2024-2025学年安徽省江淮十校高三（上）第二次联考数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年安徽省江淮十校高三（上）第二次联考
数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，等比数列满足，则( )
A. B. C. D.
4.在中，已知，点是的外心，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.函数满足，且对任意的都有，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则的一个必要不充分条件是( )
A. 且 B. C. D.
10.在棱长为的正方体中，点，分别为棱，的中点，点在底面内运动含边界，且平面，则( )
A. 若，则平面
B. 点到直线的距离为
C. 若，则
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11.已知定义在上的函数满足：对，，，且，函数为偶函数，则( )
A. B.
C. 为偶函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，满足，则 ______．
13.记为数列的前项和已知，，则数列的通项公式是______．
14.已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在斜中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
点是边的中点，连接，且，求的面积．
16.本小题分
已知各项均为正数的数列满足：，．
求数列的通项公式；
设，求．
17.本小题分
如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，，连接．
求证：；
当与平面所成角的正弦值为时，求棱的长．
18.本小题分
已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数．
类比等式，请探究与，之间的等量关系，并给出证明过程；
求函数的零点；
解关于的不等式：．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论函数的单调性；
求证；
已知，且，求证：．
参考答案
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15.解：由及正弦定理，
可得，
所以，于是，
因为中，，所以，
因为，所以或，
因为，所以，因此，
因为，
于是
；
由题意，可得，
两边同时平方得，
即，
根据正弦定理，可得，
即，代入式，可得，
解得，
又，
所以的面积为．
16.解：由，
得，，，，
累加得：，
，
又，，
又符合上式，
数列的通项公式为；
由，且，
得，
设，则，
得，
两式相减得
，
，
即．
17.证明：过点在平面内作交棱于点，连接．
因为，所以，又因为，所以，
于是．
又因为所以∽，所以，
因为，于是，所以，
因为平面，，所以平面，于是，
又，且，平面，
所以平面，因为平面，
所以．
解：以点为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则平面的法向量为，
设与平面所成的角为，
则，
化简整理得，解得或，
所以棱的长为或．
18.解：由条件类比得到，证明如下：
因为，
，，
所以，
所以；
因为，
令，则，
即，
即，
解得或，
又，
所以，于是，
即，
整理得，
于是或，
解得或，
所以函数的零点为，；
因为，
，
所以原不等式可化为，
即，
整理得，
即，
又因为，
所以原不等式即为，
当时，，
则有，解得，
则原不等式的解集为，；
当时，
令，得，，
当时，，
原不等式的解集为；
当时，，
原不等式的解集为．
综上，当时，不等式的解集为，；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
19.解：函数的定义域为，
，
当，即时，，函数在上单调递减；
当，即时，令，得，
于是函数在，上单调递减，在上单调递增；
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在，上单调递减，在单调递增．
证明：由知，当时，函数在上单调递减，
所以当时，，
即，所以，
将代入上式，
可得，
即，
分别取，，，，，
于是，
，
，
，
将上述个等式左石两边分别相加，
可得
，
所以原不等式成立．
证明：由，
得，即，
因为，所以，所以，
要证，
只需证明，
由可得不等式，即上恒成立．
所以，
只需证明，
因为，
只需证明，
因为，所以，即，，
所以显然成立，于是原不等式成立．
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