(共44张PPT)
第25课时 弧长及扇形的面积，
圆锥（柱）的侧面积和全面积
01
考点管理
1
扇形的有关计算
圆的周长 ①_____（ 为圆的半径） _____________________________
为扇形的半径； 为
弧所对的圆心角度数；
是扇形的弧长.
扇形弧长 ②_ ___
圆的面积 ③_____（ 为圆的半径）
扇形面积 ④_ ____
2
圆柱与圆锥的相关计算
名称 公式 应用
圆柱 ⑤______ ⑥______ ⑦______ （1）侧面展开图为矩形；
（2）为底面圆半径， 为圆柱高.
名称 公式 应用
圆锥 ⑧____ ⑨_________ ⑩_______ ___________________________ （1）圆锥的侧面展开图是 ______；
（2）圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图
（扇形）的 ______；
（3）圆锥的母线长等于其侧面展开图
（扇形）的 ______；
（4）圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的
母线、底面圆半径和圆锥的高 ，这三个
量之间的数量关系为 .
扇形
弧长
半径
续表
3
阴影部分面积的有关计算
方法 图示 计算公式
公式法 _____________________________
直接和差法 ____________________________
______________________________
方法 图示 计算公式
构造和差法 __________________________________________________
_______________________________________________
等积转化法 ____________________________________________________________
续表
方法 图示 计算公式
平移转化法 _______________________________________________________
对称转化法 ______________________________________________________
________________________________________________
续表
02
中考再现
1.[2024安徽] 若扇形的半径为6， ，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
2.[2022柳州] 如图，圆锥底面圆的半径 ，母线长
，则这个圆锥的侧面积为( )
C
A. B. C. D.
3.[2024长沙] 半径为4，圆心角为 的扇形的面积为____（结果保留 ）.
4.[2022玉林] 数学课上，老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成
以点为圆心， 为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形
的面积是___.
1
5.[2022贵港] 如图，在中，， ，以点 为圆
心，为半径画弧交于点，连接.若 ，则图中阴影部分的
面积是_________.
03
归类探究
1
正多边形的性质
例1 [2024德阳] 已知，正六边形的面积为 ，则正六边形的边长
为( )
C
A.1 B. C.2 D.4
例1答图
[解析] 如答图，连接，，过点作 ，垂足为
， 六边形是正六边形， .
，是正三角形， .设
，则， ，
，解得或 （舍去），即
正六边形的边长为2.故选C.
变式跟进
1.[2024东营] 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》
中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆
的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，
以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕
育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似
值为.如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积
近似估计的面积，可得 的估计
值为.若用圆内接正八边形近似估计 的面积，可得
的估计值为_____.
2.[2024苏州] 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图
是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六
条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点， 所在
圆的圆心恰好是的内心，若 ，则花窗的
周长（图中实线部分的长度）____.（结果保留 ）
2
扇形的弧长
例2（1）一个扇形的圆心角是 ，它的半径是 ，则扇形的弧长为
____ .
（2）已知扇形的弧长为 ，圆心角为 ，则它的半径为___.
6
熟练掌握弧长公式，理解弧长公式 中各个量所代表的意义是解
此类题的关键.
变式跟进
3.[2022广西] 如图，在中， ，
，将绕点逆时针旋转 ，得到
，连接并延长交于点.当时，
的长是( )
B
A. B. C. D.
4.[2023南宁模拟] 如图，图①是由若干个相同的
图形（图②）组成的美丽图案的一部分.在图②中，
图形的相关数据：半径 ，
，则图②的周长（三条弧长的和）为____.（结果保留 ）
3
扇形的面积
例3 [2024吉林] 某新建学校因场地限制，要合理规划体
育场地.小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由
和扇形组成，，分别与交于点 ，
，， ，则阴影部分
的面积为_____（结果保留 ）.
变式跟进
5.[2023永州] 已知扇形的半径为6，面积为 ，则扇形圆心角的度数为
____.
4
弓形（不规则图形）的面积计算
例4 [2024钦州模拟] 如图，，，在上，连接，， ，若
，劣弧的度数是 ， ，则图中阴影部分的
面积是__________.
变式跟进
6.[2022贺州] 如图，在等腰中，点
在上，以点为圆心,为半径作圆弧交
于点，连接.已知阴影部分的面积为 ，
则 的长为( )
C
A. B.2 C. D.
7.[2024威海] 如图，在扇形中， ，点 是
的中点.过点作交于点，过点作 ，
垂足为.在扇形内随机选取一点，则点 落在阴影部分的概
率是( )
B
A. B. C. D.
8.[2023滨州] 如图，某玩具品牌的标志由半径为 的三个等
圆构成，且三个等圆，， 相互经过彼此的圆心，
则图中三个阴影部分的面积之和为( )
C
A. B. C. D.
9.[2024内江] 如图，是的直径，是的中点，过点作 的垂线，
垂足为 .
（1）求证： ；
证明：是 的中点，
， .
是的直径， .
，
， ，
.
（2）求证：是 的切线；
变式跟进9答图①
证明：连接 ，如答图①.
， .
由（1）知， ，
， .
， .
为 的半径，
是 的切线.
（3）若， ，求阴影部分的面积.
变式跟进9答图②
解：连接，，过点作于点 ，如答图②，
则 .
， .
，， ，
四边形 为矩形，
， .
为等腰直角三角形，
， .
，
， ，
，
，
.
5
圆锥（柱）的侧面积、全面积和体积
例5 [2024梧州模拟] 如图，圆锥底面圆的半径 为3，母线与底面圆的夹
角 ，则该圆锥的侧面积为______.
变式跟进
10.[2022贺州] 某餐厅为了追求时间效率，推出一
种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒
转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部
上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥
和一个圆柱相通连接而成.某次计时前如图①所示，
B
A. B. C. D.
已知圆锥底面半径是，高是；圆柱底面半径是 ，液体高是
.计时结束后如图②所示，则此时“沙漏”中液体的高度为( )
11.[2024烟台] 如图，在边长为6的正六边形中，以点 为圆心，以
的长为半径作 ，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的
底面半径为____.
6
平面图形的旋转滚动问题
例6 [2023郴州] 如图，在 中，
， ， .将 绕点
逆时针旋转，得到.若点的对应点 恰好落
在线段上，则点的运动路径长是_____
（结果用含 的式子表示）.
变式跟进
12.如图，放置在直线上的扇形 ，由图①位置滚动（无滑动）到图②位
置，再由图②位置滚动到图③位置.若半径， ，则点
所经过的最短路径的长是( )
C
A. B. C. D.
13.如图，在中，， ， .将 沿
直线无滑动地滚动至处，则点所经过的路径与直线 所围成的封
闭图形的面积为_ _______.
14.如图，将含有 角的直角三角板 放入平面直角
坐标系中，顶点，分别落在轴、 轴的正半轴上，
，点的坐标为.将三角板沿 轴
向右进行无滑动的滚动（先绕点 按顺时针方向旋转
， 再绕点按顺时针方向旋转）.当点 第一
次落在轴上时，点 运动的路径与两坐标轴所围成的图形面积是_ ________.
15.如图，把腰长为8的等腰直角三角板的一直角边放在直线 上，按
顺时针方向在上转动两次，使得它的斜边转到上，则直角边 两次转动
所扫过的图形的面积为_____.
7
旋转形成的面积
例7 如图，点，， 对应的刻度分别为0，2，4，将
线段绕点按顺时针方向旋转，当点 首次落在矩形
的边上时，记为点，则此时线段 扫过的
图形的面积为( )
D
A. B.6 C. D.
变式跟进
16.如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间
的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面
中阴影部分的面积为( )
B
A. B. C. D.
17.如图，将绕点顺时针旋转 得到.已知 ，
，则线段 扫过的图形（阴影部分）的面积为_ __.
18.如图，在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点 顺时针
旋转到四边形处，此时边与对角线 重叠，求图中阴影部分的
面积.
解： 六边形 是正六边形，
每个内角的度数为 ，且 ，
.
， .
任何正六边形都有一个外接圆，
四边形是正六边形外接圆中的内接四边形，且 为直径，
， ，
， .
由旋转的性质得，四边形四边形 ，
则 .(共53张PPT)
第24课时 直线与圆的位置关系
01
考点管理
1
直线与圆的位置关系
（设圆的半径为，圆心到直线的距离为 ）
位置关系 与 的关系 公共点个数 图示
相离 没有公共点 ____________________
相切 有且只有①______公共点 _________________
相交 ②___ 有2个公共点 _________________
一个
2
切线的性质与判定
概念 直线和圆只有③______公共点时，这条直线叫做圆的切线.
性质 圆的切线④______于经过切点的半径.
判定 （1）定义：与圆只有一个交点的直线是圆的切线；
（2）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线；
（3）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
一个
垂直
3
切线长和切线长定理
切线长 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点
到圆的切线长.
切线长 定理 从圆外一点可以引圆的⑤____条切线，它们的切线长⑥______，
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，， 分别切
于，两点，则有⑦___， .
_________________________
两
相等
4
三角形的内切圆
定义 与三角形各边都相切的圆. ____________________________
圆心 三角形的内心，三角形三条角平 分线的交点.
性质 三角形的内心到三角形三边的距 离相等.
角度关系 .
注意 直角三角形内切圆的半径，其中， 为两直 角边的长， 为斜边长.
5
三角形的外心和内心
定义 确定方法 图形 性质
外心 （三角形外 接圆的圆 心） 三角形三边 垂直平分线 的交点 _______________________ ；
（2）外心不一定在三角形的内部.
内心 （三角形内 切圆的圆 心） 三角形三条 角平分线的 交点 __________________________ ；
，，分别平分 ，
， ；
（3）内心在三角形的内部.
02
中考再现
1.[2024山西] 如图，已知，以为直径的交 于
点，与相切于点，连接.若 ，则 的度
数为( )
D
A. B. C. D.
[解析] ， . 以为直径的与 相
切于点A， ， .故选D.
第2题图
2.[2022长沙] 如图，，是的切线，， 为
切点.若 ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
3.[2023龙东地区] 如图，是的直径，切于点，交 于
点，连接.若 ，则 ____.
第3题图
4.[2022玉林] 如图，在 的网格中，各小正方
形边长均为1，点，，，，， 均在格点上，
点是 的外心，在不添加其他字母的情况下，
则除外把你认为外心也是点 的三角形都写
出来：_______________________.
，，
03
归类探究
1
直线与圆的位置关系
例1 [2023衡阳] 如图，在中， ，， .以
点为圆心，为半径作圆.当所作的圆与斜边所在的直线相切时， 的值
为___.
变式跟进
1.在中， ，，，以点为圆心， 为半径
作.当时，与直线 的位置关系是( )
B
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
判断直线与圆的位置关系，常根据圆心到直线的距离与圆的半径 的
大小关系确定：若，则直线与圆相交；若 ，则直线与圆相切；若
，则直线与圆相离.
2
切线的性质
例2 [2024盐城] 如图，点在以为直径的上，过点作的切线 ，
过点作，垂足为，连接， .
（1）求证： ；
例2答图
证明：如答图，连接 .
是的切线， .
，
，
.
，
.
（2）若，，求 的半径.
解：，， ，
.
，
，， ，
的半径为 .
变式跟进
2.[2024柳州模拟] 如图，为的直径，与相切于点 ，
，垂足为，交于点 .
（1）求证：平分 ；
变式跟进2答图
证明：如答图，连接 .
直线与相切于点 ，
.
，
，
.
，
，
，
即平分 .
（2）若，，求 的半径.
变式跟进2答图
解：如答图，连接 .
在中， ， ，
，
.
是 的直径，
.
，
，
，
，
，
的半径为5.
3.[2024柳州模拟] 如图，已知中，，以为直径的 交
于点，过点作的切线交的延长线于点，于点 .
（1）求证： ；
变式跟进3答图
证明：如答图，连接 .
是 的直径，
.
又 ，
.
（2）若，，求 的长.
变式跟进3答图
解：如答图，连接 .
，分别是， 的中点，
是的中位线， .
又 ，
.
,
.
，
在 中，由勾股定理，得
，
.
， ，
，即， .
，
.
3
切线的判定与性质的综合
例3 [2024广西] 如图，已知是的外接圆，， 分别是
，的中点，连接并延长至点，使，连接 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
证明：，分别是， 的中点，
， .
在和中，
，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形.
（2）求证：与 相切；
例3答图①
证明：如答图①，连接 .
， ,
，垂直平分 ，
经过圆心 .
由（1）知，， .
为半径，与 相切.
（3）若，，求 的半径.
例3答图②
[答案] 如答图②,连接，， .
， ，
， .
， .
， .
，， ，
，
的半径为10.
变式跟进
4.[2023广西] 如图，平分，与相切于点，延长交 于
点，过点作，垂足为 .
（1）求证：是 的切线；
证明：与相切于点，且是 的半径，
.
平分，于点，于点， ，
点在 上.
是的半径，且 ，
是 的切线.
（2）若的半径为4，，求 的长.
解：， ，
.
，
.
，
，
.
5.[2024梧州模拟] 如图，是的角平分线， ，以点
为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点 .
（1）求证：是 的切线；
变式跟进5答图
证明：如答图，过点作，垂足为 .
.
,
.
是 的平分线，
.
是 的半径，
是 的切线.
（2）若，，求 的长.
解：在中，， ，
，
.
是的切线，是 的切线，
，
.
设的半径为，则 ，
.
在中， ，
，
解得 ，
.
在中， .
， ，
.
又 ，
， ，
.
证某直线为圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该
点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直”；如果不能确定某
直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂足到圆心的距
离等于半径，即“作垂直，证半径”.
4
切线长定理
例4 [2023泰安] 为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角
尺按图所示放置于桌面上，并量出 ，则这张光盘的半径是____
.（结果精确到.参考数据： ）
6.9
变式跟进
6.[2022眉山] 如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与
帽子边沿，分别相切于点， ，不倒翁的鼻尖正好是圆
心.若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
5
三角形的内切圆
例5 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作.书中有下列问题：
“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：今有直角三角形，
勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容
纳圆形（内切圆）的直径是多少？则该问题的答案是( )
C
A.3步 B.5步 C.6步 D.8步
（1）解决与三角形内切圆有关的问题时，常用到面积法：
，其中为的内切圆半径，，，为
的三条边的长度.
（2）已知直角三角形的三边长，，（其中 为斜边），则其内切圆
半径为 .
（3）解决三角形与圆相切的问题时，常利用切线长定理及勾股定理等
列方程（组）来求半径.
变式跟进
7.[2024滨州] 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大
的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世
界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一
题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推
D
A. B.
C. D.
导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，在 中，
，，，的长分别为，，，则可以用含，， 的式子
表示出的内切圆直径 ，下列表达式错误的是( )
8.中国元代数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》中记载有“锁
套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”
意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池
（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.
见配套《自主选练本》
问题：此图中，正方形一条对角线与相交于点，（点在点 的
右上方）.若的长为10丈，的半径为2丈，则 的长为__________丈.
规范性答题：切线的性质与判定
规范答题注意事项
1.解题前写上“解：”，每一问如果需证明，则应写上“证明：”；
2.证明时，需要作辅助线时，应用虚线；
3.每一步推理证明需要有理有据，条理清楚，步骤到位，不能“跳步”；
4.求解过程中，如果需要列方程，注意设未知数.
例 （8分）如图，与的边相切于点，与边相交于点 ，
过上一点，且，是 的直径.
（1）求证：是 的切线；
答图
解：规范解答 证明：如答图，连接 .（1分）
，
.
，
， ，
.（2分）
是 的切线，
.
在和中，
，
.（4分）
是 的半径，
是 的切线.（5分）
[解析] 评分标准
（1分） 作出辅助线，得1分.
（2）若，，求和 的长.
解：是 的切线，
，
，
，
（负值已舍去），（6分）
.
，是 的切线，
.
设 ，
在中， ，
，
解得 ，
.（8分）
[解析] 得对应角相等，得1分.
找对应关系，得出三角形全等，并且得出对应角相等，得2分.
得出切线，得1分.
得出 的长，得1分.
得出 的长，得2分.(共49张PPT)
第23课时 圆的基本性质
01
考点管理
1
圆的有关概念
圆 如图，在一个平面内，线段绕它固定的一个端点 旋转一周，
另一个端点所形成的图形叫做圆，其固定的端点 叫做
①______，以点为圆心的圆记作，线段 叫做半径.
________________________
圆心
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
弧 圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆
的弧叫劣弧.
圆心角 顶点在②______的角.
圆周角 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角.
圆心
续表
2
圆的性质
对称性 （1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对
称轴；
（2）圆是中心对称图形，③______是它的对称中心.
旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合.
圆心
3
弧、弦、圆心角之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论 （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
4
圆周角定理及其推论
定理 一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的④______.
推论 （1）同弧或等弧所对的圆周角相等.同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧也相等；
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是⑤______， 的圆周角所对
的弦是⑥______.
一半
直角
直径
5
垂径定理及其推论
垂径 定理 垂直于弦的直径⑦______弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论 平分弦（不是直径）的直径⑧________弦，并且平分弦所对的两
条弧.
平分
垂直于
结论 ；
（2）⑨____ ；
⑩____；
____；
是直径.
若其中任意两条结论成立，则其他三条结论也成立，即“知二推
三”.
续表
6
点与圆的位置关系
（设圆的半径为，点到圆心的距离为 ）
点在圆内 ___ ___________________
点在圆上 ______________________
点在圆外 ________________________
7
圆内接四边形
定义 如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做这
个圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.
性质 圆内接四边形的对角 ______，并且任何一个外角都等于它的内对
角.
互补
8
三角形的外接圆
概念 经过三角形的三个顶点形成的圆. ____________________
圆心 外心（三角形三条边的垂直平分线的交点）. 性质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. 角度关系 . 02
中考再现
1.[2023广西] 如图，点，，在上， ，
则 的度数是( )
D
A. B. C. D.
2.[2024新疆] 如图，是的直径，是 的弦，
，垂足为.若，，则 的长为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 是的直径，且， .
在中，， .故
选B.
3.[2022梧州] 如图，是 的外接圆，且
， ，在上取点
（不与点，重合），连接， ，则
的度数是( )
C
A. B. C. D.
4.[2024北京] 如图，的直径平分弦 （不是直径）.若
，则____ .
55
第4题答图
[解析] 如答图，设与相交于点的直径 平分弦
（不是直径），， .
， ， .
5.[2024滨州] 如图，四边形内接于，若四边形 是菱形，则
____.
[解析] 四边形内接于， ， 四边形
是菱形，， ，由圆周角定理，得
， .
03
归类探究
1
点与圆的位置关系
例1 [2024原创] 已知的半径为5，若，则点与 的位置关系
是( )
A
A.点在内 B.点在上 C.点在 外 D.无法判断
判定点与圆的位置关系，要根据点与圆心的距离和圆的半径大小的关
系做出判断.
2
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
例2 [2024原创] 如图，已知是的直径， ，若
，则 的度数是____.
（1）在同圆或等圆中，圆心角（或圆周角）、弧、弦中只要有一组量
相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转
化，达到求解或证明的目的；
（2）注意同一个圆中的隐含条件：半径相等.
变式跟进
1.[2022怀化] 如图，点，，，在上，，与 相交于
点 .
求证：
（1） ；
证明： ，
，
.
（2） .
[答案] ， ，
.
3
垂径定理及其推论
例3 [2023广西] 赵州桥是当今世界上建造最早，
保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，
主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为 ，
则赵州桥主桥拱半径 约为( )
B
A. B.
C. D.
在已知半径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边
为圆的半径，两直角边分别是弦长的一半和圆心到弦的垂线段，从而运用
勾股定理来计算.
变式跟进
2.[2024梧州模拟] 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的
底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，
其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽 的长
为( )
D
A. B. C. D.
3.[2024南宁模拟] 被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有
一座美丽的圆弧形石拱桥.如图，已知桥拱的顶部 距水面的距
离为，桥弧所在的圆的半径为，则水面 的
宽度是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 如答图，连接 ，
变式跟进3答图
在中，，， ，
.
，
.
故选A.
4
圆内接四边形对角互补的应用
例4 [2022张家界] 如图，四边形内接于，是直径，是 的
中点，延长交的延长线于点 .
（1）求证： ；
证明：如答图，连接 .
例4答图
是直径， .
是 的中点，
， .
又 ，
.
， .
（2）若，，求 的长.
解：， ，
.
四边形内接于 ，
.
，
.
又， ，
，即，解得 .
.
变式跟进
4.[2023温州] 如图，四边形内接于， ，
.若 ，，则的度数与
的长分别为( )
C
A. ，1 B. ， C. ，1 D. ，
5.[2023北京] 如图，圆内接四边形的对角线，相交于点，
平分， .
（1）求证：平分，并求 的度数；
证明：， ，
，平分 .
平分， .
四边形 是圆内接四边形，
，
，
，
，
.
（2）过点作交的延长线于点，若， ，求此圆
的半径.
解： ， ，
， .
， 是圆的直径，
垂直平分， .
， 是等边三角形，
.
， .
，
， .
四边形 是圆内接四边形，
.
，
，
.
， ，
.
是圆的直径，
圆的半径是4.
5
圆周角定理及其推论
例5 [2022贵港] 如图，是的外接圆，是 的
直径，点在上.若 ，则 的度数是
( )
C
A. B. C. D.
变式跟进
6.[2024南充] 如图，是的直径，位于两侧的点，均在 上，
，则 ____.
7.[2022广东] 如图，四边形内接于，为 的直径，
.
（1）试判断 的形状，并给出证明；
解： 是等腰直角三角形.
证明：是 的直径，
.
，， ，
，
是等腰直角三角形.
（2）若，，求 的长.
解： 是等腰直角三角形，
，
.
在中， ， ，
.
8.[2023衡阳] 如图，是的直径，是一条弦，是 的中点，
于点，交于点，交于点，交于点 .
（1）求证： ；
证明：是的中点， .
，且是 的直径，
， ，
，
.
（2）若，，求 的半径.
解： ，
.
又 ,
，
.
设，则 .
，
.
，
， ,
,
，
.
是 的直径，
的半径为5.
（1）由圆周角与圆心角的关系可知，圆周角定理是建立在圆心角基础
上的，有了圆周角定理，就多了一种证明角相等或倍分关系的方法.
（2）直径所对的圆周角为直角，反之亦成立.在与圆有关的证明和计算
问题中，可以创造条件灵活运用这条定理，使问题简单化.
