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《切线的判定与性质的综合应用》解答题专练60题
1．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
【思路点拔】连接OC，如图，由于OA＝OB，CA＝CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：连接OC，如图，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线．
2．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
求证：直线DE是⊙O的切线．
【思路点拔】连接OD，如图，根据等腰三角形的性质，由BA＝BC得∠A＝∠C，由OA＝OD得∠A＝∠ODA，则∠ODA＝∠C，于是根据平行线的判定得到OD∥BC，加上DF⊥BC，所以DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OD，如图，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴直线DE是⊙O的切线．
3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC＝BC，求证：BC是⊙O的切线．
【思路点拔】由PC＝BC得到∠CPB＝∠CBP，利用对顶角相等得∠APO＝∠CPB，则∠CBP＝∠APO，再利用OC⊥OA得到∠A+∠APO＝90°，加上∠A＝∠ABO，所以∠CBP+∠ABO＝90°，于是根据切线的判定定理可得BC是⊙O的切线．
【解答】证明：∵PC＝BC，
∴∠CPB＝∠CBP，
而∠APO＝∠CPB，
∴∠CBP＝∠APO，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO＝90°，
而OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO，
∴∠CBP+∠ABO＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
4．如图，在△ABC中，AB＝6，∠C＝65°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求的长；
（2）若∠EAD＝75°，求证：CB为⊙O的切线．
【思路点拔】（1）连接OE，则∠AOE＝2∠ADE＝80°，所以∠BOE＝180°﹣∠AOE＝100°，而半径OBAB＝3，即可根据弧长公式求得的长是；
（2）由∠EAD＝75°，∠BAE∠BOE＝50°，得∠BAC＝∠EAD﹣∠BAE＝25°，则∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝90°，即可证明CB是⊙O的切线．
【解答】（1）解：连接OE，
∵∠ADE＝40°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝2×40°＝80°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣80°＝100°，
∵AB是⊙O的直径，且AB＝6，
∴OBAB6＝3，
∴，
∴的长是．
（2）证明：∵∠EAD＝75°，∠BAE∠BOE100°＝50°，
∴∠BAC＝∠EAD﹣∠BAE＝75°﹣50°＝25°，
∵∠C＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣25°﹣65°＝90°，
∴BC⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴CB是⊙O的切线．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，AF＝6，求BD的长．
【思路点拔】（1）由圆周角定理得∠ABD＝90°，即∠ABC+∠CBD＝90°，再由等腰三角形的性质和圆周角定理得∠ABC＝∠C，∠ADB＝∠C，则∠ABC＝∠ADB，然后由平行线的性质得∠CBD＝∠FDB，则∠ADB+∠FDB＝90°，即∠ADF＝90°，即可得出结论；
（2）根据△BDF∽△BAD得到BD的长．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
即∠ABC+∠CBD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵BC∥DF，
∴∠CBD＝∠FDB，
∴∠ADB+∠FDB＝90°，
即∠ADF＝90°，
∴AD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC＝4，AF＝6，
∴BF＝AF﹣AB＝2，
∵∠ADF＝90°，∠ABD＝90°，
∴△BDF∽△BAD，
∴BD2＝BF×AB＝2×4＝8，
∴BD．
6．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C．
（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AC＝8，，求AD的长．
【思路点拔】（1）由于OC⊥AD，那么∠OAD+∠AOC＝90°，又∠BED＝∠BAD，且∠BED＝∠C，于是∠OAD＝∠C，从而有∠C+∠AOC＝90°，再利用三角形内角和定理，可求∠OAC＝90°，即AC是⊙O的切线；
（2）连接BD，AB是直径，那么∠ADB＝90°，在Rt△AOC中，由于AC＝8，∠C＝∠BED，cos∠BED，利用三角函数值，可求OA＝6，即AB＝12，在Rt△ABD中，由于AB＝12，∠OAD＝∠BED，cos∠BED，同样利用三角函数值，可求AD．
【解答】解：（1）AC与⊙O相切．
证明：∵弧BD是∠BED与∠BAD所对的弧，
∴∠BAD＝∠BED，
∵OC⊥AD，
∴∠AOC+∠BAD＝90°，
∴∠BED+∠AOC＝90°，
即∠C+∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝90°，
∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切；
（2）解：连接BD．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△AOC中，∠CAO＝90°，
∵AC＝8，∠ADB＝90°，，
∴AO＝6，
∴AB＝12，
在Rt△ABD中，∵cos∠OAD＝cos∠BED，
∴AD＝AB cos∠OAD＝12．
7．如图，AB是⊙O的直径，过点A作CA⊥AB，D是⊙O上的一点，且CD＝CA，延长CD，交AB延长线于点E，连接BD．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，DE＝4，BE＝2，求BD的长．
【思路点拔】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠CDA，∠OAD＝∠ODA，求得∠CDO＝∠CDA+∠ADO＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据勾股定理得到AE8，求得AB＝AE﹣BE＝6，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，得到∠ADO＝∠BDE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）CE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD+∠DAO＝∠CDA+∠ADO，
∵CA⊥AB，
∴∠CAB＝∠CAD+∠DAO＝90°，
∴∠CDO＝∠CDA+∠ADO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CE与⊙O相切；
（2）∵AC＝CD＝6，DE＝4，
∴CE＝10，
∴AE8，
∴AB＝AE﹣BE＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO＝∠BDE，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠BDE＝∠DAB，
∵∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE，
∴，
∴，
∴设AD＝2x，BD＝x，
∴ABx，
∴x＝6，
∴x，
∴．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
①求证：AF CF＝2DF EF；
②若CD＝20，sinA，求CF的长．
【思路点拔】（1）连接OC，由半径相等得到∠OCA＝∠A，由此推出∠OCA+∠DCA＝∠OCD＝90°，即可推出CD是⊙O的切线；
（2）①过点D作DM⊥CF于点M，则∠DMF＝90°，证明△DFM∽△AFE，推出，根据∠OCA+∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A推出∠DCA＝∠DFC，证得△CDF是等腰三角形，由三线合一得到，即可证得结论；
②由∠CDM＝∠OCA＝∠A，得到，求出，由此得到CF＝2CM＝2×12＝24．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠OAC+∠B＝90°，
∵∠DCA＝∠B，
∴∠OCA+∠DCA＝∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）①证明：如图，过点D作DM⊥CF于点M，则∠DMF＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∴∠DMF＝∠AEF＝90°，
∵∠DFM＝∠AFE（对顶角相等），
∴△DFM∽△AFE，
∴，
∴AF FM＝DF EF，
∵∠OCA+∠DCA＝90°，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC+∠DCA＝90°，
∵∠OAC+∠EFA＝90°，
∴∠DCA＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠DFC，
∴∠DCA＝∠DFC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵DM⊥CF，
∴CM＝FM，
∴，
∴，
∴AF CF＝2DF EF；
②解：∵∠CDM＝∠MDF＝∠OCA＝∠OAC，
∴，
∴，
∵CD＝20，
∴，
∴CF＝2CM＝2×12＝24．
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点A是的中点，弦BD，CA的延长线交于点E，点F在线段DE上，且∠FAE＝∠ABE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若，BE＝10，求EF的长．
【思路点拔】（1）根据圆周角定理得到∠C＝90°，求得∠ABC+∠CAB＝90°，求得∠BAF＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BE，求得∠ADB＝∠ADE＝90°，解直角三角形得到AC＝3，AE＝5；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵点A是的中点，
∴，
∴∠ABC＝∠ABD，
∵∠EAF＝∠ABE，
∴∠ABC＝∠EAF，
∴∠BAC+∠EAF＝90°，
∴∠BAF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BE，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵点A是的中点，
∴，
∴AD＝AC，
∴sin∠E，
∵BE＝10，
∴BC＝6，
∴CE8，
∴AC＝3，AE＝5；
∵∠EAF＝∠ABE，∠E＝∠E，
∴△AFE∽△BAE，
∴，
∴，
∴EF＝2.5．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【思路点拔】（1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC＝∠OAC，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论；
（2）设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质得∠COE＝∠DAB，进而依据cos∠DAB＝cos∠COE解答即可；
（3）证明△AHF∽△ACE，根据相似三角形的性质即可得解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD//OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴；
（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，
∴，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴．
11．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC＝BC．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠A，BC＝8，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的性质求得∠OBP+∠CBP＝90°，则BC是⊙O的切线；
（2）根据锐角三角函数定义，可设OP＝x，则OA＝3x．在Rt△OBC中，由勾股定理列出关于x的方程（x+8）2＝（3x）2+82，通过解该方程可以求得x＝2，则OA＝3x＝6．
【解答】解：（1）相切．理由如下：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA．
∵CP＝BP，
∴∠CBP＝∠BPC．
∵∠OPA＝∠BPC，∠A+∠OPA＝90°，
∴∠OBP+∠CBP＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵tanA，
∴设OP＝x，则OA＝3x．
在Rt△OBC中，（x+8）2＝（3x）2+82，
解得 x＝2，则OA＝6，
∴⊙O的半径是6．
12．如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，延长BC至点D，连接AD，E为AB上方圆上一点，连接ED．若，AC＝8，BD＝6．
（1）求sin∠DAB的值；
（2）若ED＝2，求证：ED为⊙O的切线．
【思路点拔】（1）根据勾股定理求出AD，再根据正弦的定义即可得到结论；
（2）连接OE，过O作OH⊥BC于H，证明平行四边形EOHD为矩形，根据矩形的性质得到∠OED＝90°，根据切线的判定定理证明．
【解答】（1）解：∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝4，BD＝6，
∴AD2，
∴sin∠DAB；
（2）证明：连接OE，过O作OH⊥BC于H，
∴CH＝BH，
∵CO＝OA，
∴OH是△CAB的中位线，
∴OHAB＝2，
在Rt△CAB中，AC＝8，AB＝4，
由勾股定理得：BC4，
∴CD＝BD﹣BC＝2，
∴DH＝DC+CH＝2+2＝4，
∴OE＝DH，
∵ED＝2，
∴ED＝OH，
∴四边形EOHD为平行四边形，
∵∠OHD＝90°，
∴平行四边形EOHD为矩形，
∴∠OED＝90°，
∴ED为⊙O的切线．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，AF＝6，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接OD，根据等边对等角，得出∠C＝∠ODC，∠B＝∠C，继而得出∠B＝∠ODC 可得OD∥AB，根据DE⊥AB可得DE⊥OD，即可得证；
（2）设AE＝m，则DE＝2m，进而表示出ADm，再判断出△ABD∽△ADE，得出比例式，进而表示出AB＝5m，BD＝2m，再判断出△ADB∽△CFB，得出比例式建立方程求出m，最后根据勾股定理求出AC＝2，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OC，
∴∠C＝∠ODC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接CF，
设AE＝m，则DE＝2m，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，ADm，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°＝∠AED＝∠ADB，
∴∠BAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△ADE，
∴，
∴，
∴AB＝5m，BD＝2m，
∵AB＝AC，∠ADC＝90°，
∴DC＝BD＝2m，
∴BC＝2BD＝4m，
连接CF，则∠ADB＝∠AFC，
∵∠B＝∠B，
∴△ADB∽△CFB，
∴，
∵AF＝6，
∴BF＝AB+AF＝5m+6，
∴，
∴m＝2，
∴AD＝2，CD＝4，
在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC10，
∴⊙O的半径为5．
14．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CAB＝30°，点D在AB上由点B开始向点A运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）如果CD⊥AB，求证：EF为⊙O的切线．
【思路点拔】（1）根据轴对称的性质得到∠ECA＝∠DCA，根据直角三角形两锐角互余得到∠CDF＝∠F，得到CD＝CF，证明结论；
（2）连接OC，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质证明∠ECO＝90°，根据切线的判定定理证明即可．
【解答】（1）证明：∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD，
∴∠ECA＝∠DCA，
又∵DF⊥DE，
∴∠CDF＝90°﹣∠CDE＝90°﹣∠E＝∠F，
∴CD＝CF，
∴CE＝CF；
（2）证明：连接OC，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠CBA＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠OCD＝∠DCB＝30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴CD＝CE，
∴∠ECA＝∠DCA＝60°，
∴∠ECO＝∠ECA+∠OCA＝60°+30°＝90°，
∴EF为⊙O的切线．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BAC＝∠BCD，过点B作BH⊥CD于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，，求BH的长．
【思路点拔】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠OCD＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）由∠BAC的正弦求出BC的长，即可由∠BCH的正弦求出BH的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵OC是⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为5，
∴AB＝2×5＝10，
∵∠BCA＝90°，
∴sin∠BAC，
∴BC＝102，
∵BH⊥CD，
∴∠BHC＝90°，
∵∠BCH＝∠BAC，
∴sin∠BAC＝sin∠BCH，
∴BH＝22．
∴BH的长是2．
16．已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE＝2，tanC，求⊙O的直径．
【思路点拔】（1）连接OD，利用D是AC中点，O是AB中点，那么OD就是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理，可知OD∥BC，而DE⊥BC，则∠DEC＝90°，利用平行线的性质，有∠ODE＝∠DEC＝90°，即DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，由于AB是直径，那么∠ADB＝90°，即BD⊥AC，在△ABC中，点D是AC中点，于是BD是AC的垂直平分线，那么BA＝BC，在Rt△CDE中，DE＝2，tanC，可求CE＝4，再利用勾股定理可求CD＝2，同理在Rt△CDB中，CD＝2，tanC，可求BD，利用勾股定理可求BC＝5，从而可知BA＝BC＝5．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵D为AC中点，O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE于点D，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连接DB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴DB⊥AC，
∴∠CDB＝90°
∵D为AC中点，
∴AB＝BC，
在Rt△DEC中，
∵DE＝2，tanC，
∴EC，
由勾股定理得：DC，
在Rt△DCB中，BD，
由勾股定理得：BC＝5，
∴AB＝BC＝5，
∴⊙O的直径为5．
17．如图1，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）如图2，过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若BD平分∠ABC，AC＝AD，求证：CF是圆的切线．
【思路点拔】（1）同弧所对的圆周角相等，得到∠BAC＝∠BDC，进而推出∠ADB＝∠BDC即可；
（2）先证明△ABD≌△CBD，推出△ACD是正三角形，进而推出∠DAB＝90°，得到BD是圆的直径，取BD中点O，连接OC，易得△OBC是正三角形，推出∠OCF＝90°，即可得证．
【解答】证明：（1）∵弧BC＝弧BC，
∴∠BAC＝∠BDC．
∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠BDC，
∴BD平分∠ADC．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴．
∵，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD．
∴AD＝CD．
∵AC＝AD
∴△ACD是正三角形．
∴∠ABD＝∠CAD＝60°．
∵ABCD为圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°．
∴∠ADB+∠DBA＝90°．
∴∠DAB＝90°．
∴BD是圆的直径．
∵CF∥AD，
∴∠F＝90°
取BD中点O，连接OC，
∵OB＝OC，
∴△OBC是正三角形．
∴∠BOC＝60°，则∠ABD＝∠BOC＝60°，
∴OC∥AF．
∴∠OCF＝90°．
∴OC⊥CF．
∴CF为⊙O的切线．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在斜边AB上取一点O，以OA为半径作⊙O，交AB于点N，交AC于点M，连接MN．
（1）如图1，若∠B＝60°，MN＝2，求⊙O的半径．
（2）如图2，若⊙O与BC交于点D，连接AD，MD，且AD2＝AC AN；
①求证：BC是⊙O的切线；
②若AM＝3，CD＝2，求AN的长．
【思路点拔】（1）由AN是直径，可得∠AMN＝90°＝∠C，则MN∥BC，∠ANM＝∠B＝60°，，计算求解，进而可求⊙O的半径．
（2）①如图2，连接OD，OM，DN，则∠AMN＝90°＝∠ADN，∠ACD＝∠ADN，由AD2＝AC AN，可得，即cos∠DAN＝cos∠CAD，可得∠DAN＝∠CAD，DM＝DN，OD是MN的垂直平分线，则OD⊥MN，OD⊥BC，进而结论得证；②如图2，记OD，MN的交点为F，则四边形CDFM是矩形，MF＝CD＝2，由OD是MN的垂直平分线，可得MN＝2MF＝4，由勾股定理得，，计算求解即可．
【解答】解：（1）∵AN是直径，
∴∠AMN＝90°＝∠C，
∴MN∥BC，
∴∠ANM＝∠B＝60°，
∴，
∴⊙O的半径为2．
（2）①证明：如图2，连接OD，OM，DN，
∵AN是直径，
∴∠AMN＝90°＝∠ADN，
∴∠ACD＝∠ADN，
∵AD2＝AC AN，
∴，
∵，
∴∠DAN＝∠CAD，
∴DM＝DN，
∴DM＝DN，
又∵OM＝ON，
∴OD是MN的垂直平分线，
∴OD⊥MN，
由（1）知，MN∥BC，
∴OD⊥BC，
又∵OD是半径，
∴BC是⊙O的切线；
②解：如图2，记OD，MN的交点为F，则四边形CDFM是矩形，
∴MF＝CD＝2，
∵OD是MN的垂直平分线，
∴MN＝2MF＝4，
由勾股定理得，，
∴AN的长为5．
19．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且C是的中点，延长AD到E，且有∠ECD＝∠CAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若，AB＝5，求DE；
（3）在（2）的条件下求圆的直径AD．
【思路点拔】（1）连接OC，则∠OCA＝∠CAD，AD是⊙O的直径，且C是的中点，得∠ACD＝90°，∠CAD＝∠CAB，可推导出∠ECD＝∠OCA，则∠OCE＝∠ACD＝90°，即可证明CE是⊙O的切线；
（2）由∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，得∠CDE＝∠B，而∠ECD＝∠CAB，所以△ECD∽△CAB，则，求得DE；
（3）连接BD交OC于点F，则BD⊥OC，FD＝FB，而CE⊥OC，OD＝OA，所以FD∥CE，OFAB，由，得，求得AD＝6．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠CAD，
∵AD是⊙O的直径，且C是的中点，∠ECD＝∠CAB，
∴∠ACD＝90°，，
∴∠CAD＝∠CAB，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠ECD＝∠OCA，
∴∠OCE＝∠OCD+∠ECD＝∠OCD+∠OCA＝∠ACD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠ECD＝∠CAB，
∴△ECD∽△CAB，
∴，
∵AB＝5，BC＝CD，
∴DE，
∴DE的长是．
（3）解：连接BD交OC于点F，则OC垂直平分BD，
∴BD⊥OC，FD＝FB，
∵CE⊥OC，OD＝OA，
∴FD∥CE，OFAB5，
∴，
∵OC＝ODAD，
∴，
解得AD＝6或AD＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴⊙O的直径AD长为6．
20．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，∠ABD＝∠CAD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若DB平分∠ADC，AC＝AD，求证：CF为⊙O的切线．
【思路点拔】（1）同弧所对的圆周角相等，得到∠CAD＝∠DBC，进而推出∠DBC＝∠ABD即可；
（2）先证明△ABD≌△CBD，推出△ACD是正三角形，进而推出∠DAB＝90°，得到BD是圆的直径，取BD中点O，连接OC，易得△OBC是正三角形，推出∠OCF＝90°，即可得证．
【解答】证明：（1）∵，
∴∠CAD＝∠DBC．
∵∠ABD＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC．
（2）∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB．
∵∠DBC＝∠ABD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（ASA）．
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是正三角形，
∴∠ABD＝∠CAD＝60°，
∵ABCD为圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADB+∠DBA＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴BD是圆的直径，
∵CF∥AD，
∴∠F＝90°，
取BD中点O，连接OC，
∵OB＝OC，
∴△OBC是正三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴OC∥AF，
∴∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴CF为⊙O的切线．
21．如图，在 ABCD中，AC＝AD，⊙O是△ACD的外接圆，BC的延长线与AO的延长线交于E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AD＝5，求OE的长．
【思路点拔】（1）由已知得出，由垂径定理得出OA⊥CD，由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，因此OA⊥AB，即可得出结论；
（2）连接OD，由垂径定理得出CF＝DF＝4，由平行线得出△ADF∽△ECF，得出对应边成比例，证出AD＝CE，AF＝EF，得出BC＝CE，BE＝10，由勾股定理求出AE，得出AF＝EF＝3，设OE＝x，则OF＝3﹣x，⊙O的半径为6﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AC＝AD，
∴，
∴OA⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴OA⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图所示：
∵OA⊥CD，
∴CF＝DF＝4，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△ECF，
∴1，
∴AD＝CE，AF＝EF，
∴BC＝CE，
∴BE＝2BC＝2AD＝10，
∴AE6，
∴AF＝EF＝3，
设OE＝x，则OF＝3﹣x，⊙O的半径为6﹣x，
由勾股定理得：OF2+DF2＝OD2，
即（6﹣x）2＝（3﹣x）2+42，
解得：x，
即OE．
22．如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线．
【思路点拔】连接OC、DC，由CA＝CB，得∠A＝∠B，而DA＝OD＝OB，可根据“SAS”证明△ADC≌△BOC，得∠ACD＝∠BCO，则∠OCA＝∠OCD+∠ACD＝∠OCD+∠BCO＝90°，即可证明AC是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OC、DC，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∵若D是OA的中点，
∴DA＝OD＝OB，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
在△ADC和△BOC中，
，
∴△ADC≌△BOC（SAS），
∴∠ACD＝∠BCO，
∴∠OCA＝∠OCD+∠ACD＝∠OCD+∠BCO＝∠BCD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线．
23．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．
求证：CD是⊙O的切线．
【思路点拔】连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定得出OC∥AD，根据平行线的性质得出OC⊥DC，再根据切线的判定得出即可．
【解答】证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DC，
∵OC过圆心O，
∴CD是⊙O的切线．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF＝4，求CE的长．
【思路点拔】由已知可证得OD⊥DE，OD为圆的半径，所以DE与⊙O相切；连接OD，OF，由已知可得四边形ODEF为矩形，从而得到EF的长，再利用勾股定理求得AO的长，从而可求得AC的长，此时CE就不难求得了．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切；
理由如下：
连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC；
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
（2）连接OD，OF；
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF＝OD＝3；
在Rt△OFA中，AO2＝OF2+AF2，
∴，
∴AC＝AB＝AO+BO＝8，CE＝AC﹣AF﹣EF＝8﹣4﹣3＝1，
∴CE＝1．
答：CE长度为1．
25．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD＝ED．求证：AD是⊙O的切线．
【思路点拔】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠OAB，∠EAD＝∠AED，根据直角三角形两锐角互余，进一步得出∠OAB+∠EAD＝90°，即∠OAD＝90°，从而证得AD是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵AD＝ED，
∴∠EAD＝∠AED，
∵OD⊥OB，
∴∠B+∠OEB＝90°，
∵∠OEB＝∠AED，
∴∠OAB+∠EAD＝90°，
即∠OAD＝90°，
∴AD是⊙O的切线．
26．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，连接AC，BC，AD，CD，线段CD与AB相交于点E，过点D作∠ADF＝∠ACD，DF交CA的延长线于点F．
（1）求证：DF 是⊙O的切线；
（2）若DF∥AB，，DE，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接BD，OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACD，而∠ACD＝∠ADF，则∠ADF＝∠ABD，所以∠ADF+∠ODA＝90°，则OD⊥DF，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理，由DF∥AB得到，设AC＝4x，AF＝5x，再证明△FAD∽△FDC，根据相似三角形的性质得到，先表示出FD＝3x，再计算出AD＝3，然后证明△OAD为等腰直角三角形得到OAAD＝3．
【解答】（1）证明：连接BD，OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ABD+∠ODA＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠ACD＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠ABD，
∴∠ADF+∠ODA＝90°，
即∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴OD为⊙O的半径，
∴DF 是⊙O的切线；
（2）解：∵DF∥AB，
∴，
∴设AC＝4x，AF＝5x，
∵∠AFD＝∠DFC，∠FDA＝∠FCD，
∴△FAD∽△FDC，
∴，
即，
解得FD＝3x，
∴，
解得AD＝3，
∵DF∥AB，OD⊥DF，
∴OD⊥AB，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴OAAD33，
即⊙O的半径为3．
27．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠A＝60°．点E在AB延长线上，BE＝OB．过点E作ED⊥AC，交AC的延长线于点D．求证：DE是⊙O的切线．
【思路点拔】点O作OF⊥DE于F，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠A＝60°，根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝30°，求得OFOE，推出OF＝OB，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线．
【解答】证明：过点O作OF⊥DE于F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵ED⊥AC，
∴∠D＝90°＝∠ACB，
∴∠E＝∠ABC＝30°，
∴OFOE，
∵BE＝OB，
∴OBOE，
∴OF＝OB，
∴DE是⊙O的切线．
28．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线．
【思路点拔】连接OT，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到∠CAT＝∠OTA，根据平行线的判定定理得到OT∥AC，根据平行线的性质得到OT⊥TC，根据切线的判定定理证明即可．
【解答】证明：连接OT，
∵AT平分∠BAD，
∴∠CAT＝∠BAT，
∵OT＝OA，
∴∠OTA＝∠BAT，
∴∠CAT＝∠OTA，
∴OT∥AC，又TC⊥AC，
∴OT⊥TC，
∴CT为⊙O的切线．
29．如图，PB切⊙O于点B，连接PO并延长交⊙O于点E，过点B作BA⊥PE交⊙O于点A，连接AP，AE．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果OD＝3，tan∠AEP，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接OA、OB，根据垂径定理的知识，得出OA＝OB，∠POA＝∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．
（2）根据tan∠AEP得出，设AD＝x，DE＝2x，在Rt△AOD中，由勾股定理得出x，进而就可求得⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°，
∵OA＝OB，BA⊥PE于点D，
∴∠POA＝∠POB，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴PA⊥OA，
∴直线PA为⊙O的切线，
（2）在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，
∵tan∠AEP，
∴设AD＝x，DE＝2x，
∴OE＝2x﹣3．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x﹣3）2＝x2+32，
解得x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），
∴AD＝4，OA＝OE＝2x﹣3＝5，
即⊙O的半径的长5．
30．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB，BD＝5，求BF的长．
【思路点拔】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠1＝∠2．证出∠C＝∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD＝90°，得出∠BAC＝90°，即可得出结论．
（2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出，设AD＝2m，则AB＝3m，由勾股定理求出BDm．求出m．得出AD，AB．证出FG＝FD．设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．由三角函数得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示．
∵E是弧BD的中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∴∠BAD＝2∠1．
∵∠ACB＝2∠1，
∴∠C＝∠BAD．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠DAC+∠C＝90°．
∵∠C＝∠BAD，
∴∠DAC+∠BAD＝90°．
∴∠BAC＝90°．
即AB⊥AC．
又∵AC过半径外端，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示：
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，，
设AD＝2m，则AB＝3m，
由勾股定理得：BDm．
∵BD＝5，
∴m．
∴AD，AB．
∵∠1＝∠2，∠ADB＝90°，
∴FG＝FD．
设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．
在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，，
∴．
解得：x＝3．
∴BF＝3．
31．如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．求证：AD是⊙O的切线．
【思路点拔】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得∠CAD+∠BAC＝90°，进而得出结论．
【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°．
又∵CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
又∵∠ABC＝∠D，
∴∠CAD+∠BAC＝90°，
即OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线．
32．如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O上的点，C是弧BF的中点，过点C作CE⊥AF于点E，延长EC交AB延长线于点D．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，CD＝4，求CE的长．
【思路点拔】（1）连接OC，如图，由得到∠BAC＝∠FAC，加上∠OCA＝∠OAC．则∠OCA＝∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）利用勾股定理计算出半径为3，进而得到OD＝5，由三角形的面积公式求得CM，根据角平分线的性质即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵C是弧BF的中点，
∴∠BAC＝∠CAF，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠CAF，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AF，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过C作CM⊥AD于M，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OCD中，
∵OD＝AD﹣OA＝8﹣r，OC＝r，CD＝4，
∴r2+42＝（8﹣r）2，
解得 r＝3，
∴OD＝5，
∵S△OCDOC CDOD CM，
∴CM，
∵∠BAC＝∠CAF，CE⊥AF，CM⊥AD
∴CE＝CM．
33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．求证：CE为⊙O的切线．
【思路点拔】连接AC，OC，由圆内接四边形的性质推出∠ABC＝∠CDE，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，由垂直的定义得到∠E＝90°，因此∠E＝∠ACB，由三角形内角和定理推出∠DCE＝∠BAC，而∠ECD＝∠BCF，得到∠BCF＝∠BAC，由OA＝OC，得到∠OCA＝∠BAC，因此∠OCA＝∠BCF，由∠OCA+∠OCB＝90°，得到∠BCF+∠OCB＝90°，得到半径OC⊥EC，即可证明CE为⊙O的切线．
【解答】证明：连接AC，OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AD
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠ACB，
∴∠DCE＝∠BAC，
∵∠ECD＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∴∠OCA＝∠BCF，
∵∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠BCF+∠OCB＝90°，
∴半径OC⊥EC，
∴CE为⊙O的切线．
34．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D为的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O直径为15，求CE的长．
【思路点拔】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，求得∠CAD＝∠OAD，根据平行线的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质得到，设DE＝x，AE＝2x，根据勾股定理得到ADx，ABx，根据相似三角形的性质得到，
（3）连接BC，根据垂径定理得到OD⊥BC，BH＝CH，根据矩形的性质得到CH＝DE，CE＝DH，求得BC＝2DE＝2x＝AE，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵点D为的中点，
∴，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵AE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O切线；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴△EAD∽△DAB，
∴，
设DE＝x，AE＝2x，
∴ADx，
∴BD，
∴ABx，
∴ODx，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△EAF，
∴，
（3）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵∠DEC＝∠EDH＝∠CHD＝90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴CH＝DE，CE＝DH，
∴BC＝2DE＝2x＝AE，
∵，ODAB，
∴AE＝12，
∴，
∴BC＝2x＝AE＝12，
∴AC9．
∴CE＝AE﹣AC＝3．
35．如图，平行四边形ABCD的对角线AC＝AB，⊙O经过A、B、C三点．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点P在优弧AB上，连接AP、BP，且BC＝8cm，AB＝5cm，求∠APB的正弦值．
【思路点拔】（1）连接OA根据垂径定理得出OA⊥BC，推出OA⊥AD，根据切线的判定推出即可；
（2）求出BE和EC，求出∠APB＝∠ACE，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】（1）解：直线AD与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OA交BC于E，
∵AB＝AC，
∴弧AB＝弧AC，
∴AO⊥BC，BE＝EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴直线AD是⊙O的切线；
（2）∵BC＝8，
∴BE＝EC＝4，
∵AB＝AC＝5，
∴由勾股定理得：AE＝3，
∵弧AB＝弧AC，
∴∠APB＝∠ACE，
则sin∠APB＝sin∠ACE．
36．如图，AE、BE分别平分∠BAC、∠ABC，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝ 70 °，∠AEB＝ 125 °；
（2）求证：DG是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）根据圆周角定理求出∠ADB，根据三角形角平分线的定义以及三角形内角和定理求出∠AEB；
（2）连接OD交BC于H，根据圆周角定理和切线的判定即可证明．
【解答】（1）解：由圆周角定理得，∠ADB＝∠ACB＝70°，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，
∵AE、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
故答案为：70，125；
（2）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，
∴BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线．
37．如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，点B为圆外一点，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．
【思路点拔】先由直径所对的圆周角是直角推出∠C+∠D＝90°，再由等边对等角得到∠OAD＝∠D，结合已知条件证明∠OAB＝90°，即可证明AB是⊙O的切线．
【解答】证明：如图，连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠D+∠C＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD∥AB，∠CAD＝30°，点E在BA的延长线上，且．AD＝AE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝4时，求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠CAD＝60°，根据等边三角形的性质得到∠ODC＝60°，求得∠OAD＝∠ODA＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADE＝∠E＝30°，求得∠ODE＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）由（1）知，△COD是等边三角形，求得OC＝OD＝2，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式是解题的关键．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠CAD＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠E＝30°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，△COD是等边三角形，
∵AB＝4，
∴OC＝OD＝2，
∵CD∥AB，
∴∠COD＝∠ADO＝60°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形COD的面积﹣△COD的面积2π．
39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE＝DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，说明理由；
（2）若BO＝2，OC＝1，AC＝2BC，求AE的长．
【思路点拔】（1）连接OD，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得∠ODE＝90°，则可得出结论；
（2）连接OE，求出AC＝6，设AE＝DE＝x，则CE＝6﹣x，由勾股定理求出x的值，则可得出答案．
【解答】解：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：
连接OD，如图1，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AE＝DE，
∴∠A＝∠EDA，
∴∠B+∠EDA＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB+∠EDA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，OD，如图2，
∵OB＝2，OC＝1，
∴BC＝3，
∵AC＝2BC，
∴AC＝6，
设AE＝DE＝x，则CE＝6﹣x，
∵∠OCE＝∠ODE＝90°，
由勾股定理得：OC2+CE2＝OE2，OD2+DE2＝OE2，
∴12+（6﹣x）2＝22+x2，
∴x，
∴AE．
40．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2.4为半径作⊙O．求证：AB是⊙O的切线．
【思路点拔】过点O作OC⊥AB于C点，如图，先根据勾股定理计算出AB，再利用面积法计算出OC的长，然后根据切线的判定方法得到结论．
【解答】证明：过点O作OC⊥AB于C点，如图，
∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB5，
∵AB OCOA OB，
∴OC2.4，
∵⊙O的半径为2.4，
∴OC等于⊙O的半径，
而AB⊥OC，
∴AB是⊙O的切线．
41． 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
【思路点拔】连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE为⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∵OD为⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
42．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）根据 AB＝AC＝AD，可得∠ACB＝ABC，∠ADB＝∠ABD，两式相减即得∠BCF＝∠CBF，结论得证；
（2）连接CO并延长交⊙O于G点，再连接GF，可得∠G+∠GCF＝90°，再根据已知证明∠BCF＝∠CDB，进而得∠BCF+∠GCF＝90°，从而得CG⊥BC即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ACB＝ABC，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
又∵∠ADB＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠ABD，
∴∠ACB﹣∠ACF＝ABC﹣∠ABD，
即：∠BCF＝∠CBF，
∴CF＝BF；
（2）连接CO并延长交⊙O于G点，再连接GF，
∵CG为O直径，
∴∠GFC＝90°，
∴∠G+∠GCF＝90 ，
∵∠CDB＝∠G，
∴∠CDB+∠GCF＝90°，
∵CD＝CB
∴∠CDB＝∠CBD，
∵CF＝BF，
∴∠BCF＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CDB，
∴∠BCF+∠GCF＝90°，
∴∠BCG＝90°，
∴CG⊥BC，且CG为⊙G的半径，
∴CB是⊙O的切线．
43．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC＝4时，求AC的长．
【思路点拔】（1）根据同弧所对的圆周角相等求解即可；
（2）连接OC，由圆周角定理可得∠AOC＝120°，再由等边对等角的性质，得到∠OAC＝∠OCA＝30°，进而得出∠BAE＝90°，即可证明结论；
（3）由（2）可知，∠BAC＝30°，根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB＝90°，再利用锐角三角函数值求解即可．
【解答】（1）解：∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵∠D＝60°，
∴∠ABC＝60°；
（2）证明：连接OC，
∵∠D＝60°，
∴∠AOC＝2∠D＝120°，
∵OA＝OC，
∴，
∵∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠OAC+∠EAC＝90°，即OA⊥AE，
∵OA是半径，
∴AE是⊙O的切线；
（3）解：∵∠BAC＝30°，AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴．
44．如图，已知⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．
（1）若BC＝6，OA＝5，求AC的长；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）由直径所对的圆周角是直角得到△ABC是直角三角形后，直接利用勾股定理即可求解；
（2）连结OC，证明AD∥OC，再得到∠DCO＝90°，利用切线的判定即可证明．
【解答】（1）解：∵OA＝5，
∴AB＝10．
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6，AB＝10，
∴根据勾股定理可得：AC8，
∴AC的长为8；
（2）证明：连结OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠D+∠DCO＝180°，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线．
45．如图，AB为⊙O的直径，点P在⊙O外，连接AP，OP，线段OP交⊙O于点C，连接BC，∠P＝32°，∠B＝29°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：PA是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）利用圆周角定理可得∠AOC＝58°，
（2）由（1）可得∠OAP＝90°，由OA为半径，即可得证．
【解答】（1）解：∵∠B＝29°，
∴∠AOC＝2∠B＝58°，
（2）证明：∵∠P＝32°，
∴∠P+∠AOC＝90°，
∴∠OAP＝90°，
又∵OA为半径，
∴PA是⊙O的切线．
46．如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
【思路点拔】连接OD，证得OD∥AC，可知DE⊥OD，即可证得DE为⊙O的切线．
【解答】解：连接OD，如图所示，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠A，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
47．如图，已知AB是⊙O的直径，AF平分∠EAC，且∠E＝90°，，连接AG．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若，，求线段AE的长．
【思路点拔】（1）证明OF⊥EC即可得到结论；
（2）连接BG．求出AB＝4，证明△AEF∽△AFB，得到AF2＝AE AB．即可得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠FAC＝∠AFO．
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF＝∠FAC，
∴∠EAF＝∠AFO，
∴OF∥AE．
∴∠OFC＝∠E＝90°，
∴OF⊥EC，
∴EC是⊙O的切线．
（2）解：连接BG．
∵，
∴AG＝BG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB＝90°，∠AFB＝90°．
∵，
∴．
∵∠EAF＝∠FAC，∠E＝∠AFB，
∴△AEF∽△AFB．
∴，
∴AF2＝AE AB．
∵，AB＝4，
∴
∴AE＝3．
48．如图，直径AB⊥弦CD于点E，PD∥AC．
（1）求证：AC＝PD；
（2）若直径AB＝6，，求证：PD是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）利用垂径定理求得CE＝DE，再利用AAS证明△CEA≌△DEP即可推出AC＝PD；
（2）利用圆周角定理求得∠ACB＝90°，再利用余弦函数的定义求得∠A＝30°，利用垂径定理结合圆周角定理求得∠BOD＝2∠A＝60°，据此求得∠ODP＝90°，即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵PD∥AC，
∴∠A＝∠P，
∵直径AB⊥弦CD于点E，
∴CE＝DE，∠CEA＝∠DEP＝90°，
∴△CEA≌△DEP（AAS），
∴AC＝PD；
（2）连接OD，BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝6，，
∴，
∴∠A＝30°，
∵直径AB⊥弦CD于点E，
∴，
∴∠BOD＝2∠A＝60°，
由（1）得∠A＝∠P＝30°，
∴∠ODP＝90°，即OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线．
49．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝13，BC＝10，求DE长．
【思路点拔】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，得出∠ODB＝∠C，进而得出OD∥AC，由DE⊥AC，得出OD⊥EF，即可证明EF是⊙O的切线；
（2）先求出BD＝5，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，
∴BD＝5，
∴，
∵在直角△ADC中，AD＝12，CD＝BD＝5，AC＝13，
∴
即．
50．如图，平行四边形ABCD的顶点B、C、D在⊙O上，连接OC，OD．
（1）若∠COD＝120°，CD＝6，求的长．
（2）若∠COD＝128°，∠A＝58°，求证：直线AB是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）如图，过O作OM⊥CD于M，证明∠ODC＝∠OCD＝30°，求解，再利用弧长公式计算即可；
（2）如图，连接OB，利用等腰三角形的性质与平行线的性质证明∠ABO＝90°，可得OB⊥AB，从而可得结论．
【解答】（1）解：如图，过O作OM⊥CD于M，
∵∠COD＝120°，CD＝6，OC＝OD，
∴DM＝CM＝3，∠ODC＝∠OCD＝30°，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接OB，
∵∠COD＝128°，OC＝OD，
∴，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AB∥CD，而∠A＝58°，
∴∠ABC＝180°﹣58°＝122°，∠BCD＝∠A＝58°，
∴∠OCB＝58°﹣26°＝32°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝32°，
∴∠ABO＝122°﹣32°＝90°，
∴OB⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线．
51．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，，求AD的长．
【思路点拔】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；
（2）先求出圆的半径，再根据勾股定理得到AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解；如图，连接EF，
∵∠BDO＝90°，
∴sinB，
∴OD＝5，
∴BD＝12，
∵OD∥AC，
∴，
∴，
∴AC，BC，
∴CD＝BC﹣BD，
∴AD．
52．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，点E在AB的延长线上，∠ECB＝∠DAC．
（1）若AB为⊙O的直径，求证：EC是⊙O的切线；
（2）若CE＝7，∠ECB＝45°，，求AD的长．
【思路点拔】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠ACO+∠BCO＝90°，根据已知可得，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠DAC＝∠CAO，然后根据等腰三角形的性质和已知可得∠ECB＝∠ACO，从而可得∠OCE＝90°，即可解答；
（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，根据已知可得BF＝CF，设BF＝CF＝x，则EF＝7﹣x，再在Rt△BFE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，从而求出BF，EF的长，进而求出BE，BC的长，然后再利用圆内接四边形对角互补和平角定义可得∠ADC＝∠CBE，最后证明△CBE∽△ADC，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∵DC＝BC，
∴，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵∠ECB＝∠DAC，
∴∠ECB＝∠ACO，
∴∠ECB+∠OCB＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，
∴∠BFC＝∠BFE＝90°，
∵∠ECB＝45°，
∴tan45°1，
∴BF＝CF，
设BF＝CF＝x，
∵CE＝7，
∴EF＝CE﹣CF＝7﹣x，
在Rt△BFE中，，
∴tanE，
∴x＝3，
经检验：x＝3是原方程的根据，
∴BF＝CF＝3，EF＝7﹣3＝4，
∴CD＝BCBF＝3，
在Rt△BFE中，BE5，
∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE，
∵∠ECB＝∠DAC，
∴△CBE∽△ADC，
∴，
∴，
∴AD，
∴AD的长为．
53．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，在BC的延长线上取一点F，连接AF，使．
（1）求证：AF与⊙O相切；
（2）若，，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接BD，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由等腰三角形的性质得∠ABD∠ABC，得出∠ABD＝∠CAF，证出∠CAF+∠CAB＝90°，BA⊥FA，即可得出结论；
（2）首先连接AE，设AE＝3x，EB＝4x，由勾股定理得到BC＝BA＝5x，得到CD＝x，由勾股定理可得方程：（2）2＝x2+（3x）2求得答案．
【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠CAB＝90°，
∵BA＝BC，
∴BD平分∠ABC，即∠ABD∠ABC，
∵∠CAF∠ABC，
∴∠ABD＝∠CAF，
∴∠CAF+∠CAB＝90°，即BA⊥FA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，AC2＝CE2+AE2，tan∠ABC，
设AE＝3x，EB＝4x，
∴AB5x，
∴BC＝BA＝5x，
∴CD＝BC﹣BE＝x，
在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，
即（2）2＝x2+（3x）2，
∴x＝2．
∴BA＝10，
∴⊙O的半径为5．
54．如图，A、B、C、D四点在⊙O上，BD为⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC＝30°，DE＝2cm，求BD的长；
（3）若3DE＝DC，4DE＝BC，AD＝5，求BD的长．
【思路点拔】（1）连接OA，如图，先证明OA∥CD，再由AE⊥CD得到OA⊥AE，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由圆周角定理得到∠C＝90°，则∠BDC＝90°﹣∠DBC＝60°，利用平角定理可计算出∠1＝∠2＝60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ADE中计算出AD＝2DE＝4，然后利用△OAD为等边三角形得到OD＝AD＝4，所以BD＝2OD＝8cm；
（3）设DE＝x，则BC＝4x，CD＝3x，利用勾股定理得到BD＝5x，再由BD为直径得到∠BAD＝90°，接着证明Rt△ADE∽Rt△BDA，然后利用相似比得，则可求出x的值，从而得到BD的长．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵DA平分∠BDE，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OA∥CD，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵BD为直径，
∴∠C＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠1＝∠2＝60°，
在Rt△ADE中，∵∠4＝30°，
∴AD＝2DE＝4，
∵∠1＝60°，OA＝OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴OD＝AD＝4，
∴BD＝2OD＝8cm；
（3）解：设DE＝x，则BC＝4x，CD＝3x，
在Rt△BCD中，BD5x，
∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
而∠1＝∠2，
∴Rt△ADE∽Rt△BDA，
∴，即，
∴x，
∴BD＝5x＝5．
55．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，交OA于点F，连接EF并延长EF交AB于G．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，，求BD的长．
【思路点拔】（1）连接OC，由OA＝OB，CA＝CB，得AB⊥OC，即可证明直线AB是⊙O的切线；
（2）连接CF，由∠COA＝90°﹣∠A＝60°，OC＝OF，证明△COF是等边三角形，则∠OCF＝60°，OC＝CF，所以∠FCG＝30°，再证明△EOF是等边三角形，则∠OFE＝60°＝∠COA，所以EF∥OC，则∠CGF＝∠BCO＝90°，所以cos30°，求得CF＝2，则OD＝OC＝CF＝2，OA＝OB＝2OC＝4，所以BD＝2．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴AB⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，且AB⊥OC，
∴直线AB是⊙O的切线．
（2）解：连接CF，
∵∠ACO＝90°，∠A＝∠B＝30°，
∴∠COA＝90°﹣∠A＝60°，
∵OC＝OF，
∴△COF是等边三角形，
∴∠OCF＝60°，OC＝CF，
∴∠FCG＝∠ACO﹣∠OCF＝30°，
∵OE＝OF，∠EOF＝∠A+∠B＝60°，
∴△EOF是等边三角形，
∴∠OFE＝60°＝∠COA，
∴EF∥OC，
∴∠CGF＝∠BCO＝90°，
∴cos30°，
∵CG，
∴CF2，
∴OD＝OC＝CF＝2，
∴OA＝OB＝2OC＝4，
∴BD＝OB﹣OD＝4﹣2＝2，
∴BD的长是2．
56．如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
（1）若AB＝8，求AE的长；
（2）求证：EB是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）利用ASA证得△ADE≌△ACB，即可得出AE＝AB＝8；
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，先根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAF＝90°，于是得出∠AFB+∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠AFB＝∠ACB，进而得出∠ACB+∠ABF＝90°，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理证得∠ACB＝∠ABE，于是问题得证．
【解答】（1）解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，
即∠EAD＝∠BAC，
又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACB（ASA），
∴AE＝AB，
∵AB＝8，
∴AE＝8；
（2）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFB+∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠ABF＝90°，
在△ADC中，AD＝AC，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴2∠ACB+∠CAD＝180°，
由（1）知AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴2∠ABE+∠BAE＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠ACB＝∠ABE，
∴∠ABE+∠ABF＝90°，
即∠OBE＝90°，
∵OB为半径，
∴EB是⊙O的切线．
57．如图，△ABC的顶点A，B在⊙O上，AC交⊙O于点D，连接BD，已知∠A＝45°．（1）若⊙O的半径为3，求弦BD的长；
（2）当∠ABC+∠ADB＝180°，求证：BC是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）连接OB、OD，则OB＝OD＝3，由圆周角定理得∠DOB＝90°，得出△OBD是直角三角形，利用勾股定理即可得出结果；
（2）连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE，则∠EAB＝90°，∠E+∠ABE＝90°，由直角三角形的性质得∠ABC+∠ABE＝90°，即可证得结论．
【解答】（1）解：如图，连接OB、OD，
∴OB＝OD＝3，
∵∠A＝45°，
∴∠DOB＝90°，
∴△OBD是直角三角形，
∴；
（2）证明；连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE，
∵BE为直径，
∴∠EAB＝90°，
∴∠E+∠ABE＝90°，
∵∠ABC+∠ADB＝180°，∠E+∠ADB＝180°，
∴∠E＝∠ABC，
∴∠ABC+∠ABE＝90°，
∴∠CBE＝90°，即EB⊥BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线．
58．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E为以BD为直径的⊙O上一点，且AE＝AC，连接BE，DE，已知AD，AC．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：AE是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）根据题意推出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质推出AB＝5，即可得的答案；
（2）连接OE，结合（1）等量代换得到∠AED＝∠ABE，根据圆周角定理及直角三角形的性质得出∠AED+∠BDE＝90°，结合等腰三角形的性质推出∠AEO＝90°，根据切线的判定定理即可得解．
【解答】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
又∵∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵AD，AC，
∴，
∴AB＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝2，
∴⊙O的半径；
（2）证明：连接OE，
由（1）得，，
∵AE＝AC，
∴，
∵∠DAE＝∠EAB，
∴△ADE∽△AEB，
∴∠AED＝∠ABE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠ABE+∠BDE＝∠AED+∠BDE＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠BDE＝∠OED，
∴∠OED+∠AED＝∠AEO＝90°，
∴AE⊥OE，
∵OE是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
59．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠1＝∠2，证出∠1＝∠3，得出MN∥OD，证出DE⊥OD，即可得出DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，由圆周角定理得出∠ADC＝90°，由勾股定理求出AD，证明△ADC∽△AED，得出对应边成比例，求出直径AC，即可得出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2，
∵AD平分∠CAM，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴MN∥OD，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，如图2所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD5（cm），
∵DE⊥MN，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADC＝∠AED，
又∵∠2＝∠3，
∴△ADC∽△AED，
∴，
即，
∴AC（cm），
∴OAACcm，
即⊙O的半径为cm．
60．如图，已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．
（1）猜想DE是⊙O的切线吗？并证明你的结论；
（2）若∠C＝40°，AD＝6，求⊙O的半径．（精确到0.01，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）
【思路点拔】（1）只要证∠EDO＝90°，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形两锐角互余得∠A＝50°，根据cosA，即可求得⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD、DB；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°．
∵E为BC边上的中点，
∴CE＝EB＝DE，
∴∠1＝∠2．
∵OB＝OD，
∴∠3＝∠4．
∴∠1+∠4＝∠2+∠3．
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝∠2+∠3＝90°，
∴∠EDO＝∠1+∠4＝90°．
∵D为⊙O上的点，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝40°，
∴∠A＝50°，
∵cosA，
∴AB9.334，
∴⊙O的半径为4.67．中小学教育资源及组卷应用平台
《切线的判定与性质的综合应用》解答题专练60题
1．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
2．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
求证：直线DE是⊙O的切线．
3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC＝BC，求证：BC是⊙O的切线．
4．如图，在△ABC中，AB＝6，∠C＝65°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求的长；
（2）若∠EAD＝75°，求证：CB为⊙O的切线．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，AF＝6，求BD的长．
6．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C．
（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AC＝8，，求AD的长．
7．如图，AB是⊙O的直径，过点A作CA⊥AB，D是⊙O上的一点，且CD＝CA，延长CD，交AB延长线于点E，连接BD．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，DE＝4，BE＝2，求BD的长．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
①求证：AF CF＝2DF EF；
②若CD＝20，sinA，求CF的长．
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点A是的中点，弦BD，CA的延长线交于点E，点F在线段DE上，且∠FAE＝∠ABE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若，BE＝10，求EF的长．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
11．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC＝BC．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠A，BC＝8，求⊙O的半径．
12．如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，延长BC至点D，连接AD，E为AB上方圆上一点，连接ED．若，AC＝8，BD＝6．
（1）求sin∠DAB的值；
（2）若ED＝2，求证：ED为⊙O的切线．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，AF＝6，求⊙O的半径．
14．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CAB＝30°，点D在AB上由点B开始向点A运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）如果CD⊥AB，求证：EF为⊙O的切线．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BAC＝∠BCD，过点B作BH⊥CD于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，，求BH的长．
16．已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE＝2，tanC，求⊙O的直径．
17．如图1，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）如图2，过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若BD平分∠ABC，AC＝AD，求证：CF是圆的切线．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在斜边AB上取一点O，以OA为半径作⊙O，交AB于点N，交AC于点M，连接MN．
（1）如图1，若∠B＝60°，MN＝2，求⊙O的半径．
（2）如图2，若⊙O与BC交于点D，连接AD，MD，且AD2＝AC AN；
①求证：BC是⊙O的切线；
②若AM＝3，CD＝2，求AN的长．
19．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且C是的中点，延长AD到E，且有∠ECD＝∠CAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若，AB＝5，求DE；
（3）在（2）的条件下求圆的直径AD．
20．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，∠ABD＝∠CAD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若DB平分∠ADC，AC＝AD，求证：CF为⊙O的切线．
21．如图，在 ABCD中，AC＝AD，⊙O是△ACD的外接圆，BC的延长线与AO的延长线交于E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AD＝5，求OE的长．
22．如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线．
23．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．
求证：CD是⊙O的切线．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF＝4，求CE的长．
25．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD＝ED．求证：AD是⊙O的切线．
26．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，连接AC，BC，AD，CD，线段CD与AB相交于点E，过点D作∠ADF＝∠ACD，DF交CA的延长线于点F．
（1）求证：DF 是⊙O的切线；
（2）若DF∥AB，，DE，求⊙O的半径．
27．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠A＝60°．点E在AB延长线上，BE＝OB．过点E作ED⊥AC，交AC的延长线于点D．求证：DE是⊙O的切线．
28．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线．
29．如图，PB切⊙O于点B，连接PO并延长交⊙O于点E，过点B作BA⊥PE交⊙O于点A，连接AP，AE．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果OD＝3，tan∠AEP，求⊙O的半径．
30．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB，BD＝5，求BF的长．
31．如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．求证：AD是⊙O的切线．
32．如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O上的点，C是弧BF的中点，过点C作CE⊥AF于点E，延长EC交AB延长线于点D．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，CD＝4，求CE的长．
33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．求证：CE为⊙O的切线．
34．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D为的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O直径为15，求CE的长．
35．如图，平行四边形ABCD的对角线AC＝AB，⊙O经过A、B、C三点．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点P在优弧AB上，连接AP、BP，且BC＝8cm，AB＝5cm，求∠APB的正弦值．
36．如图，AE、BE分别平分∠BAC、∠ABC，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝ °，∠AEB＝ °；
（2）求证：DG是⊙O的切线．
37．如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，点B为圆外一点，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．
38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD∥AB，∠CAD＝30°，点E在BA的延长线上，且．AD＝AE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝4时，求图中阴影部分的面积．
39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE＝DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，说明理由；
（2）若BO＝2，OC＝1，AC＝2BC，求AE的长．
40．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2.4为半径作⊙O．求证：AB是⊙O的切线．
41． 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
42．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线．
43．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC＝4时，求AC的长．
44．如图，已知⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．
（1）若BC＝6，OA＝5，求AC的长；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
45．如图，AB为⊙O的直径，点P在⊙O外，连接AP，OP，线段OP交⊙O于点C，连接BC，∠P＝32°，∠B＝29°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：PA是⊙O的切线．
46．如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
47．如图，已知AB是⊙O的直径，AF平分∠EAC，且∠E＝90°，，连接AG．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若，，求线段AE的长．
48．如图，直径AB⊥弦CD于点E，PD∥AC．
（1）求证：AC＝PD；
（2）若直径AB＝6，，求证：PD是⊙O的切线．
49．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝13，BC＝10，求DE长．
50．如图，平行四边形ABCD的顶点B、C、D在⊙O上，连接OC，OD．
（1）若∠COD＝120°，CD＝6，求的长．
（2）若∠COD＝128°，∠A＝58°，求证：直线AB是⊙O的切线．
51．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，，求AD的长．
52．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，点E在AB的延长线上，∠ECB＝∠DAC．
（1）若AB为⊙O的直径，求证：EC是⊙O的切线；
（2）若CE＝7，∠ECB＝45°，，求AD的长．
53．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，在BC的延长线上取一点F，连接AF，使．
（1）求证：AF与⊙O相切；
（2）若，，求⊙O的半径．
54．如图，A、B、C、D四点在⊙O上，BD为⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC＝30°，DE＝2cm，求BD的长；
（3）若3DE＝DC，4DE＝BC，AD＝5，求BD的长．
55．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，交OA于点F，连接EF并延长EF交AB于G．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，，求BD的长．
56．如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
（1）若AB＝8，求AE的长；
（2）求证：EB是⊙O的切线．
57．如图，△ABC的顶点A，B在⊙O上，AC交⊙O于点D，连接BD，已知∠A＝45°．（1）若⊙O的半径为3，求弦BD的长；
（2）当∠ABC+∠ADB＝180°，求证：BC是⊙O的切线．
58．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E为以BD为直径的⊙O上一点，且AE＝AC，连接BE，DE，已知AD，AC．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：AE是⊙O的切线．
59．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
60．如图，已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．
（1）猜想DE是⊙O的切线吗？并证明你的结论；
（2）若∠C＝40°，AD＝6，求⊙O的半径．（精确到0.01，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）
