(共40张PPT)
第22课时 正方形及四边形的综合
01
考点管理
1
正方形
概念 有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
性质 （1）边：四条边都①______，两组对边分别平行；
（2）角：四个角都是直角；
（3）对角线：对角线互相②__________且相等，对角线平分一组对
角；
（4）对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴.
______________________
相等
垂直平分
判定 （1）有一个角是③______的菱形是正方形；
（2）有一组④______相等的矩形是正方形；
（3）两条对角线⑤______的菱形是正方形；
（4）两条对角线互相⑥______的矩形是正方形；
（5）两条对角线相等且⑦__________的平行四边形是正方形；
（证明过程中不能直接应用，可转换到判定3）
（6）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
（证明过程中不能直接应用，可转换到判定5）
直角
邻边
相等
垂直
互相垂直
续表
判定 _____________________________________________________________________________
面积 公式 （为正方形的边长， 表示正方形对角线的长）.
续表
2
梯形
概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
（1）底：⑧______的两边叫做梯形的底边；⑨______的一条底边
叫下底，较短的一条底边叫上底；
（2）腰：不平行的两条边叫做腰；
（3）梯形的高：夹在两底之间的⑩________叫梯形的 ______；
梯形的 分类 一腰垂直于底的梯形叫 __________.
两腰相等的梯形叫 __________.
平行
较长
垂线段
高
直角梯形
等腰梯形
3
平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
02
中考再现
1.[2023河北] 如图，在中，， 是斜边
的中点，以为边作正方形.若 ，
则 ( )
B
A. B. C.12 D.16
2.[2023重庆] 如图，在正方形中，点，分别在 ，
上，连接，，， .若 ，则
一定等于( )
A
A. B. C. D.
3.[2023龙东地区] 如图，在矩形中，对角线 ，
相交于点 ，试添加一个条件：___________________
_____，使得矩形 为正方形.
（答案不唯一）
4.[2023怀化] 如图，是正方形的对角线 上的一
点，于点，，则点到直线 的距离为___.
3
5.[2023广西] 如图，在边长为2的正方形中，，分别是， 上
的动点，，分别是，的中点，则 的最大值为____.
03
归类探究
1
正方形的性质
例1 经典题 如图，正方形的对角线，相交于点，是线段
上一点，连接.过点作，垂足为，与相交于点 .求
证： .
证明：在正方形 中，
， ，
，
，
.
，， ，
，
，
.
正方形中含有很多相等的边和角，这些相等的边和角是证明三角形全
等的有力工具.
变式跟进
1.[2023绍兴] 如图，在正方形中，是对角线 上的
一点（与点，不重合），，，， 分
别为垂足.连接，，并延长交于点 .
（1）求证： ；
证明：在正方形中，， ，
，
，
.
（2）判断与 是否垂直，并说明理由.
变式跟进1答图
解： .理由如下：
如答图，连接交于点 .
为正方形 的对角线，
.
又， ，
，
.
在正方形中， ，
又， ，
四边形 为矩形，
，
，
.
由（1）得 ，
，
，
， .
2
正方形的判定
例2 [2022邵阳] 如图，在菱形中，对角线， 相
交于点，点，在对角线上，且， .
求证：四边形 是正方形.
证明： 四边形 是菱形，
，， .
， ,
，
四边形 是菱形.
，
，即 ，
菱形 是正方形.
变式跟进
2.[2022常德模拟] 如图，菱形的三个顶点，， 分别在正方形
的边，，上，连接 .
（1）求证： ；
变式跟进2答图
证明：如答图，连接 .
四边形 是正方形，
，
.
四边形 是菱形，
，
，
，
即 .
（2）当时，求证：菱形 为正方形.
[答案] 四边形 是正方形，
.
四边形 是菱形，
.
在和 中，
，
.
又 ，
，
，
菱形 为正方形.
3
正方形的综合
例3 [2024广西] 如图，边长为5的正方形，， ，
，分别为各边中点.连接，，， ，交点分别
为，，，，那么四边形 的面积为( )
C
A.1 B.2 C.5 D.10
变式跟进
3.[2024桂林模拟] 如图，正方形 和正方形
，点在上，是的中点.若 ，
，则 的长为( )
A
A. B. C.4 D.5
4.[2024新疆] 如图，在正方形中，若面积 ，周长
，则 ____．
40
5.[2024永州模拟] 如图，在边长为6的正方形中，，分别是 ，
边上的点，且，，连接，，， 于点
，交于点，则 __．
6.[2022广西] 如图，在正方形中， ，
对角线，相交于点是对角线 上一点，
连接，过点作，分别交， 于点
，，连接，交于点，将沿 翻折，
点的对应点恰好落在上，得到 .若点
为的中点，则 的周长是_______.
4
中点四边形
例4 [2022玉林] 若顺次连接四边形 各边的中点所得的四边形是正方形，
则四边形的两条对角线， 一定是( )
D
A.互相平分 B.互相垂直
C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等
变式跟进
7.[2023山西] 阅读与思考.
下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图①，在四边形中，，，，分别是边 ，
，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形 是平行
四边形，这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁是法
国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱
形、矩形或正方形.
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图①
证明如下：
7.证明：如图②，连接，分别交，于点，，过点作
于点，交于点 .
，分别为， 的中点，
，.（依据1） .
， .
续表
四边形 是瓦里尼翁平行四边形，
，即 .
，即 ，
四边形 是平行四边形，（依据2）
.
，
同理，
续表
任务：
（1）填空：材料中的依据1是指：__________________；依据2是指：
_______________________________________.
三角形中位线定理
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形 及它的瓦里尼翁平
行四边形，使得四边形为矩形.（要求同时画出四边形 的
对角线）
变式跟进6答图
解：如答图，画四边形，且于点 ，
，，，分别是边，，， 的中点，
顺次连接，，，，则四边形 为所求.
理由如下：，，，分别是边，， ，
的中点，
，，，，， ，
四边形 是平行四边形.
， ，
.
，
，
平行四边形 是矩形.
（3）在图①中，分别连接， 得到图③，请猜想瓦里尼翁平行四边形
的周长与对角线， 长度的关系，并证明你的结论.
解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于 .理由如下：
四边形 是瓦里尼翁平行四边形，
，，，分别是边，，， 的中点，
，， ，
，
瓦里尼翁平行四边形 的周长
.
见配套《自主选练本》(共49张PPT)
第21课时 矩形、菱形
01
考点管理
1
矩形
概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
性质 __________________
（1）边：两组对边分别平行且相等；
（2）角：四个角都是直角；
（3）对角线：对角线互相平分且①______；
（4）对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有2条对
称轴.
相等
判定 （1）有一个角是②______的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是③______的四边形是矩形；
（3）对角线④______的平行四边形是矩形；
（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
_______________________________________________________________________
面积公式 （， 分别表示矩形的两条相邻的边长）.
直角
直角
相等
续表
2
菱形
概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质 ______________________________
（1）边：对边平行，四条边都⑤______；
（2）角：两组对角分别相等；
（3）对角线：对角线互相垂直且⑥______，对角线平分一组对
角；
（4）对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有2条对称
轴.
相等
平分
判定 （1）有一组⑦______相等的平行四边形是菱形；
（2）⑧____条边都相等的四边形是菱形；
（3）对角线⑨__________的平行四边形是菱形；
（4）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
_______________________________________________________________________
面积 公式 ⑩______（， 分别表示菱形两条对角线的长）.
邻边
四
互相垂直
续表
02
中考再现
1.[2024泸州] 已知四边形 是平行四边形，下列条件中，不能判定
为矩形的是( )
D
A. B. C. D.
2.[2024成都] 如图，在矩形中，对角线与相交于点 ，则下列结
论一定正确的是( )
C
A. B.
C. D.
3.[2023乐山] 如图，菱形的对角线与 相交
于点，为边的中点，连接.若， ，
则 ( )
B
A.2 B. C.3 D.4
4.[2022乐山] 已知菱形的两条对角线，的长分别是和 ，
则菱形的面积为____ .
24
5.[2024上海] 在菱形中， ，则 ____．
[解析] 四边形是菱形， ，
， .
第5题答图
6.[2022邵阳] 已知矩形的一边长为，一条对角线的长为 ，则矩形
的面积为_____ .
03
归类探究
1
矩形的性质
例1 如图，在矩形中，连接对角线，，将沿 方向平移，
使点移到点的位置，得到 .
（1）求证： ；
证明： 四边形 是矩形，
， .
由平移的性质，可得， ，
.
在和中，
.
（2）请探究 的形状，并说明理由.
解： 是等腰三角形.理由如下：
在矩形中， ，
由平移，可得 ，
，
是等腰三角形.
变式跟进
1.[2024陕西] 如图，四边形是矩形，点和点在边
上，且，求证： ．
证明： 四边形 为矩形，
， .
，
，即 ．
在和中，
， ．
2
矩形的判定
例2 经典题 如图，的对角线，相交于点 ，
是等边三角形， .
（1）求证： 是矩形；
证明： 为等边三角形，
， .
四边形 是平行四边形，
， ，
，
是矩形.
（2）求 的长.
解： 是矩形，
.
， ,
.
证明一个四边形是矩形，常用的方法有：（1）有三个角是直角的四边
形；（2）有一个角是直角的平行四边形；（3）对角线相等的平行四边形；
（4）对角线相等且互相平分的四边形.
变式跟进
2.[2024贵港模拟] 阅读与思考.
请阅读下列材料，完成相应的任务．
×年×月×日 星期日
只用卷尺也能判断矩形
今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，如图①,工
人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）
测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角
线是否相等，以确保图形是矩形.我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依
据什么原理得到四边形是矩形？如图②，已知在四边形 中，
，， ．
求证：四边形 是矩形．
证明：……．
______________________________________________________________________________
续表
任务：
（1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理：________________________
_______；
对角线相等的平行四边形是矩形
（2）补全材料中的证明过程；
解：证明：， ，
四边形 是平行四边形.
，
四边形 是矩形．
（3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？
（写出简要的测量方法）
解：工人师傅利用卷尺测量对边长度相等，是为了确保它的形状是平行四
边形；然后再量一下对角线的长度，两条邻边的平方和等于对角线的平方
时，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形为矩形）．
3.[2024防城港模拟] 如图，在中，为边的中点，连接 并延长
交的延长线于点，延长至点，使，连接，， ．
（1）求证： ；
证明： 四边形 是平行四边形，
，
.
又为 的中点，
.
在和中，
.
（2）若，求证：四边形 是矩形．
[答案] ，
.
四边形 是平行四边形，
，
.
又 ，
四边形 是平行四边形.
， ，
,
.
又， ，
，
是矩形．
3
菱形的性质
例3 [2024原创] 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点 ，
且 .
（1）求菱形 的周长；
解： 四边形 是菱形，
.
菱形 的周长为8.
（2）若，求 的长.
解： 四边形是菱形， ，
，，且 .
在中， ，
.
菱形的四条边都相等，有一个角是 的菱形可以被 角所对的对
角线分成两个等边三角形.
变式跟进
4.[2024广安] 如图，在菱形中，， 分别是
，边上的点，，求证： ．
证明： 四边形 是菱形,
， .
， .
在和中，
，
， ．
4
菱形的判定与性质
例4 [2024广西] 如图，两张宽度均为 的纸条交叉叠放在一起，交叉形
成的锐角为 ，则重合部分构成的四边形的周长为_____ ．
变式跟进
5.[2023永州] 如图，已知四边形 是平行四边形，其对角线相交于点
，，， .
（1） 是直角三角形吗？请说明理由.
解： 是直角三角形.理由如下：
四边形是平行四边形， ，
.
，， ，
，
是直角三角形，且 .
（2）求证：四边形 是菱形.
证明：由（1）可知， ，
， 是菱形.
6.[2024南宁模拟] 如图，在中，是对角线上一点，连接 ，
，且 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
变式跟进6答图
证明：如答图，连接交于点 .
四边形 是平行四边形，
.
在和中，
，
.
，
， ，
四边形 是菱形.
（2）若，，求四边形 的面积．
解：在中， ，
设， ，
，
，
， .
四边形 是菱形，
， ，
．
7.[2023随州] 如图，矩形的对角线， 相
交于点，， .
（1）求证：四边形 是菱形；
证明：， ，
四边形 是平行四边形.
矩形的对角线，相交于点 ，
，， ，
， 四边形 是菱形.
（2）若，，求四边形 的面积.
解： 四边形是矩形，， ，
，
，
.
四边形 是菱形，
.
5
矩形的折叠问题
例5 [2023广西] 【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可
以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.
【动手操作】如图①，将矩形纸片 对折，
使与重合，展平纸片，得到折痕 ；折叠纸片，
使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕 ，
点，的对应点分别为， ，展平纸片，连接
，， .请完成：
（1）观察图①中，和 ，试猜想这三个角的大小关系；
解： .
（2）证明（1）中的猜想.
例5答图①
证明：如答图①，设，相交于点 .
由题意，得是的垂直平分线，是 的垂直平
分线， ，
， ，
，为 的外心，
，
.
四边形 是矩形，
，
，
.
【类比操作】如图②，为矩形纸片 的边
上的一点，连接，在上取一点 ，折叠纸片，
使，两点重合，展平纸片，得到折痕 ；折叠纸
片，使点，分别落在，上，得到折痕 ，点
，的对应点分别为，，展平纸片，连接 ，
.请完成：
（3）证明是 的一条三等分线.
例5答图②
证明：如答图②，设与相交于点，连接 ，
，， .
同理（2）得， ，
，
， .
， ，
，
是 的一条三等分线.
折叠的实质是轴对称，折叠前后对应部分重合，即对应角相等，对应
边相等，对应图形全等.
变式跟进
8.[2024内江] 如图，在矩形中，，，点在 上，将
矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 _ _．
9.[2022苏州] 如图，将矩形沿对角线折叠，点 的
对应点为点，与相交于点 .
（1）求证： ；
证明：将矩形沿对角线折叠，则 ，
.
在和 中，
.
（2）若 ，求 的度数.
解： ，
.
四边形 是矩形，
.
.
，
.
见配套《自主选练本》(共35张PPT)
第20课时 多边形与平行四边形
01
考点管理
1
多边形
定义 在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成
的图形叫做多边形.多边形按组成它的线段的条数分成三角
形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一
个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫做 边形.
对角线 连接多边形①________的两个顶点的线段，叫做多边形的对
角线.
不相邻
正多边形 各个角都②______，各条边都③______的多边形叫做正多边
形.
内角和 边形的内角和等于④______________.
外角和 多边形的外角和都等于⑤______.
重要公式 （1）正 边形的每个内角为⑥_ _________；
边形共有⑦_ ______条对角线.
相等
相等
续表
2
重心
定义 平面图形被支撑或悬挂时，在水平面处于平稳状态，此时的支
撑点或者悬挂点叫做平稳点，也叫重心.
常见图形 的重心 （1）线段的重心是线段的中点；
（2）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；
（3）三角形的重心是三角形三边中线的交点；
（4）任意多边形都有一个重心，它的重心的位置由图形的形
状决定，用悬挂法可以寻找任意多边形的重心.
注意 不管几何图形的形状怎样，重心是唯一的.
3
平行四边形
定义 两组对边分别⑧______的四边形叫做平行四边形.
性质 （1）平行四边形的对边⑨____________；
（2）平行四边形的对角⑩______；
（3）平行四边形的对角线 __________；
（4）对称性：是中心对称图形，且对称中心是对角线的交点.
平行
平行且相等
相等
互相平分
判定 （1）两组对边分别 ____________的四边形是平行四边形；
（2）对角线 __________的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别 ______的四边形是平行四边形；
（4）一组对边 ____________的四边形是平行四边形.
平行或相等
互相平分
相等
平行且相等
续表
注意 （1）平行四边形的定义既可以作为性质，又可以作为判定；
（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边
形，有可能是等腰梯形；
（4）如图，四边形 是平行四边形，则有
，
.
___________________________________
续表
4
两平行线间的距离
定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这
两条平行线间的距离.
02
中考再现
1.[2024云南] 一个七边形的内角和等于( )
B
A. B. C. D.
2.[2024贵州] 如图，的对角线与相交于点 ，则下列结论一定
正确的是( )
B
A. B. C. D.
3.[2022河北] 依据图中所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
D
A. B. C. D.
4.[2023邵阳] 如图，在四边形中， ，若添加一
个条件，使四边形 为平行四边形，则下列添加的条件
正确的是( )
D
A. B.
C. D.
5.[2024吉林] 正六边形的一个内角的度数是______．
03
归类探究
1
多边形的内角和与外角和
例1 [2024遂宁] 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和
为 的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设这个正多边形的边数为，由题意，得 ，
解得，则 ，即这个正多边形的每个外角为 ，故选C．
变式跟进
1.[2024重庆] 如果一个多边形的每一个外角都是 ，那么这个多边形的边
数为___．
9
[解析] ， 这个多边形的边数为9.
2.[2024河北] 直线与正六边形的边， 分别
相交于点，，如图所示，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 正六边形每个内角为 ，而六边形
的内角和也为 ，
，
.
，
，故选B．
2
平行四边形的性质
例2 [2024湖北] 在中，，为对角线 上两
点，且，连接，.求证： ．
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
在和中，
，
．
平行四边形的对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平
分、关于对角线的交点成中心对称等性质为我们解决有关问题提供了直接
依据，熟记这些性质对解题尤为重要.
变式跟进
3.[2022梧州] 如图，在中，，，，分别是，，，
上的点，且，.求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
，
，
即 .
在和 中，
，
.
3
平行四边形的判定
例3 [2023广安] 如图，在四边形中，
与相交于点，， ，垂足
分别为点，，且， .
求证：四边形 是平行四边形.
证明： ，
，
.
，
.
, ,
.
在和 中，
，
，
四边形 是平行四边形.
证明一个四边形是平行四边形，有多种证明思路，我们必须注意分析，
通过比较，选择最简便的证明方法.
变式跟进
4.[2024南宁模拟] 如图，在四边形中， ，
，， ，
（1）求证：四边形 是平行四边形；
证明：，， ，
.
，
，且 ，
四边形 是平行四边形.
（2）求的长和四边形 的面积．
解： 四边形 为平行四边形，
.
，且 ，
．
4
平行四边形的开放题与探究题
例4 [2024武汉] 如图，在中，点，分别在边， 上，
．
（1）求证： ；
证明： 四边形 是平行四边形，
，， ．
，
，
．
在和中，
．
（2）连接.请添加一个与线段相关的条件，使四边形 是平行四边形.
（不需要说明理由）
解：添加 （答案不唯一）.理由如下：
，， ．
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形．
变式跟进
5.[2022河池] 如图，点，，，在同一直线上，， ，
.
（1）求证： ；
证明： ，
，
即 .
在和 中，
，
.
（2）连接，，直接判断四边形 的形状.
解：四边形 是平行四边形.
由（1）可知， ，
.
又 ，
四边形 是平行四边形.
见配套《自主选练本》
