(共47张PPT)
第29课时 解直角三角形的实际
应用
01
考点管理
1
解直角三角形的实际应用
仰角、俯角 __________________________________________
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫①
______，视线在水平线下方的角叫②______.
仰角
俯角
坡度 （坡比）、 坡角 ___________________________
坡面的铅直高度和水平宽度的比叫坡度（坡比），用字母
表示；坡面与水平线的夹角 叫坡角， ③_ _.
续表
方向角 __________________________________
一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始
方向旋转到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表示
成北（南）偏东（西） ，如图，点位于点的北偏东
方向，点位于点的南偏东④____方向，点位于点 的北
偏西⑤____方向（或西北方向）.
续表
2
近似数和精确度
近似数 把一个数四舍五入以后得到的数.
精确度 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确
到哪一位.如：2.019精确到0.1是 ，精确到0.01是⑥_____.
2.02
02
中考再现
第1题图
1.[2024长春] 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫
星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.如图，当火箭
上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点 的距离
为，仰角为 ，则此时火箭距海平面的高度 为
( )
A
A. B. C. D.
第2题图
2.[2024德阳] 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物
的高度，在建筑物旁边有一高度为的小楼房 .如
图，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为 ，在
小楼房楼顶处测得处的仰角为（， 在同一平面
内，点，在同一水平面上），则建筑物 的高为( )
B
A. B. C. D.
3.[2022柳州] 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为 ， ，堤
坝高，则迎水坡面的长度为____ .
50
03
归类探究
1
建立实际生活中的直角三角形模型
例1 [2024崇左模拟] 为积极响应绿色
出行的号召，骑车出行已经成为人们
的新风尚.图①是某品牌自行车放在水
平地面上的实物图，图②是其示意图，
其中，车轮的半径为， ， ，
于点，坐垫与点的距离为 ．
（1）求坐垫到地面的距离（结果精确到 ）；
解：如答图，过点作于点 ，
．， ，
． ， ，
,
，，与相切，车轮的半径为 ，
例1答图
．
坐垫到地面的距离约为
答：坐垫到地面的距离约为 .
（2）根据经验，当坐垫到 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒
适.小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求
的长（结果精确到）.（参考数据：， ，
）
解：如答图，过点作于点 ，
．
小明的腿长约为 ，
．
，
．
．
答：的长约为 ．
例1答图
变式跟进
1.[2024钦州模拟] 实验是培养学生创
新能力的重要途径之一.如图①是小红
同学安装的化学实验装置，安装要求
为试管略向下倾斜，试管夹应固定在
距试管口的三分之一处.如图②是其示意图，已知试管 ，
，试管倾斜角 为 ，经测得：， ，
．
（1）求点到 的距离；
解：如答图，过点作于点，于点 .
由题意，得在中， ，
， .
，
，
．
答：点到的距离约为 .
变式跟进1答图
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点 ，且
（点，，，在同一条直线上），求线段 的长度.
（结果精确到.参考数据：， ，
）
解：如答图，过点作于点 .
四边形 为矩形.
，
，
.
，
，
，
，
.
答：线段的长度约为 ．
变式跟进1答图
2
利用解直角三角形测量物体的高度或宽度
例2 [2024天津] 综合与实践活动中，
要用测角仪测量天津海河上一座桥的
桥塔 的高度（如图①）.某学习小
组设计了一个方案：如图②，点 ，
，依次在同一条水平直线上，，，垂足为.在 处测
得桥塔顶部的仰角为 ，测得桥塔底部的俯角为 ，
又在处测得桥塔顶部的仰角为 ．
（1）求线段 的长；
解：设 ，
，
.
， .
， ，
.
， ，
，
，
解得 ．
答：线段的长约为 .
（2）求桥塔 的高度.
（结果取整数.参考数据：， ）
解：， ，
．
．
答：桥塔的高度约为 ．
解直角三角形时，若所求的元素不能在一个直角三角形中解决，则可
在两个或两个以上的直角三角形中，通过列方程解决问题.
变式跟进
2.[2024山西] 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学
活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地（如图①），在了解相关历
史背景后，利用航模搭载的 扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图②，是纪念碑顶部一点，的长表示点 到水平地面的距
离.航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面 的点
处时，测得点的仰角 ；然后沿 方向继续飞行，飞行方
向与水平线的夹角 ，当到达点正上方的点 处时，测得
；……
数据应用：已知图②中各点均在同一竖直平面内，，， 三点在同一直
线上.请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离 的长
（结果精确到.参考数据：， ，
，，， ）．
解：如答图，延长交于点 ，
变式跟进2答图
由题意得，四边形 为矩形，
.
在中， ， ，
，
.
在中， ， ，
，
.
设 ．
， ，
，解得 ，
.
答：点到地面的距离的长约为 ．
3
利用解直角三角形解决航海问题
例3 [2024重庆A卷] 如图，甲、乙两艘货轮
同时从港出发，分别向， 两港运送物资，
最后到达港正东方向的 港装运新的物资.
甲货轮沿 港的东南方向航行40海里后到达
港，再沿北偏东 方向航行一定距离到
达港.乙货轮沿港的北偏东 方向航行一定距离到达 港，再沿南偏东
方向航行一定距离到达 港．
（参考数据：，， ）
（1）求，两港之间的距离（结果精确到 ）；
解：如答图①,过点作，垂足为 .
例3答图①
在中， ， ，
，
.
在中， ，
，
.
答：，两港之间的距离约为 .
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠， 两港的时间相同），哪艘货
轮先到达 港？请通过计算说明．
解：甲货轮先到达 港.理由如下：
如答图②：
例3答图②
由题意，得 ， ，
，
.
在中， ，
，
.
在中， ， ，
，
甲货轮航行的路程为 ，
乙货轮航行的路程为
.
，
甲货轮先到达 港．
求与三角形有关的实际问题时，一般是转化为直角三角形或相似三角
形或全等三角形来解，尤其是已知方位角时，可计算出所需角的大小，再
解直角三角形.
4
利用解直角三角形解决坡度问题
例4 [2023湖北] 为了防洪需要，某地决定新
建一座拦水坝.如图，拦水坝的横断面为梯形
，斜面坡度 是指坡面的铅直高
度与水平宽度的比.已知斜坡的长度为， ，求斜坡
的长. （结果精确到.参考数据：， ，
）
解：如答图，过点作，垂足为 .
例4答图
由题意，得， .
斜面的坡度 ，
，
设，则 .
在中， .
在中， ， ，
，
.
，解得 .
.
答：斜坡的长约为 .
此类有关坡度、坡角的问题，把关于梯形的计算转化成关于直角三角
形的计算是解决问题的基本思路.
变式跟进
3.[2023泸州] 如图，某数学兴趣小组为了测量古树
的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端 在同
一水平线上的点出发，沿斜面坡度为 的斜坡
前进到达点 ，再沿水平方向继续前进一段
距离后到达点.在点处测得古树的顶端的俯角为 ，底部 的俯角
为 ，求古树的高度. （结果保留根号.参考数据： ，
， ）
变式跟进3答图
解：如答图，过点作于点，延长， 交
于点 .
在中， ，
设， .
， ，
，
解得 （负值已舍去），
.
是水平线， 是铅直线，
，和 都是直角三角形.
，都是水平线，， ，
四边形 是矩形，
.
在中， ，
.
在中， ，
，
.
答：古树的高度约为 .
5
项目化学习
例5 [2024烟台] 根据下列素材，探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造 福人类的一项发明.某品牌热水器 主要部件太阳能板需要安装在每 天都可以有太阳光照射到的地 方，才能保证使用效果，否则不 予安装. _____________________________
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为 ，冬至日时， ；夏至日时， . ， ，
；
， ，
；
， ，
；
， ，
.
续表
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方 向，两楼东西两侧都无法获得太 阳光照射.现准备在乙楼南面墙上 安装该品牌太阳能板.已知两楼的 间距为，甲楼 共11层， 乙楼 共15层，一层从地面起， 每层楼高均为. 为某时刻 的太阳光线. _________________________________________
续表
问题解决
任务一 确定使用数据
要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择______日
（填“冬至”或“夏至”）时， 为____（填 ， ， ， 中的一个）
进行计算．
冬至
任务二 探究安装范围
利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌
太阳能热水器．
解：任务二：如答图，过点作于点 ，则
，， .
在中， ，
.
，
，
（层），
乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热
水器．
见配套《自主选练本》(共30张PPT)
第28课时 锐角三角函数及解直
角三角形
01
考点管理
1
锐角三角函数的概念
图示 _________________________
在中， ，为 中的一个锐角.
正弦 的正弦： ①__.
余弦 的余弦： ②__.
正切 的正切： ③__.
续表
2
特殊角的三角函数值
图示 ____________________________ _______________________ ______________________
④_ __
⑤_ __ ⑥_ _
⑦_ __ 1 ⑧____
3
锐角三角函数值的变化规律
规律 （1）当为锐角时，， ，
；
（2）一个锐角的正弦、正切值均随着角度的增大而增大，而一个
锐角的余弦值随着角度的增大而减小；
（3）对于非特殊角的三角函数值，可利用计算器求得；反之，已
知锐角的某种三角函数值，也可以利用计算器求出此锐角的度数.
4
锐角三角函数间的关系
互余 关系 ；
.
同角 关系 ；
.
规律 （1）互余关系的主要作用：改变锐角三角函数的名称，把不同名
的三角函数化为同名的三角函数；
（2）同角关系的主要作用：已知锐角的某个三角函数值，去求这
个锐角其他的三角函数值，同时常用来求证某些有关的数量关系.
5
解直角三角形的概念
定义 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，
由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做
⑨_______________.
解直角三角形
6
直角三角形的边角关系
关系 解法 图示
三边关系 ⑩____ . _________________________
两锐角关系 ____ .
边角间关系 ； ______； .
02
中考再现
1.[2024云南] 如图，在中，若 ，， ，则
( )
C
A. B. C. D.
2.[2023天津] 的值为( )
B
第2题图
A.1 B. C. D.2
第3题图
3.[2022广西] 如图是某博物馆大厅电梯的截面图， 的
长为，与的夹角为 ，则高 的长是( )
A
A. B.
C. D.
第4题图
4.[2024临夏州] 如图，在中，， ，
则 的长是( )
B
A.3 B.6 C.8 D.9
03
归类探究
1
锐角三角函数的概念
例1 [2022贵港] 如图，在 的网格中，每个小正方形的边
长均为1，其顶点为格点.若 的顶点均是格点，则
的值是( )
C
A. B. C. D.
变式跟进
第1题图
1.[2023宿迁] 如图，在 的网格中，每个小正方形的
边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.，， 三
点都在格点上，则 _ __.
2.[2022凉山州] 如图，在边长为1的正方形网格中，是 的外接圆，
点，，在格点上，则 的值是_ ____.
2
特殊角的三角函数值
例2 [2024原创] 计算 的值是( )
B
A. B.0 C. D.2
解决此类问题的关键是要熟记特殊角的三角函数值.另外，若是计算题，
则常与整数次幂、绝对值、倒数、开平方等知识点结合起来考查.
变式跟进
3.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式
.
3
解直角三角形
例3 [2024河池模拟] 如图，在中， ，为 上一点，
，， ．
（1）求 的长；
解：在中， ，， ，
设， ，
，
，
解得（舍去）或 ，
， .
，
，
.
（2）求 的值．
例3答图
解：如答图，过点作于点 .
在中， ，
设，则 ，
，
，
解得（舍去）或 ，
，
．
（1）利用锐角三角函数解直角三角形的常见类型有：已知斜边和一个
锐角；已知一条直角边和一个锐角；已知斜边和一条直角边；已知两条直
角边.
（2）作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形是常用的方法.
变式跟进
4.[2024资阳] 第14届国际数学教育大会
会标如图①所示，会标中心
的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦
图”.如图②所示的“弦图”是由四个全等
的直角三角形
C
A. B. C. D.
和一个小正方形 拼成的大正方形
.若，则 ( )
5.[2024浙江] 如图，在中，，是 边上的中线，
，， ．
（1）求 的长；
解：，， ，
.
，
，
.
（2）求 的值．
解：是 边上的中线，
，
.
，
，
．
见配套《自主选练本》
