2024-2025学年山东省名校考试联盟高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省名校考试联盟高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若为虚数单位是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则( )
A. B. ． C. D.
4.设，，则使成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
6.若，，且，，则( )
A. B. C. D.
7.用表示，，中的最小数，若函数为偶函数，且当时，，则的极值点的个数为( )
A. B. C. D.
8.若定义在上的函数满足，是奇函数，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，两条相邻对称轴之间的距离为，且，则( )
A. B.
C. 关于对称 D. 在上单调递增
10.记内角，，的对边分别为，，，已知，，若为的外心，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点为上一动点，则( )
A. 存在点使得
B. 的最小值为
C. 以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为
D. 已知球为正方体的内切球，若在正方体内部与球外部之间的空隙处放入一个小球，则放入的小球体积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则 ______．
13.数列的前项和为，且满足，，则 ______．
14.已知函数，曲线在不同的三点处的切线斜率均为，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点在棱上，且．
求证：平面平面；
求平面与平面所成角的大小．
16.本小题分
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，角的平分线交于，．
求；
求的取值范围．
17.本小题分
将个实数排成行列的数阵形式如下：
当时，若每一行每一列均构成等差数列，且，求该数阵中所有数的和；
若，且每一行均为等差数列，每一列均为公比为的等比数列已知，，，设，求的值．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
当时，讨论的单调性；
当时，，求的取值范围．
19.本小题分
已知集合，集合，记的元素个数为若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”．
若，分别判断集合，是否为“理想集”不需要说明理由；
若，写出所有的“理想集”的个数并列举；
若，证明：集合必为“理想集”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：因为，，
所以，
所以，
即，又因为平面平面，平面平面，
因为，，
所以，因为平面，
所以平面，因为平面，
所以，
因为，，，
所以平面，
连接，交于，连接，
因为，，
所以，又因为，所以，所以，
因为平面，所以平面，因为平面，
所以面平面．
取中点，连接，，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面于，
所以平面，因为平面，
所以，
因为，，，
所以四边形为正方形，
所以，又因为，
所以平面，因为平面，
所以，
所以即为平面与平面所成角，
因为，，
所以，，
所以平面与平面所成角为．
16.解：因为，由正弦定理可得：，
在中，，
所以，又因为，
所以，即，，
所以，
所以；
角的平分线交于，，
在中，由正弦定理可得：，可得，
同理可得，
所以，
因为
，
在锐角中，，可得，
可得，所以，
所以，
所以．
17.解：由题意时，每一行都成等差数列，
可得，，
，，
所有数之和，
又因为每一列成等差数列，故有，
即；
由题意每一行均为等差数列，每一列均为公比为的等比数列，
由，，可得第二行的公差为，
则第二行的通项公式为，
又，，
可得，解得舍去，
则，
，
，
上面两式相减可得
，
化为．
18.解：由题意可知，，则，
所以曲线在点处的切线方程为；
当时，，则，
当时，，此时，
当时，，
所以在上恒成立，
再由，可知为偶函数，
于是在上恒成立，故在上单调递增；
当时，符合题意；
当时，由，可得，
令，则，
令，则，
令，则，
令，当时，，故K在上单调递减，
又，则此时，故H在上单调递减，
因为，，则存在，使得，
于是在上单调递增，在上单调递减．
由于，，则当时，，此时，
因此在上单调递增，
故当时，，
令，则．
当时，，
则在上单调递增，此时，
故当时，，
故在上恒成立，
因此的取值范围为．
19.解：不是“理想集”，是“理想集”．
由题意，令，，，则；
令，，，则；令，，，则；
令，，，则；所以不是“理想集”．
令，，，则，所以是“理想集”．
共个“理想集”．
若，有．
当时，若，则，由可知，
故或；
若，则，由可知，则，故．
故含有三个元素的“理想集”，或，共个．
当时，，，，，，或，，，，共个．
当时，，，，，，共个．
当时，，共个．
综上所述，所有“理想集”的个数为个分别为：，，，，，，，，，，，，，，，．
证明：若，记且．
利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有，
则，，，，．
记，于是，则，
因此，矛盾．
故集合必为“理想集”．
第1页，共1页