(共37张PPT)
第5课时 一次方程（组）及其应用
01
考点管理
1
等式的基本性质
性质1 如果，那么①______ 解方程中的移项.
性质2 如果，那么②____解方程中的去分母； ③__
解方程中的系数化为1.
2
一元一次方程及其解法
概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是④___的整式方程.
一般 形式 ，是常数，且 .
1
一般 步骤 （1）去分母：方程中未知数的系数有分母时，两边都乘以各分母的
最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；分子是多项式时去分母
后要加上括号；
（2）去括号：不要漏乘括号内的任何项；括号前是负号时，去括号
后括号内的每一项都要变号；
（3）移项：注意要变号；
（4）合并同类项：把方程化为，为常数，且 的形
式；
（5）系数化为1：等号两边同除以未知数的系数.
续表
3
二元一次方程（组）及其解法
相关 概念 （1）二元一次方程：含有⑤____个未知数，并且所含未知数的次
数都是⑥___的整式方程；
（2）二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组.方程组
中同一个字母代表同一个量，一般形式为
（， 为未知数）
基本 思想 消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程.
两
1
解题 方法 代入消元法：将方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数
的代数式表示出来，再代入另一个方程中，从而消去一个未知数，
化为一元一次方程；
适用类型：（1）方程组中有一个未知数的系数是1或 ；（2）一
个方程的常数项为0.
加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后再相加
（或相减），消去其中一个未知数，化为一元一次方程；
适用类型：方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成整
数倍.
续表
4
运用二元一次方程组解决实际问题
步骤 （1）设两个未知数；
（2）根据已知条件列出与未知数的个数相等的两个独立方程组成的
方程组；
（3）解方程组；
（4）检验求得的未知数的值是否符合实际意义.
5
三元一次方程组的概念和解法
定义 含有⑦______未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是
⑧___，并且一共有⑨______方程，像这样的方程组叫做三元一次
方程组.
思路 用代入法、加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这
个二元一次方程组.
三元一次方程组二元一次方程组 一元一次方程.
三个
1
三个
02
中考再现
1.[2022百色] 方程 的解是( )
C
A. B. C. D.
2.[2022青海] 根据等式的基本性质，下列各式变形正确的是( )
A
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
3.[2024湖北] 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，
牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值
金，可列方程组为( )
A
A. B.
C. D.
4.[2024新疆生产建设兵团] 解方程：
解：去括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 ．
03
归类探究
1
等式的概念及基本性质
例1 设，，为互不相等的实数，且 ，则下列结论正确的是 ( )
D
A. B.
C. D.
2
一次方程（组）的有关概念
例2 [2024南宁模拟] 已知是方程的解，则 的值是( )
A
A. B.0 C.1 D.2
变式跟进
1.经典题 若关于的一元一次方程的解是负数，则 的取值范
围是( )
C
A. B. C. D.
2.[2024南宁模拟] 已知是方程的解，则 的值为___．
1
3
一次方程（组）的解法
例3 解方程： .
解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、
系数化为1.
例4 经典题 用两种方法解方程组：
解：（方法一）加减消元法：
，得，解得 .
把代入①，得 ，
解得 .
原方程组的解为
（方法二）代入消元法：
由②，得 ，③
把③代入①，得 ，
解得 .
把代入③，得 .
原方程组的解为
当两个方程中的某个未知数的系数相等（或互为相反数），或者相应
系数之间存在倍数关系时，一般采用加减消元法求解，其步骤是运用等式
的基本性质，把某一个未知数的系数化成相同的数（或相反数），通过相
减（或相加）消去一个未知数，达到消元求解的目的.
变式跟进
3.[2024广西] 解方程组：
解：
，得，解得 ，
，得，解得 ，
原方程组的解为
4
一次方程（组）的应用
例5 [2024北京] 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，
我国全面实施汽车国六排放标准 阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，
“标准”要求A类物质排放量不超过 ，A，B两类物质排放量之和不
超过 .已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原来为
.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了 ，B类
物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为 .判断这次
技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．
解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.理由如下：
设该汽车的A类物质原来的排放量为 ，则该汽车的B类物质原来的
排放量为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
这次技术改进后该汽车的A类物质排放量为 .
“标准”要求A类物质排放量不超过 ，
这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．
列一元一次方程解应用题的关键有两点：（1）设合适的未知数，若未
知数有单位，则应写明单位；（2）根据题意找准等量关系列方程.
变式跟进
4.数学文化 [2024广西] 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记
载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，
第三年5亩1钱.三年共得100钱.问：出租的田有多少亩？设出租的田有 亩，
可列方程为( )
B
A. B.
C. D.
例6 跨学科题[2024钦州模拟] 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，
温水和开水共用一个出水口.温水的温度为，流速为 ；开水的
温度为，流速为 .整个接水的过程不计热量损失．
物理常识：
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热
量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度 温水的体积×温水升高的
温度.
（1）甲同学用空杯先接了温水，再接 开水，接完后杯中共有水_____
；
180
（2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开
水，得到一杯温度为的 水（不计热量
损失），求乙同学分别接温水和开水的时间．
解：设该学生接温水的时间为 ，接开水的时间
为 ．
根据题意，得
解得
答：该学生接温水的时间为 ，接开水的时间
为 ．
变式跟进
5.[2024桂林模拟] 为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买
A，B两种型号的节能灯，已知购买1盏A型和2盏B型节能灯共需要40元，购
买2盏A型和3盏B型节能灯共需要70元．
（1）A，B两种型号节能灯的单价分别是多少元？
解：设A种型号节能灯的单价为元，B种型号节能灯的单价为 元.
根据题意，得
解得
答：A种型号节能灯的单价为20元，B种型号节能灯的单价为10元.
（2）若要求这两种节能灯都买，且恰好用了50元，则有哪几种购买方案？
解：设购买A种型号节能灯盏，B种型号节能灯 盏，
，即 .
， 均为正整数，且两种节能灯都买，
或
共有两种购买方案：方案①：购买A种型号节能灯1盏，B种型号节能灯3
盏；方案②：购买A种型号节能灯2盏，B种型号节能灯1盏．
（1）解决此类问题的关键是读懂题意，从中找出已知的或隐含的等量
关系列出方程组并求解；
（2）若可以用一个未知量表示另一个未知量，则此种问题可转化为一
元一次方程来解决.
见配套《自主选练本》
规范性答题：解二元一次方程组
规范答题注意事项
1.写答案之前，需先写“
1.解：”；
2.解二元一次方程组时，严格按照步骤书写答案，避免漏写步骤.
例 （6分）解方程组：
[答案] 规范解答
解： （1分）
，得，解得 .（3分）
把代入②，得，解得 .（5分）
原方程组的解为 （6分）
[解析] 评分标准
编号，得1分.
解出 的值，得2分.
解出 的值，得2分.
写出解，得1分.(共27张PPT)
第7课时 分式方程及其应用
01
考点管理
1
解分式方程
相关概念 （1）分式方程：分母中含有①________的方程；
（2）增根：使分式方程的分母为②___的根.
基本思想 将分式方程化为③______方程.
一般步骤 _______________________________________________________________________________
口诀：一化、二解、三检验、四写根.
未知数
0
整式
温馨提示：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能
是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分
母后的整式方程的解，也是使分式方程的分母为0的解.
续表
2
分式方程的实际应用
行程问题 时间
工程问题 工作完成时间
（有时工作总量可以看做单位
“1”）
购买问题 数量， 单价
温馨提示：
（1）步骤图解：
__________________________________________________________________________________________
（2）双检验：
①检验是否为原分式方程的解；
②检验是否符合实际情况.
续表
02
中考再现
1.[2023株洲] 将关于的分式方程 去分母可得( )
A
A. B. C. D.
2.[2024枣庄] 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比
改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时
间相同，则改造后每天生产的产品件数为( )
B
A.200 B.300 C.400 D.500
3.[2022广西] 《千里江山图》是宋代王希孟的作品.如
图，它的局部画面装裱前是一个长为 ，宽为
的矩形，装裱后，整幅图画的宽与长的比是 ，
且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？
设边衬的宽度为 ，则依题意可列方程为( )
D
A. B. C. D.
4.[2024德阳] 分式方程 的解是( )
D
A.3 B.2 C. D.
5.[2024北京] 方程 的解为________．
03
归类探究
1
解分式方程
例1 [2023广西] 解分式方程： .
解：方程两边同时乘以 ，
得 ，
解得 .
检验：当时， ，
原分式方程的解是 .
变式跟进
1.[2024广西模拟] 阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程
．
解： ,…………第一步
,…………第二步
,…………第三步
,…………第四步
.…………第五步
检验：当时， ，
是原方程的根．
（1）以上解题过程中，第一步是依据___进行变形的；
A
A.等式的基本性质 B.不等式的基本性质 C.分式的基本性质
（2）从第____步开始出现错误，这一步错误的原因是__________________
________；
（3）该方程的正确的解是______；
二
去括号时第二项没有乘以2
（4）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需
要注意的事项给其他同学提一条建议．
解：除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意
的事项是分式方程注意要检验．（答案不唯一，言之有理即可）
解分式方程常见的误区：
（1）忘记验根；
（2）去分母时漏乘整式的项；
（3）去分母或去括号时，没有注意符号的变化.
2
分式方程的增根（无解）问题
例2 [2024原创] 若关于的分式方程有增根，则 的值是 ( )
C
A.1 B. C.2 D.
变式跟进
2.[2024达州] 若关于的方程无解，则 的值为_______．
2或
（1）分式方程的无解问题可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②让最简公分母为0，确定使最简公分母为0的根；
③把使最简公分母为0的根代入整式方程即可求得相关字母的值.
（2）还需考虑整式方程无解的情况.
3
分式方程的应用
例3 [2024威海] 某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电
.后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电 .一
盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少 .
求一盏A型节能灯每年的用电量．
解：设一盏B型节能灯每年的用电量为 ，则一盏A型节能灯每年的用
电量为 ，
根据题意,得，解得 .
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
．
答：一盏A型节能灯每年的用电量为 ．
变式跟进
3.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，
粝米三十”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其大意为：50单位的粟，可
换得30单位的粝米.问题：有3斗的粟（1斗 ），若按照此“粟米之法”，
则可以换得的粝米为( )
C
A. B. C. D.
4.[2024云南] 某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知 地到
地的路程为，乘坐型车比乘坐型车少用， 型车的平均速度
是型车的平均速度的3倍，求 型车的平均速度．
解：设型车的平均速度是，则型车的平均速度是 .
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意．
答：型车的平均速度是 ．
5.[2024广西模拟] “好一朵茉莉花”，广西横州生产的茉莉花茶香飘海内外.
某网店销售两种不同包装的横州茉莉花茶礼盒，已知甲种礼盒的单价比乙
种礼盒的单价少30元，花1 480元购进甲种礼盒的数量是花890元购进乙种
礼盒数量的2倍．
（1）求甲、乙两种茉莉花茶礼盒的单价；
解：设甲种茉莉花茶礼盒的单价为 元，则乙种茉莉花茶礼盒的单价为
元.
根据题意，得 ，
解得 .
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲种茉莉花茶礼盒的单价为148元，乙种茉莉花茶礼盒的单价为178元.
（2）某学校茶艺社团从该网店购进甲、乙两种茉莉花茶礼盒共花了2 252
元，甲种礼盒比乙种礼盒多2套，则学校购进甲、乙两种茉莉花茶礼盒的数
量各为多少？
解：设学校购进套甲种茉莉花茶礼盒， 套乙种茉莉花茶礼盒.
根据题意，得
解得
答：学校购进8套甲种茉莉花茶礼盒，6套乙种茉莉花茶礼盒．
4
解与分式方程的特殊解有关的问题
例4 [2024齐齐哈尔] 如果关于的分式方程 的解是负数，那么实
数 的取值范围是( )
A
A.且 B.
C. D.且
确定分式方程中字母系数的取值时，要考察分式方程无解的情况.分式
方程无解时的情况一般有：（1）未知数的值使分母为0；（2）出现 某
数 非零数的情况；（3）若分式方程化为整式方程后是一元二次方程，则
.
变式跟进
6.[2023眉山] 若关于的分式方程 的解为非负数，则 的取
值范围是_________________．
且(共38张PPT)
第6课时 一元二次方程及其应用
01
考点管理
1
一元二次方程
一般形式 ，，为常数， .
必须具备的条件 （1）必须是①______方程；
（2）必须只含有②____个未知数；
（3）所含未知数的最高次数是③___.
温馨提示：一元二次方程的一般形式中要注意.当 时，不含有二 次项，即不是一元二次方程. 整式
一
2
2
一元二次方程的解法
解法 适用情况 注意事项/步骤
直接开 平方法 （1）当方程缺少一次项时，即方程 ； （2）形如 的方 程. 开平方后所取值前记得加“
”号.
解法 适用情况 注意事项/步骤
公式法 适用于所有一元二次方程，求根公式 为④_ __________ . （1）使用求根公式时要
先把一元二次方程化为一
般形式，方程的右边一定
要化为0；
（2）将，， 代入公式
时应注意其符号.
续表
解法 适用情况 注意事项/步骤
配方法 适用所有一元二次方程， 其中当二次项系数为1， 一次项系数为偶数时，配 方法较简单. （1）化二次项系数为1；
（2）把常数项移到方程的另一边；
（3）给方程两边同时加上一次项系
数一半的平方；
（4）把方程整理成
的形式；
（5）运用直接开平方法解方程.
续表
解法 适用情况 注意事项/步骤
因式分 解法 （1）方程缺少常数项； （2）方程一边为0，另一 边可化为两个一次因式的 乘积； （3）方程两边含有相同 的因式. 方程两边不能同时除以含未知数的因
式，避免丢根.
续表
3
一元二次方程根的判别式
概念 一般地，式子⑤_________叫做一元二次方程
根的判别式.
根的情况 与判别式 的关系 一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑥___ 一元二次方程有两个相等的实数根；
⑦___ 一元二次方程没有实数根.
4
一元二次方程根与系数的关系
概念 若，是一元二次方程 的两个实数根，
则⑧_ ___， ⑨__.
应用 （1）方程中含有未知数，已知一个根，求另一个根及未知数；
（2）不解方程，求关于根的式子的值，如求， ；
（3）给出两根满足的条件，确定字母的取值范围.
温馨提示：（1）利用根与系数的关系解题的前提是一元二次方程的两根
存在，即根的判别式 ；
（2）根与系数关系的几种常见变形：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；⑥ ；
⑦ .
续表
02
中考再现
1.[2023新疆生产建设兵团] 用配方法解一元二次方程 ，配方
后得到的方程是( )
D
A. B. C. D.
2.[2024上海] 以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )
D
A. B.
C. D.
3.[2023天津] 若，是方程 的两个根，则下列结论正确的
是( )
A
A. B. C. D.
4.[2024贵州] 一元二次方程 的解是( )
B
A.， B.，
C.， D.，
5.[2022梧州] 一元二次方程 的根是________________.
，
03
归类探究
1
一元二次方程及其解的概念
例1 经典题 已知关于的方程 有一个根为2，则方程的另一
个根为___.
3
变式跟进
1.[2024深圳改编] 一元二次方程的一个根为，则
___，另一个根为___.
2
2
2
一元二次方程的解法
例2 经典题 解方程： .（用配方法和公式法两种方法求解）
解：（配方法）移项，得 .
配方，得 .
系数化为1，得 .
直接开平方，得 .
解得， .
（公式法），， ，
，
方程有两个不相等的实数根.
，
， .
解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式
法等.一般地，在不能直接用因式分解法时，可选择配方法或公式法来解.
变式跟进
2.解方程：
（1）[2024安徽] ；
解： ，
，
， ．
（2）[2023无锡] ．
解：，， ，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
， ．
3
一元二次方程根的判别式
例3 [2024原创] 已知关于 的一元二次方程
.按下列条件求 的值：
解： .
（1）方程有两个不相等的实数根；
[答案] 由题意，得，且 ，
解得且 .
（2）方程有两个相等的实数根；
[答案] 由题意，得，解得，此时 ，不合题意，
故不存在 的值，使方程有两个相等的实数根.
（3）方程没有实数根.
[答案] 由题意，得，且 ，
解得 .
本题是对一元二次方程实数根的情况的讨论，首先讨论二次项系数是
否为0，其次再根据二次项系数不为0时，讨论判别式的情况.
变式跟进
3.[2024广安] 若关于的一元二次方程 有两个不相等
的实数根，则 的取值范围是( )
A
A.且 B.
C.且 D.
4.[2024枣庄] 若关于的方程有两个相等的实数根，则
的值为__．
5.[2024南充] 已知，是关于的方程 的两个
不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
解： 原方程有两个不相等的实数根，
，
，
解得 ．
（2）若，且，，都是整数，求 的值．
解：,, ，
整数 的值为2，3，4.
当时，方程为 ，
解得， ，
当 或4时，此时方程的解均不为整数．
综上所述， 的值为2．
4
一元二次方程的根与系数的关系
例4 [2024内江] 已知关于的一元二次方程（ 为常数）有
两个不相等的实数根和 ．
（1）填空：___， ___；
1
（2）求， ；
解：， ，
．
关于的一元二次方程（ 为常数）有两个不相等的实数
根和，且,即 ,
，
，即 ．
（3）已知，求 的值．
解： ，
.
, ,
，解得， .
当时， ；
当时， .
．
（1）用一元二次方程的根与系数的关系求字母的值时，要代入
检验是否满足 ；
（2）一元二次方程的根与系数的关系常用于求有关的代数式的值，体
现了整体思想.
变式跟进
6.[2024北流模拟] 已知方程的两根是， ，则
的值是( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
7.[2024南宁] 若，是一元二次方程 的两个实数根，则
的值为____．
8.[2023南充] 已知关于的一元二次方程 .
（1）求证：无论 为何值，方程总有实数根；
证明：
，
无论 为何值，方程总有实数根.
（2）若，是方程的两个实数根，且，求 的值.
解：由题意知，， ，
，
，
整理，得 ，
解得或 .
5
一元二次方程的应用
例5 [2023广西] 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公
报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万
元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 ，依题意
可列方程为( )
B
A. B.
C. D.
变式跟进
9.[2024南宁] 根据以下素材，探索完成任务．
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎
来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行
一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产
144个．
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售
价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1
元，则月销售量将减少10个.
问题解决
任务1
（1）该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
解：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为 .
由题意，得 ，
解得， （不符合题意，舍去）．
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为 .
任务2
（2）为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零
件的实际售价应定为每个多少元？
解：设该零件的实际售价应定为每个元，则每个的销售利润为 元，
月销售量为 个.
由题意，得 ，
解得， .
又 要尽可能让车企得到实惠，
．
答：该零件的实际售价应定为每个50元．(共32张PPT)
第8课时 一元一次不等式（组）
及其应用
01
考点管理
1
不等式的概念
定义 用不等号（“ ”“ ”“ ”“ ”或“ ”）表示不等关系的
式子叫做不等式.
不等式的解 使不等式成立的①____________叫做不等式的解.
不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的
解集.
解不等式 求不等式的②______的过程叫做解不等式.
未知数的值
解集
2
不等式的基本性质
性质1 不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不
变，即如果，那么③____ .
性质2 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即
如果，，那么④___或⑤___ .
性质3 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即
如果，，那么⑥___或⑦___ .
3
一元一次不等式的解法及解集表示
解法步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 解集 ____________________________________
⑧______ _____________________________________
⑨______ _____________________________________
____________________________________
温馨提示：在数轴上表示解集时，如果不等号是“ ”或“ ”时，用空心圆 圈；如果不等号是“ ”或“ ”时，用实心圆点.
4
一元一次不等式组的解法及解集表示
类型 在数轴上的表示 口诀 解集
_____________________________________ 同大取大 ⑩______
_____________________________________ 同小取小
_____________________________________ 大小小大取中间 __________
_____________________________________ 大大小小取不了 无解
温馨提示：解一元一次不等式组的一般步骤：
（1）分别解每一个不等式；
（2）将每一个不等式的解集在同一数轴上表示；
（3）利用数轴或根据口诀确定不等式组的解集.
续表
5
一元一次不等式（组）的应用
步骤 （1）设未知数；
（2）找不等关系；
（3）列不等式（组）；
（4）解不等式（组）；
（5）检验，此步骤是正确求解的重要环节.
技巧 列不等式解应用题时，应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小
于”“不超过”“大于”“小于”等关键词.
易错点 审题不清，找不到不等关系，求出的解不符合实际意义等.
02
中考再现
1.[2024上海] 如果 ，那么下列正确的是( )
C
A. B. C. D.
2.[2023广西] 在数轴上表示正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
3.[2022广西] 不等式 的解集是( )
B
A. B. C. D.
4.[2024遂宁] 不等式组 的解集在数轴上表示为( )
B
A. B.
C. D.
5.[2023丽水] 小霞原有存款52元，小明原有存款70元.从这个月开始，小霞
每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过 个月后小霞的存款超
过小明，则可列不等式为( )
A
A. B.
C. D.
03
归类探究
1
不等式的概念和性质
例1 经典题 已知，有下列结论：；；③若 ，
则；④若，则 .其中正确结论的个数是( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
2
一元一次不等式及其解法
例2 [2024广西] 不等式 的解集为________．
解一元一次不等式与解一元一次方程类似，不同的是不等式两边都乘
（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变.用数轴表示解集时，要注
意实心点与空心圈的区别.
变式跟进
1.[2024连云港] 解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
这个不等式的解集在数轴上表示如答图：
变式跟进1答图
3
解一元一次不等式组
例3 [2024天津] 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来；
解：将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如答图:
例3答图
（4）原不等式组的解集为____________．
解此类题的方法是先求出各个不等式的解集，然后求出它们的公共部
分，通常有以下几种情况（假设 ）：
（1）若则 ；
（2）若则 ；
（3）若则 ；
（4）若 则无解.
变式跟进
2.[2024北京] 解不等式组：
解：解不等式，得 ，
解不等式，得 ，
原不等式组的解集为 ．
3.[2024扬州] 解不等式组 并求出它的所有整数解的和．
解：解不等式，得 ，
解不等式，得 ，
原不等式组的解集为 ，
它的整数解为1，2，3，
它的所有整数解的和为6．
4
与一元一次不等式（组）的解集有关的问题
例4 [2023遂宁] 若关于的不等式组的解集为 ，则
的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
（1）已知不等式组的解集求不等式（组）中字母系数（或有关字母代
数式）的值，一般要先求出各个不等式的解集（可用题中字母表示），再
结合给定的解集，得出等量关系或者不等关系.
（2）利用数轴确定解集的范围更直观.
变式跟进
4.[2024南充] 若关于的不等式组的解集为，则 的取值
范围是( )
B
A. B. C. D.
5.[2023眉山] 若关于的不等式组的整数解仅有4个，则
的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
5
一元一次不等式的应用
例5 工程问题 在村村通公路某项目建设中，计划修建公路共 ，有甲、
乙两个工程队可供选择，已知甲队比乙队每天多修路 ，乙队单独完成
修路所需时间是甲队单独完成修路所需时间的1.5倍.
（1）求甲、乙两队每天修路多少千米；
解：设乙队每天修路，则甲队每天修路 .
根据题意，得，解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
.
答：甲队每天修路，乙队每天修路 .
（2）已知甲队每天的工作费用为7 500元，乙队每天的工作费用为6 000元，
若该项目由甲、乙两队合作完成，且工程总工作费用不超过78 000元，求
甲队至少要工作多少天.
解：设甲队需要工作天，则甲队修路，乙队修路 .
乙队每天修路 ，
乙队修路的天数为
工程总工作费用不超过78 000元，
，
解得 .
答：甲队至少需要工作8天.
例6 利润问题 [2024成都] 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，
推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季
节，该合作社用17 500元从农户处购进A，B两种水果共 进行销售，
其中A种水果收购单价为10元/，B种水果收购单价这15元/ ．
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
解：设A种水果购进，B种水果购进 .
根据题意，得
解得
答：A种水果购进，B种水果购进 .
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失 ，若合作社计划A种水果
至少要获得 的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
解：设A种水果的销售单价为元/ ，
根据题意，得 ，
解得 ，
的最小值为12.5．
答：A种水果的最低销售单价为12.5元/ .
例7 方案决策问题 [2024南宁模拟] 一家游泳馆暑期推出两种游泳付费方式．
方式一：每次购买30元入场券;
方式二：办理实名制会员证150元，仅限本人使用，每次凭证需再购入场券
18元．
（1）当小宁去游泳8次时，选哪种方式更划算？请说明理由.
解：当小宁去游泳8次时，选择方式一更划算.
方式一需付款 （元），
方式二需付款 （元），
，
选择方式一更划算.
（2）当小宁去游泳至少多少次时，方式二比方式一划算？请说明理由．
解：设当小宁去游泳 次时，方式二比方式一划算.
根据题意，得 ，
解得 .
为整数，
的值至少为13，
答：当小宁去游泳至少13次时，方式二比方式一划算．
