天津市河北区2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学（含答案）

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河北区2024-2025学年度高三年级第一学期期中质量检测
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.
第I卷（选择题共45分）
注意本项：
1.答第I卷前，考生务必将自已的姓名 准考号 科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么 圆柱的侧面积公式圆锥的侧面积公式其中表示底面圆的半径表示母线的长
一 选择题：在每年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，则（）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数在上的图象大致为（）
A. B.
C. D.
4. 某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间[17.5，30]内，将所得的数据分成5组：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如图所示的频率分布直方图，则自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为（）
A240 B. 180 C. 96 D. 80
5. 设，，，则（）
A. B. C. D.
6. 如图，圆锥底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
8. 若函数的图象关于点对称，则的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
9. 已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.
10. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是__________.
11. 二项式的展开式中的常数项为__________.
12. 若直线与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是___________.
13. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域______.
14. 为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则________.
15. 已知中，点分别是重心和外心，且，则边的长为__________.
三 解答题：本大题共5小题，共5分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为.
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求的值.
17. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
（1）求的方程；
（2）若的面积为，求的方程；
（3）若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
19. 已知函数在处取得极小值.
（1）求的值；
（2）求函数在点处切线方程；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
20. 已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
河北区2024-2025学年度高三年级第一学期期中质量检测
数学
第I卷（选择题共45分）
一 选择题：在每年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】A
3.
【答案】A
4.
【答案】A
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】C
9.
【答案】A
第Ⅱ卷（非选择题）
二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.
10.
【答案】
11.
【答案】
12.
【答案】.
13.
【答案】
14.
【答案】 ①. ②. ##
15.
【答案】
三 解答题：本大题共5小题，共5分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知式，再由余弦值求角即得；
（2）由的面积为推出，利用求得，最后利用余弦定理求得边；
（3）由余弦定理求得，继而求得，再利用差角的余弦公式计算即得.
【小问1详解】
因和正弦定理，，
又，所以，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
；
【小问2详解】
因，解得，
又因，即，代入上式可得：，解得，故，
由余弦定理得，，
故得；
【小问3详解】
由（2）已得，，，
由余弦定理，可得
因且，故,
所以
17.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出与平面的法向量垂直，又因为平面，可证平面
（2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式，求出平面与平面的夹角的余弦值.
（3）求出的坐标与平面的法向量，利用向量点乘求出点到平面的距离.
【小问1详解】
如图，以为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系则.
设平面的法向量为，
则取
所以所以
又因为平面，所以平面
【小问2详解】
设平面的法向量为
则取
设平面与平面的夹角为
则
所以平面与平面的夹角的余弦值为
【小问3详解】
设点到平面的距离为
所以点到平面的距离为.
18.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义求得，即可求解；
（2）由题意设，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出，结合的面积建立方程，计算即可求解；
（3）由（2）可得，进而，则，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，
故的方程为．
【小问2详解】
易知的斜率不为0，设，
联立，得，
所以．
所以，
由，
解得，
所以的方程为或．
【小问3详解】
由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，
得．
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
19.
【解析】
【分析】（1）求出原函数的导函数，由，求解验证即可；
（2）根据导数的几何意义求解切点坐标与切线斜率，即可得切线方程；
（3）构造函数，求导得到函数的单调性，即可求解最值求解．
【小问1详解】
由，可得，
由，解得，此时，
时，单调递减，
时，单调递增，
故是函数的极小值点，符合题意，所以.
小问2详解】
由题可得：，
在点处的切线方程为即
【小问3详解】
由恒成立，
则恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
20.
【解析】
【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间；
（2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围；
（3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论.
【小问1详解】
由题意得，，则，
由，解得．
当时，单调递增，
当时，单调递减；
综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减；
【小问2详解】
（i）由，得，
设，
由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，当时，，且当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，
故的取值范围是．
（ii）不妨设，则，且．
法一：
当时，结合（i）知，即；
当时，．
设
则
所以在区间内单调递增，
则，即，
所以
又在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得证．
法二：
设，，
则，
所以在区间内单调递增，又，
所以，即．
又，所以，
又在区间内单调递减．
所以，即，
又，所以，得证．
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