所示的四棱锥，且，为的中点．
证明：；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，曲线在点处的切线记为．
求的方程；
设的交点构成，试判断的形状锐角、钝角或直角三角形并加以证明．
讨论的极值．
18.本小题分
某商场将年度消费总金额不低于万的会员称为尊享会员，超过万不足万的会员称为星级会员．该商场从以上两种会员中随机抽取男、女会员各名进行调研统计，其中抽到男性尊享会员名，女性尊享会员名．
完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断是否可以认为会员类型与性别有关？
会员类型 会员性别 合计
男性会员 女性会员
尊享会员
星级会员
合计
该商场在今年店庆时将举办尊享与星级会员消费返利活动，该活动以抽奖的形式进行，参与抽奖的会员从放有个红球和个白球每个球除颜色不同外，其余完全相同的抽奖箱中抽奖．抽奖规则：每次抽奖时，每名会员从抽奖箱中随机摸出个球，若摸出的个球颜色相同即为中奖，若颜色不同即为不中奖；每名会员只能选一种抽奖方案进行抽奖．抽奖方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球不放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖．
会员甲欲参加本次抽奖活动，请从中奖次数的期望与方差的角度分析，会员甲选择哪种方案较好？
附：，其中．
19.本小题分
已知双曲线上的所有点构成集合，若坐标平面内一点，则称直线为双曲线关于点的“关联直线”．
试证明为定值为原点，直线，斜率均存在；
判断双曲线关于点的“关联直线”与双曲线的公共点个数，并说明理由；
若双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，关联直线与坐标轴不平行，分别过点，作关联直线的垂线，垂足分别为，，求面积的最大值．
参考答案
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15.
，
当时，，
两式相减得，，整理得，即，
令得，，，，
是以为首项，公比的等比数列．
由得，，，
．
，
，
两式相减得，
，
．

16.
翻折前，在平面五边形中，，，，，
则，
翻折后，在四棱锥，且，，
所以，，则，所以，，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
因为，，则四边形为平行四边形，则，
所以，，
因为为的中点，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，故．
因为，且，所以，，则，
因为平面，，则平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
因为，平面与平面夹角的余弦值为．

17.
当时，，则，
因为，，所以的方程为．
为钝角三角形，证明如下：
由知的方程为，
又，，
所以的方程为，即，
又，，
所以的方程为，即，
由，得到，所以，
由，得到，所以，
由，得到，所以，
得到，
，
则，
注意到，
所以，得到，
又，所以，即为钝角三角形．
因为，则，
当时，，由，得到，当时，，时，，
此时是的极小值点，极小值为，无极大值，
当时，由，得到或，又，
若，当时，，时，，
此时，是的极大值点，极大值为，
是的极小值点，极小值为，
若，当时，，时，，
此时，是的极大值点，极大值为，
是的极小值点，极小值为．
综上，当时，极小值为，无极大值，
当时，极大值为，极小值为．

18.
根据题中信息得到如下列联表：
会员类型 会员性别 合计
男性会员 女性会员
尊享会员
星级会员
合计
由表格中的数据可得，
所以，依据小概率值的独立性检验，可以认为会员类型与性别有关．
设会员甲按照方案一、方案二抽奖的中奖次数分别为、，
对于方案一，则随机变量的可能取值有、、，
会员甲每次中奖的概率为，则，
所以，，，
对于方案二，则随机变量的可能取值有、、，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，，
，
所以，会员甲选择方案一较好．

19.
由题意：，，则．
证明完成．
当时，关联直线为或，此时直线斜率不存在，
与双曲线相切于点或者，与双曲线只有一个公共点．
当时，假设关联直线与双曲线还有另外一个交点，
将和分别代入双曲线并做差得：，
当时，化简得到，得到，
结合小问的结论，即，可得．
当时，与矛盾，此情况不成立；
当时，，斜率不存在，，
直线不满足题目中关联直线的条件．
综上，题目中给出的关联直线和双曲线只能有一个交点，证明完成．
由已知可得双曲线，，可做出示意图
双曲线方程为，设点，关联直线方程为，
所在直线方程为：，所在直线方程为：，
两直线均与垂直，可知的长度即为两平行直线和的距离，则，
三角形的高为原点到的距离：，
三角形面积：，
点在双曲线上，，
，当且仅当时，取得最大值．
即面积的最大值为．

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