(共55张PPT)
第26课时 相似
01
考点管理
1
比例线段及其性质
比例线段 对于四条线段，，， ，如果其中两条线段的比与另两条线
段的比相等，如（即 ），那么这四条线段叫做成
比例线段，简称比例线段.
比例性质 ①_________ ；
（2）如果，那么 （合比性质）.
比例中项 若或，则 叫做比例中项，即②________.
黄金分割 如图，点把线段分成两条线段和，且 ，那么
线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点， 和
的比叫做黄金分割比，即 .
______________________________________________
续表
平行线分 线段成比 例 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
③________.如图所示，，且被直线， 所截，那么
，， .
____________________________________
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长
线），所得的对应线段④________.
成比例
成比例
续表
2
相似三角形的性质与判定
性质 （1）相似三角形的对应角⑤______，对应边⑥________；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）的比等
于⑦________；
（3）相似三角形的周长比等于⑧________；
（4）相似三角形的面积比等于⑨______________.
相等
成比例
相似比
相似比
相似比的平方
判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形相似；
（2）两边对应成比例且⑩______相等的两个三角形相似；
（3）两组角分别对应 ______的两个三角形相似；
（4）三边对应 ________的两个三角形相似.
判定 思路 （1）有平行截线，则利用平行线的性质，找等角；
（2）有一对等角，则找另一对等角，或该角的两边对应成比例；
（3）有两边对应成比例，则找夹角相等，或第三边也对应成比例.
夹角
相等
成比例
续表
3
相似多边形
概念 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别对应相等，对应边成
比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比
叫做相似比.
性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平
方.
02
中考再现
1.[2024重庆B卷] 若两个相似三角形的相似比为 ，则这两个三角形面积
的比是( )
D
A. B. C. D.
2.[2023北京] 如图，直线，交于点 ，
.若，，，则 的值
为_ _.
3.[2024云南] 如图，与相交于点，且.若 ，则
__．
第3题图
[解析] ，，. ，
．
4.[2024滨州] 如图，在中，点，分别在边， 上.添加一个条
件使 ，则这个条件可以是
_ ____________________________________________（写出一种情况即可）.
或或（答案不唯一）
第4题图
03
归类探究
1
平行线分线段成比例
例1 [2023吉林] 如图，在中，点在边 上，
过点作，交于点.若， ，则
的值是( )
A
A. B. C. D.
变式跟进
1.[2024山西] 黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图
的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知
一条分割线的端点，分别在习字格的边， 上，且
，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点 处，
且，若，则的长为_________
（结果保留根号）．
[解析] 四边形是正方形， ，又 ，
， ， 四边形 是矩形，
.又， ．
2.[2024桂林模拟] 如图，已知在中，，分别是， 边上的
中线，且相交于点，过点作，则 __．
2
相似三角形的判定
例2 [2023邵阳] 如图，于点，于点，是线段 上的
一点，且于点.已知，， .
（1）求证： ；
证明：，， ，
，
， ，
，
.
（2）求线段 的长.
解：， ，
， .
判断两个三角形相似的常规思路：（1）先找两对对应角相等；（2）
若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；
（3）若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例.另外，可考虑相似三角
形的“传递性”.
变式跟进
3.[2023大庆] 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩
形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片 如
图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点
的对应点记为点.若点恰好落在边上，则图中与 一定相似的三
角形是________．
4.[2024玉林模拟] 如图①，在边长为4
的正方形中，为 上一动点，
且，截取 ，且
交线段于点，过点作 的
垂线交于点 ．
（1）求证： ；
证明： 四边形 为正方形，
，
.
，
，
，
．
（2）如图②，若是的中点，求 的周长；
解：是 的中点，正方形的边长为4，
.
设，则 ，
在中， ，
，
解得 ，
.
，
，即 ，
， ，
的周长为 ．
（3）在动点逐渐向点运动（逐渐增大）的过程中， 的周长如
何变化？请说明理由．
解： 的周长不变.理由如下：
设，则 ，
在中， ，
，
，
.
，且 ，
．
在动点的运动过程中， 的周长始终为定值．
5.[2024广西模拟] 阅读与思考，完成后面的问题．
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要
定理.如图，在中， ，是斜边
上的高，则有如下结论：； ；
.
下面是该定理的部分证明过程：
证明：是斜边 上的高，
.
， .
， （依据），
，即 .
（1）材料中的“依据”是指______________________________；
两角分别相等的两个三角形相似
（2）选择②或③其中一个结论加以证明；
解：若选择 .
证明：是斜边 上的高，
．
．
，
，
，
．
若选择 ．
证明：是斜边 上的高，
．
．
，
，
，
．
（3）应用：若在平面直角坐标系中，已知， ， ，
，点在轴上，求顶点 的坐标．
解：是斜边 上的高，
.
， .
， ，
，
点的坐标为或（0， ）．
3
相似三角形的性质
例3 若两个相似三角形的相似比是 ，则这两个相似三角形的中线比是 ( )
A
A. B. C. D.
变式跟进
6.[2022贺州] 如图，在中，，， ，
则 的值是( )
B
A. B. C. D.
4
相似三角形的综合
例4 [2024梧州模拟] 【问题发现】
（1）如图①，在和中， ，
，是线段上一动点，连接，填空： 的值
为___； 的度数为____．
1
【类比探究】
（2）如图②，在和中， ，
，是线段上一动点，连接，请判断 的值及
的度数，并说明理由．
解：， .理由如下：
，
，
，
.
，
，
，
，
，且 ，
，
， ，
．
【结论应用】
（3）在（2）的条件下，若，，求线段 的长．
解：由（2）知： ，
， ，
， .
， .
在中， ，
，
即 ，
解得或 ．
线段 的长为1或2.
变式跟进
7.[2022玉林] 如图，在矩形中， ，
，是边上的任意一点（不包括端点 ，
），连接,过点作交 的延长线于点
，设 .
（1）求的长；（用含 的代数式表示）
解： 四边形 是矩形，
，
.
， ，
，
，
，即 ，
.
（2）连接交于点，连接，当时，求证：四边形 是
菱形.
证明：， ，
四边形 是平行四边形，
.
， ，
，
，解得 .
， ,
，
四边形 是菱形.
5
相似三角形与圆
例5 [2024柳州模拟] 如图，内接于，是的直径， 与
相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接， ．
（1）求证：是 的切线；
例5答图
证明：如答图，连接 ．
，
．
是直径，
，
.
为 的中点，
，
.
与相切于点 ，
，
，
，
，
.
又为 的半径，
是 的切线.
（2）已知，，求 的长．
解：， ，
，
，
.
, ,
，
．
为的中点，为 的中点，
，
变式跟进
8.[2022广西] 如图，在中，，以为直径作交 于点
，过点作，垂足为，延长交于点 .
（1）求证：是 的切线；
变式跟进8答图
证明：如答图，连接 .
， .
， ，
， .
，
.
为 的半径，
是 的切线.
（2）若，，求 的半径.
变式跟进8答图
解：如答图，连接 .
由（1）知， .
， ，
，即是 的中位线.
是的直径， .
， ，
， ，
，
，即是 的中位线，
.
，
设，则， .
，
，
.
在中， ，
即，解得 .
，
，即 的半径为13.
6
相似三角形对应高的比的应用
例6 开放探究型问题 如图①，在中，矩形的一边在 上，
顶点，分别在边，上，是边上的高，交于点 .若
，，，矩形 恰好为正方形.
①
②
（1）求正方形 的边长；
解：， ，
即， .
.
正方形 的边长为2.
（2）如图②，延长至点，使得,将矩形沿 的方向向右
平移，当点刚好落在上时，试判断移动后的矩形与 重叠部分的形
状，并说明理由.
例6答图
解：重叠部分是三角形.理由如下：
如答图，设点落在上时的对应点为，点，，
的对应点分别为点，， .
， ，
， .
，
， .
， .
.
，，即 .
， .
点与点 重合，
移动后的矩形与重叠的部分是 ，是三角形.
见配套《自主选练本》(共34张PPT)
微专题（五） 四大常考相似模型
1
“A”型
数学模型 如图，已知 ，
（1）根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形
与原三角形相似”，可得 ，再由相似三角形的性质，有
.
（2）根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成
比例”，还可得， 等比例式.
模型运用
1.如图，在中，，点在 上，且
，的平分线交于点，是 的中点，
连接.若四边形的面积为6，求 的面积.
解：平分， ，
是 的中线，
即是 的中点.
是 的中点，
，且 ，
.
.
，
.
.
2.如图，一条东西走向的笔直公路，点， 表示公路
北侧间隔的两棵树所在的位置，点 表示电视塔
所在的位置.小王在公路南侧 沿直线行走，当他到达
点的位置时，观察树恰好挡住电视塔，即点， ，
在同一条直线上，当他继续走到达点 的位置时，以同样方法观察
电视塔，观察树也恰好挡住电视塔.假设公路两侧 ，且公路的宽为
，求电视塔到公路南侧所在直线 的距离.
解：如答图，过点作于点，交于点 .
第2题答图
设，则 .
，
， ，
， ，
，即 ，
解得 .
经检验， 是原分式方程的解.
.
答：电视塔到公路南侧所在直线的距离是 .
3.如图，在中，平分交于点，过点作交 于
点 .
（1）求证： ；
证明：平分 ，
.
， ，
， .
， ，
， .
.
（2）若，，，求 的长.
解：设的边上的高为 .
.
， .
， .
2
“X”型
数学模型 如图①，若（或或 ），则
，由相似三角形的性质，可得 .
①
②
如图②，若，则 ，由相似三角形的性质，可
得 .
模型运用
4.[2022北京] 如图，在矩形中，若，，，则 的
长为___.
1
5.如图，在中，为的中点，交于点，交 的延长线于点
，求证： .
证明：如答图，过点作，交于点 ，
第5题答图
， ，
， .
为的中点， ，
， .
6.如图，在四边形中，，是边的中点，连接 并延长交
的延长线于点，交于点 .
（1）若，，则线段 的长为___；
4
（2）求证： .
证明： ，
， ，
， .
是边 的中点，
，
，
.
3
“母子”型
数学模型 如图①②，若，则有 .特别地，如图
③，当 时，为斜边上的高，则有 ，
此时可得出以下结论：
①
②
③
（1） ；
（2） ；
（3） .
模型运用
7.如图，在中， ，于点.已知 ，
，则 的长为___.
6
8.如图，在锐角中，点，分别在边，上，于点 ，
于点， .
（1）求证： ；
证明：， ，
.
又 ，
.
，
.
（2）若，，求 的值.
解：由（1）可知 ，
， ，
.
， ，
，
， .
4
“一线三等角”型
数学模型 如图①~③，点在上，若 （无论是锐
角、直角还是钝角），则有 .
①
②
③
当 是锐角时，通常是以等腰三角形或等边三角形
（如图④~ ）为背景进行考查.
④
⑤
⑥
⑦
当是直角时，通常是以矩形或正方形（如图⑧~ ）
或以平面直角坐标系为背景进行考查.
⑧
⑨
⑩
模型运用
9.如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点 处.已知
，，求矩形 的周长.
解：由折叠可知， ， .
在 中，
，
，
.
，
，
，
，
， ，
， ，
.
10.如图，在中，，，分别是， 边上的点，且
.
（1）求证： ；
证明： ，
.
，
.
，
.
， ，
.
， .
（2）若，，当时，求 的长.
解：， .
， .
又， ，
.
， ，
， .
11.【感知】
数学课上，老师给出了一个模型：如图①， ，
由 ， ，可得 ；
又因为 ，可得，进而得到 .我
们把这个数学模型称为“一线三等角”模型.
【应用】
（1）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图②，在 中，
点在边上，且，.若，，求
的长度（用含， 的代数式表示）.
解：， ，
， .
在和中，
，
， ，
，即 .
【拓展】
（2）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图③，在
中，为边上的一点，为边上的一点.若 .求证：
.
第11题答图
证明：如答图，延长至点，使得 .
，
.
，
，
.
， ，
，
， ，
.
，
.
见配套《自主选练本》(共26张PPT)
第27课时 相似的应用
01
考点管理
1
相似三角形的应用
应用 （1）几何图形的证明与计算，主要包括解决线段的数量关系、线
段的长度、图形的面积等问题，解决这类问题一般先根据题中条
件，找出相似三角形，再利用相似三角形的性质来解答.
（2）生活中与相似三角形有关的实际问题：①利用投影、平行
线、标杆等构造相似三角形求解；②测量底部可以到达的物体的高
度；③测量底部不可以到达的物体的高度；④测量不可以到达对岸
的河的宽度等.
2
图形的位似
概念 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一
点，则这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，
新图形与原图形的相似比叫做位似比.
性质 （1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有的性质；
（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
位似比；
（3）位似图形中的对应边互相平行（或在同一条直线上）；
（4）位似图形中的对应顶点所在直线交于一点.
位似作图 的步骤 （1）确定位似中心；
（2）找关键点；
（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；
（4）根据位似比作出变化后的边，即可得出关键点的对应点；
（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.
续表
02
中考再现
第1题图
1.[2022梧州] 如图，以点 为位似中心，作四边形
的位似图形.已知 ，若四边形
的面积是2，则四边形 的面积是( )
D
A.4 B.6 C.16 D.18
第2题图
2.[2024绥化] 如图，矩形 各顶点的坐标分别为
，，，，以原点 为位似中心，
将这个矩形按相似比缩小，则顶点 在第一象限对应点的
坐标是( )
D
A. B. C. D.
3.[2022广西] 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的
顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度.如图，木杆长 ，它的
影长是，同一时刻测得是，则金字塔的高度是_____ .
134
03
归类探究
1
坐标系中的位似变换
例1 [2024南宁模拟] 如图，在平面直角坐标系中，
，.以点为位似中心，按相似比为 把
缩小，则点 的对应点的坐标是( )
D
A. B.
C.或 D.或
变式跟进
1.[2024钦州模拟] 如图，已知在平面直角坐标系中，点 ，
， .请按如下要求画图：
（1）将绕点逆时针旋转 得到，请画出 ；
解：如答图， 即为所求作.
变式跟进1答图
（2）以点为位似中心，相似比为，将 在位似中心的异侧进行放
大得到，请画出 ；
解：如答图， 即为所求作.
变式跟进1答图
（3）内部一点的坐标为，直接写出点在 中的对应
点 的坐标．
解： ．
2
相似三角形与其他知识的综合运用
例2 经典题 [2023连云港] 如图，矩形 的
顶点在反比例函数 的图象上，顶
点，在第一象限，对角线轴，交 轴于
点.若矩形的面积是6， ，则
____.
此类问题一般涉及相似三角形的判定与性质、特殊四边形的性质等，
常常用到数形结合思想、分类讨论思想等.
变式跟进
2.[2024崇左模拟] 如图， ，
，，，点 在线
段上运动，为线段的中点，在点 的运动过程
中， 的最小值是___．
2
3
相似的实际应用
例3 真实情境题 [2024湖北] 小明为了测量树 的高度，经过实地测量，
得到两个解决方案：
方案一：如图①，测得地与树相距，眼睛处观测树的顶端 的
仰角为 ；
方案二：如图②，测得地与树相距 ，
在处放一面镜子，后退到达点，眼睛
在镜子中恰好看到树的顶端 ．
已知图①和图②中长均为 ，试选择一
个方案求出树的高度.（结果保留整数， ）
解：方案一：如答图，过点作于点 .
例3答图
由题意,得， ，
，
四边形 为矩形，
， .
在中， ，
，
.
方案二：由题意,得，， ，
， ，
，
，即，解得 ．
答：树的高度约为 ．
变式跟进
3.[2024钦州模拟] 综合与实践.
视力表中蕴含的数学知识
素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“ ”，并 依次编号Ⅰ，Ⅱ，放在水平桌面上.如图①， 将Ⅱ号“ ”沿水平桌面向右移动，直至从观 测点看去，对应顶点，， 在一条 直线上为止.这时我们说，在处用Ⅰ号“ ” 测得的视力与在处用Ⅱ号“ ”测得的视力 相同. _________________________________________________
素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测 试距离为 的视力表，但书房空间过小，美美同 学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决 房间小的问题.如图②，在相距 的两面墙上分别 悬挂视力表与平面镜 ，由平面镜成像原 理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力 表的上、下边沿，发出的光线经平面镜 的上下边沿反射后射入人眼 处，通过测量视力表 的全长就可以计算出镜长 . __________________________
续表
任务1 探究图中与 之间的关系，请说明理由；
解： .理由如下：
,
，
，
即 .
任务2 若，，Ⅰ号“”的测量距离 ，要使测得
的视力相同，求Ⅱ号“”的测量距离 ．
解：，，， ，
,
，
Ⅱ号“”的测量距离为 .
任务3 美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长 至少
为多少米．
变式跟进3答图
解：如答图，延长至点，使，延长 至点
，使，连接，过点作于点 ，
交于点 .
则， ，
， ，
.
由题意,得， ，
， ， ，
镜长至少为 .
见配套《自主选练本》
