安徽省合肥市普通高中六校联盟2025届高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

安徽省合肥市普通高中六校联盟2025届高三上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数是上的奇函数，且当时，，则当时有( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.若函数的定义域为，则实数取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数与的图象如图所示，则函数( )
A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数
C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数
8.定义：若函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数．已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知奇函数的定义域为，若，则( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. D. 的一个周期为
10.函数满足，则正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数对任意满足，则 ．
13.若函数，则使得成立的的取值范围是 ．
14.已知点是函数图象上的动点，点是函数图象上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调增区间；
若函数在存在零点，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，证明：当时，．
17.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的值；
若，求的周长的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
若，求的极值；
设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值；
函数的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出的取值范围，若不存在则说明理由．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，利用公式其中，，，为常数，将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该变换公式可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，表示．
在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点到原点距离不变，求点的坐标；
如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点到原点距离不变，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
向量称为行向量形式，也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
，
所以函数的最小正周期为，
令，则，
函数的单调递增区间为．
令，即，则，
在存在零点，则方程在上有解，
若时，则，可得，
，得
故实数的取值范围是．

16.解：
因为的定义域为，
所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：
当时，，
令，则，
令，则，
因为，所以，
所以当时，恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，
所以，即．

17.解：因为，所以由正弦定理可得，
所以，即，
所以，
又为锐角，所以；
由知，所以，
由得，所以，，
所以的周长
，
由题意可得，即，所以，
所以，所以，
所以，
所以的周长的取值范围为．
18.解：当时，，
则，
令，解得：或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表可知，当时，的极大值为，
当时，的极小值为；
因为，所以，
所以处切线方程为，
整理得：，
设，则：
，
由题意可知，
在恒成立．
因为，
当且仅当时，等号成立，所以应有，
而，，所以只有即时，，
即成立，
所以．
由可知，曲线在处切线方程为：
，
假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为，，
则：
由式可得：，代入式，则：，
整理得：，
设，则，设，
则，
所以单调递减，
因为，所以的解为．
即，解得，
此时，
所以不存在符合题意的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合．

19.解：可求得，设，则，，
设点，，
故
所以．
设，，则，，，
故
所以坐标变换公式为
该变换所对应的二阶矩阵为
设矩阵，向量，，则．
，
对应变换公式为：
，
所以
故对应变换公式同样为
所以得证．

第1页，共1页