2024-2025学年辽宁省沈阳120中高三（上）第四次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳120中高三（上）第四次质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，且，则实数取值范围为( )
A. B. ． C. 或 D.
2.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知，为单位向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知直线：与：平行，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
6.设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，夹角为，此时，之间的距离为则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面是关于复数为虚数单位的命题，其中真命题为( )
A. 的虚部为
B. 在复平面内对应的点在第二象限
C. 的共轭复数为
D. 若，则的最大值是
10.电子通讯和互联网中，信号的传输、处理和傅里叶变换有关傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数正弦和或余弦函数的线性组合例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则( )
A. 为周期函数，且最小正周期为 B. 为奇函数
C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的最大值为
11.在四面体中，，，，，分别是棱，，上的动点，且满足，均与面平行，则( )
A. 直线与平面所成的角的余弦值为
B. 四面体被平面所截得的截面周长为定值
C. 三角形的面积的最大值为
D. 四面体的内切球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，且，则 ______．
13.已知，，若的平分线方程为，则所在的直线方程为______．
14.已知函数，且若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为______，的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，，且．
求角的大小；
若，点在边上，且平分，求的长度．
16.本小题分
已知函数，．
求函数图象在处的切线方程．
若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知数列的各项均为正数，其前项和，．
求数列的通项公式；
设，若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和．
18.本小题分
等边三角形的边长为，，分别是边和上的点，且，如图将沿折起到的位置，连结，C.点满足，且点到平面的距离为，如图．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求四面体的体积．
19.本小题分
已知函数，且在上的最小值为．
求实数的取值范围；
设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质．
求证：函数在上具有性质；
记，其中，求证：．
参考答案
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15.解：由正弦定理及，得，
因为，所以，即，
由余弦定理得，，
因为，
所以．
由可知，，
所以，解得，
设，
因为平分，所以，
因为，所以，
解得，
故AD的长度为．
16.解：，，，
所以函数图象在处的切线方程为，即；
由可得，，
若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，
即对任意的，总存在使得，即，
又，
从而的值域包含，
当时，的值域为，
所以，解得，
当时，的值域为，
所以，解得，
即实数的取值范围为．
17.解：由知，
当时，，，即，
数列的各项均为正数，所以；
当时，，
整理得，
因为，所以有，
所以数列是首项，公差的等差数列，
数列的通项公式为．
由知，，
数列的前项和为
，
令，则有，，
由，知，，故且，
所以区间内所有“优化数”的和为
．
18.解：证明：，点到平面的距离为，
点到平面的距离为，
，，
，，
则平面，，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，所以，
又平面的法向量，所以，
因为直线平面，
所以平面．
平面的一个法向量为，设平面的法向量为，
，，
则，由，得
令，则，，即．
设平面与平面夹角大小为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
．
19.解：，，
则，，，
所以，等号不同时取，
所以当时，，在上单调递增，，
若，即，，在上单调递增，
所以在上的最小值为，符合题意；
若，即，此时，，
又函数在的图象不间断，
据零点存在性定理可知，存在，使得，
且当时，，在上单调递减，
所以，与题意矛盾，舍去，
综上所述，实数的取值范围是；
证明：由可知，当时，，
要证：函数在上具有性质，即证：当时，，
即证：当时，，
令，，
则，即，，
则，
所以在上单调递增，，
即当时，，得证；
由得，当时，，
所以当时，，下面先证明两个不等式：，其中；，其，
令，，则，
所以在上单调递增，
所以，
即当时，，
令，，则，
所以在上单调递增，故，
即当时，，故，得，
据不等式可知，当时，，
所以当时，，
结合不等式可得，当时，，
所以当时，，
当，时，，有，
所以，
又因为，
所以．
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