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《切线长定理》同步提升训练题
一．选择题（共31小题）
1．如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD＝PB＝2，则BE长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若⊙O的半径为4，且AB＝10，则DE的长度为（ ）
A．5 B．5.5 C． D．6
3．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则正方形ABCD周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
4．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半径为1，D是BC上一动点，DM，DN分别切⊙A于点M，N，⊙A的另一条切线EF切⊙A于点G，分别交DM，DN于点E，F．若D是BC的中点，则△DEF的周长是（ ）
A． B．6 C． D．
5．如图，点P是半径为r的⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B点，若△PAB是边长为a的等边三角形，则（ ）
A．a＝2r B．ar C．ar D．ar
6．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB、AC相切，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．4
7．如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，点D是线段BC上一动点（不与B，C重合），过点D作⊙A的切线，切点为E，DE的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．如图，AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O，若AD＝BD＝3，则AC的长度是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在⊙O中，∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数（ ）
A．55° B．110° C．70° D．140°
10．如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．60 B．55 C．45 D．50
11．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
12．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm
B．15cm
C．10cm
D．随直线MN的变化而变化
13．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（ ）
A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70°
14．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
15．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
16．如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（ ）
A．36° B．63° C．126° D．46°
17．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
18．如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA＝7.5cm，则△PMN的周长是（ ）
A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD，AC＝3．则DE长为（ ）
A． B．2 C． D．
20．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
21．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．6 B．3 C．6 D．3
22．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
23．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（ ）
A． B．2 C． D．3
24．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．π B．2π C．4π D．0.5π
25．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（ ）
A．32° B．48° C．60° D．66°
26．如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（ ）
A．50° B．62° C．66° D．70°
27．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（ ）
A．5，（90°+∠P） B．7，90°
C．10，90°∠P D．10，90°∠P
28．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣3π B． C． D．
29．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，∠P＝60°，⊙O的半径为3．则阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
30．如图是个一不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝25°，则∠APB的度数为（ ）
A．50° B．60° C．25° D．90°
31．如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB＝60°，点P到圆心O的距离OP＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
二．填空题（共7小题）
32．如图，AB为⊙O的切线，AC、BD分别与⊙O切于C、D点，若AB＝5，AC＝3，则BD的长是 ．
33．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若BC：AB：AD＝3：4：6，且四边形ABCD的周长为72，则四边形CD边长为 ．
34．四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若∠AOB＝78°，则∠COD的度数是 ．
35．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝ ．
36．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是 ．
37．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ °．
38．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝ ．
三．解答题（共22小题）
39．如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．
（1）求CD的长度．
（2）求EG的长度．
（3）求FB的长度．
40．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
41．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
42．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
43．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．
（1）求证：AO2＝AE AD；
（2）若AO＝4cm，AD＝5cm，求⊙O的面积．
44．如图，P是半径为cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA＝PB＝3cm，∠APB＝60°，C是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E．
（1）求△PDE的周长；
（2）若DEcm，求图中阴影部分的面积．
45．如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O半径为3，求阴影部分面积．
46．如图，已知PA，PB切⊙O于A、B两点，连AB，∠APB＝60°AB，试求：
（1）求⊙O的半径；
（2）由PA，PB，围成图形（即阴影部分）的面积．
47．如图，直线PCD过圆心O，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB＝60°，PA＝4，AB与PD相交于E．
（1）求弦AB的长；
（2）求阴影部分的面积．
48．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，∠APB＝60°，连结AO、BO．
（1）求弧AB所对的圆心角∠AOB；
（2）求证：PA＝PB；
（3）若OA＝3，求阴影部分的面积．
49．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点F（2，0），直角GF交y轴正半轴于点G，且∠GFO＝30°．
（1）请直接写出点G的坐标；
（2）若⊙O的半径为1，点P是直线GF上的动点，直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B．
①求切线长PB的最小值；
②在直线GF上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
50．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
51．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
52．已知：AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．
①求BC的长；
②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
53．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC＝90°，
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB＝3，OC＝4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．
54．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE＝CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC＝4，BD，求⊙O的半径OC的长．
55．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PO与⊙O交于点H，AH＝OH．
（1）求证：△ABP是等边三角形；
（2）过点A作PO的平行线，与⊙O的另一个交点为C，连接CP．若AB＝6，求⊙O的半径和tan∠CPB的值．
56．已知如图，AC是⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接BA、BC，OQ⊥PQ于Q，OQ交AB于M．
（1）求证：∠C＝90°∠APB
（2）若OM＝1，OQ＝4，求AC的长．
57．如图CA，CD是⊙O的两条切线，切点分别为A，D；AB是⊙O的直径，AB＝AC，过点A作AF⊥CD于F，交⊙O于点E．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝2，求AE长．
58．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，C为上的一点，∠COA＝∠P．
（1）求证：BC∥OA；
（2）若BC＝10，OA＝13，求PA的长．
59．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．
（1）求证：∠POA＝2∠PCB；
（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．
60．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B．点Q为AB上一点．过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于E，F两点．已知PA＝12cm，∠P＝56°．
（1）求△PEF的周长；
（2）求∠EOF的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
《切线长定理》同步提升训练题
一．选择题（共31小题）
1．如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD＝PB＝2，则BE长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】作CH⊥PB于H，由垂径定理得到CE的长，从而求出PH的长，由勾股定理求出CH的长，即可求出BE的长．
【解答】解：作CH⊥PB于H，
∵直径AB⊥CD于H，
∴CE＝DECD，
∵PC，PB分别切⊙O于C，B，
∴PB＝PC＝CD＝2，直径AB⊥PB，
∴四边形ECHB是矩形，
∴BH＝CE，BE＝CH，
∴PH＝PB﹣BH＝2，
∴CH3，
∴BE＝CH＝3．
故选：C．
2．如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若⊙O的半径为4，且AB＝10，则DE的长度为（ ）
A．5 B．5.5 C． D．6
【思路点拔】设⊙O与正方形ABCD的边AD、AB切于点F、H，证明四边形AHOF是正方形，求出DF＝6，然后根据切线长定理可得答案．
【解答】解：如图，设⊙O与正方形ABCD的边AD、AB切于点F、H，
则∠OFD＝∠OFA＝∠OHA＝90°，
∵∠A＝90°，OH＝OF，
∴四边形AHOF是正方形，
∵⊙O的半径为4，且AB＝10，
∴OF＝AF＝OH＝4，AD＝AB＝10，
∴DF＝10﹣4＝6，
∵DE与⊙O相切于点E，
∴DE＝DF＝6，
故选：D．
3．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则正方形ABCD周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【思路点拔】设正方形ABCD的边长为m，AE＝x，则AD＝CD＝CB＝m，先证明AD是⊙O的切线，因为CE与⊙O相切于点F，所以FE＝AE＝x，CF＝CB＝m，即可由△CDE的周长为12列方程m﹣x+m+x+m＝12，得m＝4，即可求得正方形ABCD周长为16．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝CB，∠A＝∠D＝90°，
设正方形ABCD的边长为m，AE＝x，则AD＝CD＝CB＝m，
∵AD经过⊙O的半径OA的外端，且AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线，
∵CE与⊙O相切于点F，
∴FE＝AE＝x，CF＝CB＝m，
∵DE+CE+CD＝12，
∴m﹣x+m+x+m＝12，
∴m＝4，
∴正方形ABCD周长为16，
故选：C．
4．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半径为1，D是BC上一动点，DM，DN分别切⊙A于点M，N，⊙A的另一条切线EF切⊙A于点G，分别交DM，DN于点E，F．若D是BC的中点，则△DEF的周长是（ ）
A． B．6 C． D．
【思路点拔】根据切线长定理可知△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+EM+DF+FN＝DM+DN，连接AD，AN，在Rt△AND中，由勾股定理求出AN的长即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AN，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CD＝3，
∵D是BC的中点，
∴，
∴，
∵DM，DN分别切⊙A于点M，N，
∴DM＝DN，AN⊥DN，
同理：EM＝EG，FN＝FG，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+ME+DF+FN＝DM+DN＝2DN，
在Rt△AND中，，
∴△DEF的周长为，
故选：C．
5．如图，点P是半径为r的⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B点，若△PAB是边长为a的等边三角形，则（ ）
A．a＝2r B．ar C．ar D．ar
【思路点拔】连结OP、OA，由PA，PB分别切⊙O于A，B点，得PA⊥OA，∠OPA＝∠OPB∠APB＝30°，则∠OAP＝90°，所以OP＝2OA，即可根据勾股定理求得PAOA，所以ar，于是得到问题的答案．
【解答】解：连结OP、OA，则OA＝r，
∵△PAB是边长为a的等边三角形，
∴PA＝a，∠APB＝60°，
∵PA，PB分别切⊙O于A，B点，
∴PA⊥OA，∠OPA＝∠OPB∠APB＝30°，
∴∠OAP＝90°，
∴OP＝2OA，
∴PAOA，
∴ar，
故选：B．
6．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB、AC相切，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．4
【思路点拔】设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，由切线的性质得到∠BAO＝∠CAO∠BAC＝30°，求得∠AOC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：设⊙O与AC的切点为E，
连接AO，OE，
∵等边三角形ABC的边长为8，
∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，
∵圆分别与边AB，AC相切，
∴∠BAO＝∠CAOBAC＝30°，
∴∠AOC＝90°，
∴OCAC＝4，
∵OE⊥AC，
∴OEOC＝2，
∴⊙O的半径为2，
故选：C．
7．如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，点D是线段BC上一动点（不与B，C重合），过点D作⊙A的切线，切点为E，DE的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【思路点拔】连接AE、AD，过点A作AH⊥BC于H，如图，利用等边三角形的性质计算出AH，根据切线的性质得到AE⊥DE，利用勾股定理得到DE，则当AD有最小值时，DE的值最小，而AD的最小值为，从而得到DE的最小值．
【解答】解：连接AE、AD，过点A作AH⊥BC于H，如图，
∵等边△ABC的边长为2，
∴BH＝1，
∴AH，
∵DE为切线，
∴AE⊥DE，
∴DE，
当AD有最小值时，DE的值最小，而AD的最小值为，
∴DE的最小值为．
故选：B．
8．如图，AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O，若AD＝BD＝3，则AC的长度是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，得BC＝BD，BC⊥AC，则∠C＝90°，而AD＝BD＝3，所以BC＝3，AB＝6，则AC3，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O，
∴BC＝BD，BC⊥AC，
∴∠C＝90°，
∵AD＝BD＝3，
∴BC＝3，AB＝AD+BD＝3+3＝6，
∴AC3，
故选：B．
9．如图，在⊙O中，∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数（ ）
A．55° B．110° C．70° D．140°
【思路点拔】连接OB、OC，由切线的性质得∠OBP＝∠OCP＝90°，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝110°，则∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝70°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB、OC，
∵PB、PC分别与⊙O相切于点B、C，
∴PB⊥OB，PC⊥OC，
∴∠OBP＝∠OCP＝90°，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×55°＝110°，
∴∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝70°，
故选：C．
10．如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．60 B．55 C．45 D．50
【思路点拔】根据切线长定理得到AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF，进而求出AD+BC，再根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、G、H、F，
∴AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF，
∴AD+BC＝AF+DF+BG+CG＝AE+DH+BE+CG＝AB+CD＝10+15＝25，
∴四边形ABCD的周长为：AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，
故选：D．
11．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【思路点拔】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
12．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm
B．15cm
C．10cm
D．随直线MN的变化而变化
【思路点拔】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．
故选：A．
13．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（ ）
A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70°
【思路点拔】连接OA，OB，可得∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB；据此即可求解．
【解答】解：连接OA，OB，如图所示：
由切线的性质以及切线长定理得：∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠OAP﹣∠OBP＝140°，
∴；
△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝2PA＝10，
故选：D．
14．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
【思路点拔】根据切线长定理，可得BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH，则C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+CH+BC），据此即可求解．
【解答】解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，
∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH．
∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9，
∴C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7．
故选：A．
15．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【思路点拔】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故选：C．
16．如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（ ）
A．36° B．63° C．126° D．46°
【思路点拔】连接OA，OB，OE，根据切线长定理，得∠AOC＝∠COE，∠BOD＝∠DOE，从而得∠COD∠AOB，再由∠APB＝54°，求得∠COD．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OE，
∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，
∴∠AOC＝∠EOC，
同理∠BOD＝∠DOE，
∴∠COD＝∠COE+∠DOE∠AOB，
∵∠APB＝54°，
∴∠AOB＝126°，
∴∠COD＝63°．
故选：B．
17．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【思路点拔】先根据切线长定理求出AP，进而求出BP，再根据切线长定理解答即可．
【解答】解：∵AP、AC是⊙O的切线，
∴AP＝AC＝3，
∵AB＝4，
∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，
∵BP、BD是⊙O的切线，
∴BD＝BP＝1，
故选：D．
18．如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA＝7.5cm，则△PMN的周长是（ ）
A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm
【思路点拔】根据切线长定理得MA＝MC，NC＝NB，然后根据三角形周长的定义进行计算．
【解答】解：∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，
∴MA＝MC，NC＝NB，
∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝7.5+7.5＝15（cm）．
故选：D．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD，AC＝3．则DE长为（ ）
A． B．2 C． D．
【思路点拔】连接OD，CD．由切线长定理得CD＝DE，可证明△ADC∽△ACB，则可求得BD，再由勾股定理求得BC，可证明BE＝DE，从而求得DE的长．
【解答】解：连接OD，CD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AD，AC＝3．
∴CD，
∵OD＝OC＝OA，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵DE是切线，
∴∠CDE+∠ODC＝90°．
∵∠OCD+∠DCB＝90°，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴DE＝CE．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠B＝∠ACD，
∴，
∴BC4，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠B+∠DCB＝90°，∠B+∠CDE＝90°，∠CDE+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝CE＝DE．
∴DEBC4＝2．
故选：B．
20．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【思路点拔】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BC10，
∴BE+CG＝10（cm）．
故选：D．
21．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．6 B．3 C．6 D．3
【思路点拔】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝AC＝3、∠OAB＝60°，根据OB＝ABtan∠OAB可得答案．
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：A．
22．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
【思路点拔】方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH，则圆的半径R，可以看作△BOC，△COD，△AOD的高，根据S梯形ABCD＝S△BOC+S△COD+S△DOA，以及梯形的面积公式即可求解．
方法2、利用切线的性质得出∠ADO＝∠ODC，进而得出∠ADO＝∠AOD，即可得出OA＝6，即：OB＝4，同理：BC＝OB即可得出结论．
【解答】解：方法1、
设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．
设CD＝y，CB＝x．
设S梯形ABCD＝S
则S（CD+AB）R（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）
S＝S△BOC+S△COD+S△DOA
xRyR6R﹣﹣﹣﹣（2）
联立（1）（2）得x＝4；
方法2、连接OD．OC
∵AD，CD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝∠ODC，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD，
∴∠ADO＝∠AOD
∴AD＝OA
∵AD＝6，
∴OA＝6，
∵AB＝10，
∴OB＝4，
同理可得
OB＝BC＝4，
故选：A．
23．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【思路点拔】先判断出PA＝PB，进而判断出△PAB是等边三角形，即可得出结论．
【解答】解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，
∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝AP＝2．
故选：B．
24．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．π B．2π C．4π D．0.5π
【思路点拔】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到EM＝NF，得到OE＝2，于是得到结论．
【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝4，
∴OE＝2，
∴⊙O的面积为4π，
故选：C．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（ ）
A．32° B．48° C．60° D．66°
【思路点拔】根据切线长定理可知CA＝CD，求出∠CAD，再证明∠DBA＝∠CAD即可解决问题．
【解答】解：∵CA、CD是⊙O的切线，
∴CA＝CD，
∵∠ACD＝48°，
∴∠CAD＝∠CDA＝66°，
∵CA⊥AB，AB是直径，
∴∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，∠CAD+∠DAB＝90°，
∴∠DBA＝∠CAD＝66°，
故选：D．
26．如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（ ）
A．50° B．62° C．66° D．70°
【思路点拔】由PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，根据切线长定理即可得：CE＝CA，DE＝DB，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得∠PAE∠PCD，∠PBE∠PDC，继而求得∠PAE+∠PBE的度数．
【解答】解：∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，
∴CE＝CA，DE＝DB，
∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，
∴∠PCD＝∠CAE+∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠DBE，
∴∠CAE∠PCD，∠DBE∠PDC，
即∠PAE∠PCD，∠PBE∠PDC，
∵∠P＝40°，
∴∠PAE+∠PBE∠PCD∠PDC（∠PCD+∠PDC）（180°﹣∠P）＝70°．
故选：D．
27．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（ ）
A．5，（90°+∠P） B．7，90°
C．10，90°∠P D．10，90°∠P
【思路点拔】根据切线长定理，即可得到PA＝PB，ED＝AD，CE＝BC，从而求得三角形的周长＝2PA；连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB＝180°，再根据CD为切线可知∠COD∠AOB．
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC，
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA＝10；
如图，连接OA、OE、OB．
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，
∵AO＝OE＝OB，
易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD∠AOB，
∴∠AOB＝180°﹣∠P，
∴∠COD＝90°∠P．
故选：C．
28．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣3π B． C． D．
【思路点拔】连接OA，OB，OP，由切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，可以证明Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），得到△AOP的面积＝△BOP的面积，∠APO＝∠BPO＝30°，求出∠AOB＝120°，求出AP的长，求出扇形OAB的面积，△AOP的面积，即可求出阴影的面积．
【解答】解：连接OA，OB，OP，
∵PA，PB切⊙O于A，B两点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），
∴△AOP的面积＝△BOP的面积，∠APO＝∠BPO∠APB60°＝30°，
∴∠AOP＝∠BOP＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝3，
∴APOA＝3，
∴△AOP的面积OA PA，
∴四边形AOBP的面积＝△AOP的面积×2＝9，
∵扇形OAB的面积3π，
∴阴影的面积＝四边形AOBP的面积﹣扇形OAB的面积＝93π．
故选：B．
29．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，∠P＝60°，⊙O的半径为3．则阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
【思路点拔】连接OP，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，根据已知条件得到∠POA＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∵∠P＝60°，
∴∠BOA＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴阴影部分的面积6π，
故选：D．
30．如图是个一不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝25°，则∠APB的度数为（ ）
A．50° B．60° C．25° D．90°
【思路点拔】连接OB，由AO＝OB得，∠OAB＝∠OBA＝25°，∠AOB＝180°﹣2∠OAB＝130°；因为PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．
【解答】解：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝25°，
∴∠AOB＝130°，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP＝180°，
∴∠APB+∠AOB＝180°；
∴∠APB＝50°．
故选：A．
31．如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB＝60°，点P到圆心O的距离OP＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
【思路点拔】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知∠APO的度数，连接OA，可知OA⊥AP，故在Rt△AOP中，根据三角函数公式，可将半径求出．
【解答】解：连接OA
∵PA为⊙O的切线
∴PA⊥OA
∵∠APO∠APB＝30°
∴OA＝OP×sin∠APO＝21
∴⊙O的半径为1
故选：B．
二．填空题（共7小题）
32．如图，AB为⊙O的切线，AC、BD分别与⊙O切于C、D点，若AB＝5，AC＝3，则BD的长是 2 ．
【思路点拔】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AE，BE＝BD，求出BE的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AE，
∵BE、BD为⊙O的切线，
∴BE＝BD，
∴BD＝EB＝AB﹣AE＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
33．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若BC：AB：AD＝3：4：6，且四边形ABCD的周长为72，则四边形CD边长为 20 ．
【思路点拔】利用圆的外切四边形的对边之和相等得到AB+CD＝BC+AD，设BC＝3x，AB＝4x，AD＝6x，则4x+CD＝3x+6x，所以CD＝5x，接着利用四边形的周长为72得到3x+4x+5x+6x＝72，然后解方程求出x，从而得到CD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AB+CD＝BC+AD，
∵BC：AB：AD＝3：4：6，
∴设BC＝3x，AB＝4x，AD＝6x，
∵4x+CD＝3x+6x，
∴CD＝5x，
∵四边形ABCD的周长为72，
∴3x+4x+5x+6x＝72，
解得x＝4，
∴CD＝5x＝20．
故答案为：20．
34．四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若∠AOB＝78°，则∠COD的度数是 102° ．
【思路点拔】由切线长定理推出∠AOB＝180°（∠BAD+∠ABC），∠COD＝180°（∠ADC+∠BCD），得到∠AOB+∠COD＝180°，而∠AOB＝78°，即可求出∠COD＝102°．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AO平分∠BAD，OB平分∠ABC，
∴∠1∠BAD，∠2∠ABC，
∴∠1+∠2（∠BAD+∠ABC），
∴∠AOB＝180°（∠BAD+∠ABC），
同理：∠COD＝180°（∠ADC+∠BCD），
∴∠AOB+∠COD＝360°（∠BAD+∠ABC+∠ADC+∠BCD）＝360°360°＝180°，
∵∠AOB＝78°，
∴∠COD＝102°．
故答案为：102°．
35．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝ 2 ．
【思路点拔】有条件可得AD＝CD，再有切线长定理可得：CD＝CE，所以AD＝CE，问题得解．
【解答】解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，
∴CD＝CE，
∵∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE，
∵AD＝2，
∴CE＝2．
故答案为：2．
36．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是 72° ．
【思路点拔】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出∠2+∠3＝∠DOC＝72°．
【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，
在Rt△DEO和Rt△DFO中，
∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），
∴∠1＝∠2，
同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，
∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，
∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，
∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．
故答案为：72°．
37．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ 76 °．
【思路点拔】由切线的性质得出PA＝PB，PA⊥OA，得出∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，由已知得出∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
38．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝ 219° ．
【思路点拔】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．
【解答】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA（180°﹣102°）＝39°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，
故答案为：219°．
三．解答题（共22小题）
39．如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．
（1）求CD的长度．
（2）求EG的长度．
（3）求FB的长度．
【思路点拔】（1）根据切线的判定定理得到DA、CB都是圆O的切线，根据求写出定理分别求出DE、CE，进而求出CD；
（2）证明△DEG∽△DCB，根据相似三角形的性质求出EG；
（3）证明AD∥EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：（1）∵AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴DA、CB都是圆O的切线，
∵CD与圆O相切于点E，
∴DE＝DA＝2，CE＝CB＝6，
∴CD＝DE+CE＝8；
（2）∵∠ABC＝90°，EF⊥AB，
∴EG∥BC，
∴△DEG∽△DCB，
∴，即，
解得：EG；
（3）过点D作DH⊥BC于H，
则四边形DABH为矩形，
∴BH＝AD＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴DH4，
∴AB＝DH＝4，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，EF⊥AB，
∴AD∥EG∥BC，
∴，即，
解得：BF＝3．
40．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
【思路点拔】（1）由切线长定理可得PA＝PB，且∠P＝60°，可得△PAB是等边三角形；
（2）由等边三角形的性质可得PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，由圆周角定理和切线的性质可得∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，由锐角三角函数可求AC的长，
【解答】解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB，且∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形；
（2）∵△PAB是等边三角形；
∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，
∵BC是直径，PB是⊙O切线，
∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC，
∴AC＝2cm．
41．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
【思路点拔】（1）欲证明OQ＝PQ，只要证明∠QOP＝∠QPO即可；
（2）设OA＝r．在Rt△PCQ中，利用勾股定理构建方程求出r，再证明四边形OPDB是平行四边形，求出OP即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP4，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4．
42．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
【思路点拔】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠ABC+∠BCD＝180°，则有∠OBE+∠OCF＝90°，即∠BOC＝90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°；
（2）由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC10cm，
∴BE+CG＝BC＝10cm．
（3）∵BC与⊙O相切于点F，
∴OF⊥BC，
∴S△OBCOF×BCOB×OC，即OF×106×8．
∴OF＝4.8cm．
43．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．
（1）求证：AO2＝AE AD；
（2）若AO＝4cm，AD＝5cm，求⊙O的面积．
【思路点拔】（1）利用切线的性质以及切线长定理得出∠AOD＝90°，进而得出△AOE∽△ADO，进而得出答案；
（2）利用三角形面积公式以及圆的面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：根据切线长定理可知：
∵∠OAE+∠ODA（∠BAD+∠ADC）＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵∠OAE＝∠OAE，∠AOD＝∠AEO＝90°，
∴△AOE∽△ADO，
∴，
即AO2＝AE AD；
（2）解：在Rt△AOD中，
OD3（cm），
∵S△AODAD×EOAO×OD
即5×EO＝4×3，
∴EO（cm），
∵OE是⊙O的半径，
∴S圆O＝πr2π（cm2）．
44．如图，P是半径为cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA＝PB＝3cm，∠APB＝60°，C是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E．
（1）求△PDE的周长；
（2）若DEcm，求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）根据切线长定理得PA＝PB＝3cm，CE＝BE，AD＝DC，由三角形周长定义得△PDE的周长＝PE+DE+PD，然后利用等线段可得△PDE的周长＝PA+PB＝6cm；
（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，根据切线的性质得∠OBP＝∠OPA＝90°，再根据四边形内角和计算出∠BOA＝120°，利用切线长定理得BE＝CE，DC＝DA，则根据三角形面积公式得到S△OCE＝S△OBE，S△OCD＝S△ODA，所以S五边AOBED＝2S△ODE＝4，然后根据扇形面积公式和图中阴影部分的面积＝S五边AOBED﹣S扇形AOB进行计算．
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，
∴PA＝PB＝3cm，CE＝BE，AD＝DC，
∴△PDE的周长＝PE+DE+PD＝PE+CE+CD+PD
＝PE+BE+AD+PD
＝PA+PB
＝3cm+3cm
＝6cm；
（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，
∵PA、PB、OC是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，OC⊥DE，
∴∠OBP＝∠OPA＝90°，
∵∠APB＝60°，
∴∠BOA＝120°，
∵BE＝CE，DC＝DA，
∴S△OCE＝S△OBE，S△OCD＝S△ODA，
∴S五边AOBED＝2S△ODE＝24，
∴图中阴影部分的面积＝S五边AOBED﹣S扇形AOB＝4（4﹣π）cm2．
45．如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O半径为3，求阴影部分面积．
【思路点拔】首先根据切线长定理，可求得∠AOP的度数与OA⊥PA，又由直角三角形的性质，可求得PA的长，然后求得△PAO与扇形AOC的面积，由S阴影＝2×（S△PAO﹣S扇形AOC）则可求得结果．
【解答】解：连接PO与AO，
∵PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，
∴OA⊥PA，∠APO∠APB＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵⊙O半径为3，
∴OA＝3，PO＝6，
∴PA3，
∴S△PAOAO PA3×3，
S扇形AOCπ，
∴S阴影＝2×（S△PAO﹣S扇形AOC）＝2×（π）＝93π．
∴阴影部分面积为：93π．
46．如图，已知PA，PB切⊙O于A、B两点，连AB，∠APB＝60°AB，试求：
（1）求⊙O的半径；
（2）由PA，PB，围成图形（即阴影部分）的面积．
【思路点拔】（1）如图，连接OA．利用切线的性质和直角三角形的性质求得∠OAC＝30°，ACAB，通过解直角△AOC可以求得OA的长度．
（2）图中阴影部分的面积＝两个直角三角形的面积之和﹣扇形的面积．
【解答】解：（1）如图，连接OA、OB．
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，∠APB＝60°
∴OP垂直平分AB，∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APC＝∠BPC＝30°，
∵AB，
∴ACAB，
∴OA1，即⊙O的半径是1；
（2）∵由（1）知，⊙O的半径是1．
∴在直角△OAC中，OCOA．
∵在直角△OAP中，AC⊥OP，OA＝1，
∴OA2＝OC OP，即1OP，则OP＝2．
∴S阴影部分＝2S△AOP﹣S扇形OAB＝2OP AC＝22，即由PA，PB，围成图形（即阴影部分）的面积是．
47．如图，直线PCD过圆心O，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB＝60°，PA＝4，AB与PD相交于E．
（1）求弦AB的长；
（2）求阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）根据切线长定理可以得出∠APB＝60°，△PAB为等边三角形，即可求出；
（2）由S阴影＝S半圆O﹣S△ADE，分别求出各部分的面积即可得出答案．
【解答】解：（1）∵PA．PB与⊙O相切于A，B两点
∴PA＝PB，
∵∠APB＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB＝PA＝4；
（2）连接AD，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴OP平分∠APB，OP垂直平分AB，
∴∠APO∠APB＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵∠PAO＝90°，
∴OA，
∵AEAP＝2，
∴AD＝2AE＝4，
∴S阴影＝S半圆O﹣S△ADE
π×（）22×2，
π﹣2．
48．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，∠APB＝60°，连结AO、BO．
（1）求弧AB所对的圆心角∠AOB；
（2）求证：PA＝PB；
（3）若OA＝3，求阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）利用圆的切线的性质定理和四边形的内角和定理解答即可；
（2）连接OP，利用全等三角形的判定定理与性质定理解答即可；
（3）利用四边形PAOB的面积减去扇形OAB的面积即可．
【解答】（1）解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵四边形PAOB的内角和为360°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∵∠APB＝60°，
∴∠AOB＝120°；
（2）证明：连接OP，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴PA＝PB；
（3）解：∵Rt△PAO≌Rt△PBO，
∴∠APO＝∠BPO＝30°，S△PAO＝S△PBO．
∵OA＝3，
∴PA．
∴S阴影部分＝2S△OAP﹣S扇形OAB＝2OA PA93π．
49．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点F（2，0），直角GF交y轴正半轴于点G，且∠GFO＝30°．
（1）请直接写出点G的坐标；
（2）若⊙O的半径为1，点P是直线GF上的动点，直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B．
①求切线长PB的最小值；
②在直线GF上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）由已知条件得到OF＝2，解直角三角形即可得到结论；
（2）①连接OPOP，根据切线的性质得到OB⊥PB，当OP⊥GF时，线段PO最短，解直角三角形得到OP，PB2；
②根据切线的性质和角平分线的定义得到∠OPB＝30°，求得OP＝2，点P是以点O为圆心，2为半径的圆与直线GF的交点，由于点P1与点G（0，2）重合，即P1（0，2），推出△GOP2是等边三角形求得FP2＝2，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵F（2，0），
∴OF＝2，
∵∠GFO＝30°，
∴OG＝2，
∴点G的坐标是（0，2）；
（2）①连接OPOP，如图，
∵PB切⊙OO于点BB，
∴OB⊥PB，
根据勾股定理得PB2＝OP2﹣OB2，
∵OB＝1，
∴要使BP的值最小，则需OP的值最小，当OP⊥GF时，线段PO最短，
在Rt△PFO，OF＝2，∠GFO＝30°，
∴OP，
∴PB；
②存在，
∵PA、PB均与⊙O相切，
∴OP平分∠APB，
∵∠APB＝60°，
∴∠OPB＝30°，
∵OB＝1，∴OP＝2，
∴点P是以点O为圆心，2为半径的圆与直线GF的交点，
即图中的P1、P2两点，连接OP2，
∵OG＝2，
∴点P1与点G（0，2）重合，即P1（0，2），
在Rt△GOF中，∠GFO＝30°，
∴∠OGF＝60°，
∵OG＝OP2，
∴△GOP2是等边三角形，
∴GP2＝OG＝2，已知GF＝4，
∴FP2＝2，
∴P2为GF的中点，
∴P2（，1），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，2）或（，1）．
50．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
【思路点拔】（1）由切线长定理，易得∠OBE＝∠OBF∠EBF，∠OCG＝∠OCF∠GCF，又由AB∥CD，则可求得∠BOC＝90°；
（2）由BO＝6，CO＝8，利用勾股定理即可求得BC的长；
（3）利用直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边，即可求得⊙O的半径OF的长．
【解答】（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE＝∠OBF∠EBF，∠OCG＝∠OCF∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是直角三角形；
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，
∴BC10；
（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF4.8．
51．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
【思路点拔】设AF＝x，由切线长定理可得EF＝AF＝x，则FD＝1﹣x，CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．
【解答】解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，
∴FD＝1﹣x，
∵CB⊥AB，
∴CB 为⊙O 的切线，
∴CB＝CE，
∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，
即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，
解得x，
∴DF＝1﹣x，
∴S△CDF1．
52．已知：AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．
①求BC的长；
②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
【思路点拔】①过点D作DF⊥BC于点F，由切线长定理可得DE＝AD＝2，CE＝BC，设BC＝x，由在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，即可得方程（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，解此方程即可求得答案；
②易证得△ADE∽△GCE，由相似三角形的对应边成比例，可得AE：EG＝4：5，由勾股定理即可求得AG的长，继而求得答案．
【解答】解：①过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，
∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2，
∵DE与⊙O相切，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC，
设BC＝x，
则CF＝BC﹣BF＝x﹣2，DC＝DE+CE＝2+x，
在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，
即（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，
解得：x，
即BC；
②∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，
∴AD：CG＝DE：CE，AE：EG＝AD：CG，
∵AD＝DE＝2，
∴CG＝CE＝BC，
∴BG＝BC+CG＝5，
∴AE：EG＝4：5，
在Rt△ABG中，AG3，
∴EGAG．
53．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC＝90°，
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB＝3，OC＝4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．
【思路点拔】（1）由∠BOC为直角，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠OBC与∠OCB互余，又BE与BF为圆的两条切线，根据切线长定理可得BO为∠EBF的平分线，同理可得CO为∠FCG的平分线，根据角平分线定义分别得到两对角相等，根据等量代换可得∠EOB与∠OCG也互余，可得四个角相加为180°，即同旁内角互补，根据同旁内角互补两直线平行可得证；
（2）连接OE，OF，OG，由AB，BC及CD为圆的切线，可得OE与AB垂直，OF与BC垂直，OG与CD垂直，再根据切线长定理可得BE＝BF，又OB＝OB，利用HL可得直角三角形OEB与直角三角形OFB全等，可得扇形OEM与扇形OFM的圆心角相等，又半径相等，可得这两个扇形面积相等，同时三角形OEB与三角形OFB全等，利用等式的基本性质可得阴影BEM与阴影BFM面积相等，同理可得阴影NCF与阴影NCG面积相等，故用2（三角形OBC的面积减去扇形OMN的面积）可求出阴影部分的面积，而三角形OBC的面积等于两直角边乘积的一半求出，扇形OMN的圆心角为直角，半径为直角三角形斜边上的高，利用扇形面积求出，将求出的面积代入即可求出所求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
又BE与BF为圆O的切线，
∴BO为∠EBF的平分线，
∴∠OBC＝∠OBF，
同理可得∠OCB＝∠OCG，
∴∠OBF+∠OCG＝90°，
∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG＝180°，
即∠ABF+∠DCF＝180°，
∴AB∥CD；
（2）连接OE，OF，OG，如图所示：
由BE和BF为圆的切线，
可得OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB＝∠OFB＝90°，
∴BE＝BF，又OB＝OB，
∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），
∴∠BOE＝∠BOF，S△OEB＝S△OFB，
∴S扇形OEM＝S扇形OFM，
∴S△OEB﹣S扇形OEM＝S△OFB﹣S扇形OFM，
即S阴影BEM＝S阴影BFM，
同理S阴影NFC＝S阴影NCG，
由∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝4，
根据勾股定理得：BC＝5，
∵BC为圆的切线，∴OF⊥BC，
∴OB OCBC OF，即OF，
∴S△BOCOB OC＝6，
S扇形OMN，
则阴影部分面积S＝2（S阴影BFM+S阴影NFC）
＝2（S△BOC﹣S扇形OMN）＝12．
54．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE＝CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC＝4，BD，求⊙O的半径OC的长．
【思路点拔】（1）连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB；由切线长定理知DE＝DC，则∠EDC＝∠ECD，此时发现∠EBD和∠EDB都是等角的余角，所以它们相等，由此可证得BE＝DE；
（2）若四边形ODCE是正方形，那么DE、BE、CE、OC的长都和半径相等，即AC＝BC＝2r，已知了直角三角形的两条直角边，即可根据面积公式求得其面积；
（3）已知了BC（即2EC）、BD的长，可在Rt△BCD中求出∠BCD的度数和CD的长，进而可在Rt△ACD中求出AC的长，也就得到了⊙O的半径．
（也可设出半径和AD的长，利用切割线定理及勾股定理列方程组求解．）
【解答】（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；
DE、CE都是切线，所以DE＝CE，∠EDC＝∠ECD；
又∠B+∠ECD＝90°，∠BDE+∠EDC＝90°；
所以∠B＝∠BDE，所以BE＝DE，从而BE＝CE；
（2）解：连接OD，
当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE＝EC＝OC＝OD＝r；
从而BE＝r，即△ABC是一个等腰直角三角形；
AC＝AB＝2r，S△ABC＝2r2；
（3）解：若EC＝4，BD＝4，则BC＝8；
在Rt△BDC中，cos∠CBD；所以∠CBD＝30°；
在Rt△ABC中，tan30°，即AC＝BCtan30°＝8，OC；
另解：设OC＝r，AD＝x；由EC＝4，BD＝4得BC＝8，DC＝4；
则：，解得；即OC．
55．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PO与⊙O交于点H，AH＝OH．
（1）求证：△ABP是等边三角形；
（2）过点A作PO的平行线，与⊙O的另一个交点为C，连接CP．若AB＝6，求⊙O的半径和tan∠CPB的值．
【思路点拔】（1）连接OA，则OA＝OH，而AH＝OH，所以△AOH是等边三角形，则∠AOH＝60°，由切线长定理和切线的性质定理得PA＝PB，PA⊥OA，则∠OAP＝90°，所以∠OPB＝∠OPA＝30°，则∠APB＝60°，即可证明△ABP是等边三角形；
（2）连接OB、OC，由PA＝PB＝AB＝6，∠OAP＝90°，∠OPA＝30°，得tan30°，则⊙O的半径OA＝2，再证明△POA≌△POB，得∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOP＝∠BOP＝60°，再证明∠AOC＝60°，则∠AOC+∠AOP+∠BOP＝180°，所以B、O、C三点共线，则BC＝4，求得tan∠CPB．
【解答】（1）证明：连接OA，则OA＝OH，
∵AH＝OH，
∴OA＝AH＝OH，
∴△AOH是等边三角形，
∴∠AOH＝60°，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OPB＝∠OPA＝90°﹣∠AOH＝30°，
∴∠APB＝2∠OPA＝60°，
∴△ABP是等边三角形．
（2）解：连接OB、OC，
∵PA＝PB＝AB＝6，∠OAP＝90°，∠OPA＝30°，
∴tan30°，
∴OB＝OC＝OAPA6＝2，
∵PA＝PB，OP＝OP，OA＝OB，
∴△POA≌△POB（SSS），
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOP＝∠BOP＝60°，
∵AC∥PO，
∴∠OAC＝∠AOP＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOC+∠AOP+∠BOP＝3×60°＝180°，
∴B、O、C三点在同一条直线上，
∴BC＝OB+OC＝224，
∴tan∠CPB，
∴⊙O的半径长为2，tan∠CPB的值为．
56．已知如图，AC是⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接BA、BC，OQ⊥PQ于Q，OQ交AB于M．
（1）求证：∠C＝90°∠APB
（2）若OM＝1，OQ＝4，求AC的长．
【思路点拔】（1）连接OB，根据切线的性质得到∠PAO＝∠PBO＝90°，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）连接OP交AB于G，根据切线的性质得到PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据等腰三角形的性质得到OP⊥AB，根据相似三角形的性质得到OP OG＝OM OQ＝4，AO2＝OP OM＝4，于是得到结论．
【解答】解：（1）连接OB，∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠APB+∠AOB＝180°，
∵∠ACB∠AOB，
∴∠C（180°﹣∠APB）＝90°∠APB；
（2）连接OP交AB于G，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，
∴OP⊥AB，
∵OQ⊥PQ于Q，
∴∠OGM＝∠Q＝90°，
∵∠GOM＝∠GOM，
∴△OGM∽△OQP，
∴，
∴OP OG＝OM OQ＝4，
∵∠OAP＝∠AGO＝90°，∠AOG＝∠AOP，
∴△AOG∽△AOP，
∴AO2＝OP OG＝4，
∴AO＝2，
∴AC＝2AO＝4．
57．如图CA，CD是⊙O的两条切线，切点分别为A，D；AB是⊙O的直径，AB＝AC，过点A作AF⊥CD于F，交⊙O于点E．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝2，求AE长．
【思路点拔】（1）连接BE，如图，根据切线的性质得到∠BAC＝90°，利用圆周角定理得到∠AEB＝90°，则利用等角的余角相等证明∠CAF＝∠ABE，然后证明△ABE≌△CAF，从而得到结论；
（2）连接OD交BE于H，如图，根据切线的性质得到OD⊥CD，则可判断OD⊥BE，所以BH＝EH，四边形DHEF为矩形，则BE＝2DF，设AE＝x，则CF＝x，DF＝2﹣x，BE＝4﹣2x，在Rt△ABE中利用勾股定理得到x2+（4﹣2x）2＝22，然后解方程得到AE的长．
【解答】（1）证明：连接BE，如图，
∵CA是⊙O的切线
∴CA⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∵∠CAF+∠BAE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）连接OD交BE于H，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∵∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴BE∥DF，
∴OD⊥BE，
∴BH＝EH，四边形DHEF为矩形，
∴DF＝EH，
∴BE＝2DF，
设AE＝x，则CF＝x，
∵CA，CD是⊙O的两条切线，
∴CA＝CD，
而CA＝AB，
∴AB＝CD＝2，
∴DF＝2﹣x，
∴BE＝4﹣2x，
在Rt△ABE中，x2+（4﹣2x）2＝22，解得x1＝2（舍去），x2，
∴AE的长为．
58．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，C为上的一点，∠COA＝∠P．
（1）求证：BC∥OA；
（2）若BC＝10，OA＝13，求PA的长．
【思路点拔】（1）如图1，连接OB，延长AO交⊙O于点D，先证明∠COA＝∠BOD，由同圆的半径相等OB＝OC得∠BCO＝∠CBO，由平角的定义和三角形的内角和定理可得：∠COA＝∠BCO，最后由平行线的判定可得结论；
（2）如图2，延长BC交PA于点E，过点O作OF⊥BC于F，由垂径定理得：BF＝CFBC＝5，由勾股定理计算OF的长，设PA＝x，则PB＝x，PE＝x﹣12，根据勾股定理列方程可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，延长AO交⊙O于点D，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∵∠AOB+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝∠P，
∵∠COA＝∠P，
∴∠COA＝∠BOD，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∵∠COB+2∠BCO＝180°，∠COB+2∠COA＝180°，
∴∠COA＝∠BCO，
∴BC∥OA；
（2）解：如图2，延长BC交PA于点E，过点O作OF⊥BC于F，
∴BF＝CFBC＝5，
∵OC＝OA＝13，
由勾股定理得：AE＝OF12，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，
设PA＝x，则PB＝x，PE＝x﹣12，
∵BC∥OA，OA⊥PA，
∴BE⊥PA，
∴∠PEB＝90°，
∴PB2＝PE2+BE2，
∴x2＝（x﹣12）2+（13+5）2，
解得：x，
∴PA．
59．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．
（1）求证：∠POA＝2∠PCB；
（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．
【思路点拔】（1）根据切线长定理证明Rt△POA≌Rt△POB，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可得结论；
（2）利用面积法求高线BE的长，利用勾股定理求OE，得CE的长，最后在Rt△OBE中，利用三角函数定义代入可得结果．
【解答】证明：（1）连接OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°，
在Rt△POA和Rt△POB中，
∵，
∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），
∴∠POA＝∠POB，
∵∠POB＝2∠PCB，
∴∠POA＝2∠PCB；
（2）过B作BE⊥PC于E，
∵PB＝PA＝4，OB＝OA＝3，
∴PO＝5，
∴PO BEOB PB，
∴BE，
由勾股定理得：OE，
∴CE＝OC+OE＝3，
在Rt△OBE中，tan∠PCB．
60．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B．点Q为AB上一点．过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于E，F两点．已知PA＝12cm，∠P＝56°．
（1）求△PEF的周长；
（2）求∠EOF的度数．
【思路点拔】（1）直接利用切线长定理得出PA＝PB，EA＝EQ，FQ＝FB进而得出答案；
（2）利用切线的性质以及四边形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA＝12cm，
∴EA＝EQ，FQ＝FB，PA＝PB＝12cm，
∴△PEF的周长＝PE+EQ+FQ+PF＝PA+PB＝24（cm）；
（2）∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝56°，
∴∠AOB＝124°，
∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，
∴∠AEO＝∠QEO，∠QFO＝∠BFO，∠EAO＝∠EQO＝90°，
∠FQO＝∠FBO＝90°，
∴∠AOE＝∠QOE，∠QOF＝∠FOB，
∴∠EOF∠AOB＝62°．
