江苏省南京市五校联盟2025届高三上学期11月期中学情调研数学试题（含答案）

江苏省南京市五校联盟2025届高三上学期11月期中学情调研
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知球的半径为，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数为偶函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是( )
A. 考生参赛成绩的平均分约为分
B. 考生参赛成绩的第百分位数约为分
C. 分数在区间内的频率为
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人
10.已知，，，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
11.若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，且，，则
C. 若，中各项均为正数，则
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
13.记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为 ．
14.已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角的对边分别为，已知，．
求；
设为边上一点，且，求的面积．
16.本小题分
会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．
随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
从会员中随机抽取人，记抽取的人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且．

证明：平面．
是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若，求的值；
证明：．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点，在轴上方，且设点在轴上的射影为，三角形的面积为如图．
求椭圆的方程；
设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为．
求证：直线的斜率为定值；
设直线与椭圆相交于两点，在轴上方，点为椭圆上异于，，，一点，直线交于点，交于点，如图，求证：为定值．
参考答案
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15.解：
因为，所以，所以在中，由余弦定理得，
即，解得舍去，．
因为，由余弦定理得，又，即是直角三角形，所以，
则，又，则，所以的面积为．

16.解：记“随机选取一名会员，对服务质量满意”为事件，
则，
故随机选取一名会员，其对服务质量满意的概率为；
根据题意得的取值为，，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为
则的数学期望是．
17.解：

因为四边形是菱形，所以．
因为平面，且，所以平面．
因为平面，所以．
因为，所以，即．
因为平面，且，所以平面．

取棱的中点，连接，易证两两垂直，
故以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设，则，
故，
所以，
设平面的法向量为，则
令，得．
平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为，
则，整理得，解得舍去．
故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是．

18.解：的定义域是，，
当时，恒成立，在单调递增，
当时，令，得，则时，；时，，
故在单调递减，在单调递增．
综上，当时，在单调递增，
当时，在单调递减，在单调递增；
若，则，
，，
由时，，则在单调递增，
故，即，，
故；
要证，即证，
设，，，
令，，则，
故函数在上单调递增，又，，
故在上存在唯一零点，即，
故当，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
由，得，
故，
即．
19.解：由题意，可设，已知，即，
所以，故，即；
又椭圆经过，即 ，解得；
故所求椭圆的方程为：
证明：设平行的直线的方程为，且，
联立，得到，
所以，；
故直线的斜率为定值
由题意可知，
联立方程组得
设，先考虑直线斜率都存在的情形：
直线，
联立方程组：得，
直线，
联立方程组：得，
则，
，
所以
当直线斜率不存在时结果仍然成立．

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