陕西省安康市2025届高三第一次质量联考数学试题（含答案）

陕西省安康市2025届高三第一次质量联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.不可能把直线作为切线的曲线是( )
A. B. C. D.
4.设等比数列的前项和为，已知，，则( )
A. B. C. D.
5.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差根据该公式可知，级地震的最大振幅是级地震最大振幅的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
6.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.设的内角，，的对边分别为，，，已知，在边上，平分，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，是的零点，则当时，不等式的解集为( )
A. 或 B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 集合，，若，则的值为或
C. 集合，，若，则实数的取值集合为
D. 若集合，则满足的集合的个数为
10.已知，函数在区间上单调，则的值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列满足，，则 ．
13.若正数，满足，则的最小值是 ．
14.已知不等式对任意的都成立，则正实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
求的解析式和的单调递增区间
求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知函数，且．
证明：的图象关于点中心对称．
对任意的，，且，都有，若，求实数的取值范围．
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知，A.
求，
若，求的面积．
18.本小题分
若正项无穷数列满足，是不为的常数，则称数列为平方等差数列．
判断通项公式为和的无穷数列是否为平方等差数列，并说明理由
设数列是平方等差数列，且，，求数列的前项和
若数列是平方等差数列，记，证明：中存在小于的项．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积
当时，，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：
，
因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，解得，
故
令，
得，
所以的单调递增区间是．
因为，所以，
所以，
则在区间上的最大值是，最小值是．
16.证明：因为，
所以，
，
所以，
则曲线是中心对称图形，且关于点对称．
解：令
因为对任意的，，且，恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以在上单调递增．
因为，所以是偶函数，且在上单调递增，
因为，
所以，
则，
解得，
即实数的取值范围为．
17.【解答】解：
因为，所以，所以，由，得，所以；
由，得，由正、余弦定理，得，即，把，代入上式，可得，所以，，所以的面积．
18.解：通项公式为的无穷数列是平方等差数列，
通项公式为的无穷数列不是平方等差数列．
理由如下：
当时，， 所以通项公式为的无穷数列是平方等差数列．
当时，，不是常数，所以通项公式为的无穷数列不是平方等差数列．
解：由题意可设，
因为，，所以解得
则，从而．
方法一，
所以，
上面两式相减得，
解得．
方法二因为，
所以．
证明：若数列是平方等差数列，则，且，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，故．
当时，总存在正整数，使得，与矛盾，故恒成立．
由，，
得，，则，
所以．
由随的增大而增大知，总存在正整数，使得，所以中存在小于的项．
19.解：当时，，所以，，
又，所以切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
所以切线与坐标轴交点的坐标为，，
所以所求三角形的面积为；
由题意得，
令，则，
设，则，
设，则，显然为上的增函数，则，
所以在上单调递增，，
当时，，则在上单调递增，则，
所以在上单调递增，故，符合题意；
当时，，又，
所以存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，故在上单调递减，所以，这与矛盾，
综上，实数的取值范围为．
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