(共44张PPT)
第12课时 反比例函数及其应用
01
考点管理
1
反比例函数的相关概念
概念 形如①_ _是常数，的函数叫做反比例函数， 叫做 比例系数，反比例函数中自变量的取值范围是一切非零实数.
图象 _____________________ _____________________
②___0 ③___0
图象特征 图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.
所在象限 第④________象限 （， 同号） 第⑤________象限
（， 异号）
增减性 在每一象限内，随 的增大而 ⑥______. 在每一象限内，随 的增大而
⑦______.
对称性 关于原点成中心对称，关于直线， 成轴对称.
一、三
二、四
减小
增大
续表
注意 （1）反比例函数的图象和性质是由决定的， 的正负决
定图象所在象限及增减性；
（2）反比例函数的图象有两支，涉及增减性时要分象限讨论；
（3）在同一平面直角坐标系中，若正比例函数与反比例函数的
图象有交点，则两个交点关于原点对称.
续表
2
反比例函数解析式中 的几何意义
的几何 意义 在反比例函数的图象上任取一点，过这一点分别作
轴、轴的垂线，，与坐标轴围成的矩形的面积
⑧____.
________________________
基本图 形面积 _______________________________________________________________________________________
续表
3
反比例函数解析式的确定
待定系数法 （1）设所求反比例函数解析式为 ；
（2）找出反比例函数图象上的一点 并将其代入解析
式，得 ；
（3）确定反比例函数解析式为 .
利用 的几何 意义 题中已知面积时，考虑利用的几何意义，由面积得 ，再
结合图象所在象限判断的正负，从而得出 的值，代入解
析式即可.
02
中考再现
1.[2024重庆B卷] 反比例函数 的图象一定经过的点是( )
B
A. B. C. D.
2.[2022河池] 如图，点在双曲线 的图象
上，轴，垂足为.若 ，则该反比例
函数的解析式为_ _______.
3.[2024山西] 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其
最快移动速度是载重后总质量 的反比例函数.已知一款机器狗
载重后总质量时，它的最快移动速度 ；当其载重后总质
量时，它的最快移动速度___ .
4
4.[2022百色] 如图，已知点是反比例函数 的图象与直线
的一个交点.
（1）求， 的值；
解：把代入 ，
得， .
把代入，得 ，
.
（2）在第一象限内，当时，请直接写出 的取值范围.
解：由图象可知，在第一象限内，当时，的取值范围是 .
03
归类探究
1
反比例函数的概念
例1 [2024重庆A卷] 已知点在反比例函数 的图象上，则
的值为( )
C
A. B.3 C. D.6
变式跟进
1.[2023河北] 如图，已知点， ，反比例函
数 图象的一支与线段 有交点，写出一个符合
条件的 的整数值：_________________.
（答案不唯一）
2
反比例函数的图象与性质
例2 [2024广西] 已知点，在反比例函数 的图象上，
若 ，则有( )
A
A. B.
C. D.
变式跟进
2.[2024天津] 若点，，都在反比例函数 的图
象上，则，， 的大小关系是( )
B
A. B.
C. D.
3.[2024威海] 如图，在平面直角坐标系中，直线
与双曲线 交于点
，，则满足的 的取值范围为
__________________.
或
3
反比例函数中 的几何意义
例3 [2023广西] 如图，过反比例函数
的图象上点分别作轴、轴的平行线交 的
图象于，两点，以，为邻边的矩形 被
坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为， ，
，，若，则 的值为( )
C
A.4 B.3 C.2 D.1
变式跟进
4.如图，在平面直角坐标系中，过 轴正半轴上的
任意一点，作 轴的平行线，分别与反比例函数
和的图象交于点，.若是 轴上任
意一点，连接，，则 的面积为( )
B
A.6 B.7 C.8 D.14
5.[2024齐齐哈尔] 如图，反比例函数的图象经过 的顶
点，在轴上，若点，，则实数 的值为____.
4
反比例函数与一次函数的综合运用
例4 [2022柳州] 如图，在平面直角坐标系中，一次
函数 与反比例函数
的图象相交于， 两
点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
解： 反比例函数与一次函数图象交于， 两点，
， ，
反比例函数的解析式为 .
，
点的坐标为 ，
解得
一次函数的解析式为 .
（2）若点在轴上，位于原点右侧，且，求 的面积.
解：， .
， ，
.
变式跟进
6.[2024盐城] 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并
把矩形直尺放在上面，如图.
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数的解析式；
解：根据图象信息，知点的坐标为 .
设反比例函数的解析式为 ，
反比例函数的图象过点 ，
，
反比例函数的解析式为 .
（2）点 的坐标.
解：易得直线的解析式为 .
由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线， 直线 的解析
式为 ，
联立方程组
解得或 （舍去）,
.
7.[2024自贡] 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函
数的图象交于， 两点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
解：把代入，得 ，
，
反比例函数的解析式为 .
把代入，得 ，
，
把，代入 ，得
解得
一次函数的解析式为 .
（2）是直线上的一个动点，的面积为21，求点 的坐标；
第7题答图①
解：设直线交直线于点 ，如答图①.
在中，令，得 ，
，
的面积为21，
，即 ，
.
,
点的坐标为或 .
（3）点在反比例函数位于第四象限的图象上， 的面积为21，
请直接写出点 的坐标.
第7题答图②
解：过点作轴交直线于点 ，如答图②.
设 ，
在中，令，得 ，
， .
的面积为21，
，
即 ，
或 ，
解得或或 ，
经检验，， 符合题意，
点的坐标为或 .
5
反比例函数在实际生活中的应用
例5 真实情境题 电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便.某综
合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽
略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量 之间的函数关系式
为（其中，为常数， ），其图象如图①所示.如
图②的电路中，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，接通开关，
人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量 .
①
②
温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流 ，满
足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于
总电压.
（1）求， 的值；
解：将，代入 ，
得解得
（2）求关于 的函数解析式；
解：由题意，得可变电阻两端的电压电源电压 电表电压，即可变电阻电
压为 .
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，化简，得 .
，
.
（3）用含的代数式表示 ；
解：将代入 ，得
，
化简，得 .
（4）若电压表的量程为 ，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称
的最大质量.
解：，，且 ，
随 的增大而增大，
当取最大值6时， .
该电子体重秤可称的最大质量为 .
变式跟进
①
8.[2023达州] 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用
一固定电压为 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改
变电流的大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值 ）
亮度的实验（如图①）.已知串联电路中，电流 与电阻
，之间的关系为 ，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
（1）___， ____；
2
1.5
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数 ，结合表格信息，
探究函数 的图象与性质.
①在如图②所示的平面直角坐标系中画出对应函数 的图象；
②
解：根据表格数据描点、连线，在平面直角坐标系中画出对应函数
的图象如答图.
变式跟进9答图
②随着自变量的不断增大，函数值 的变化趋势是__________.
不断减小
（3）【拓展】结合（2）中的函数图象分析，当时，
的解集为_____________.
或
见配套《自主选练本》(共22张PPT)
微专题（一） 反比例函数中的
面积问题
1
“一点一垂线”型
数学模型 如图①～④，过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线，该
点、垂足与另一坐标轴上一点（含原点）构成的三角形的面积等于 .
模型运用
1.如图，是反比例函数图象上的一点，过点 作
轴，垂足为，为的中点，若 的面积为1，
则 的值为( )
D
A. B. C.3 D.4
2.如图，点在反比例函数的图象上，过点 作
轴，垂足为，点在轴上，则 的面积为
( )
C
A.3 B.2 C. D.1
3.[2023烟台] 如图，在平面直角坐标系中， 与
轴相切于点，为的直径，点 在反比例函
数的图象上，为 轴上一点，
的面积为6，则 的值为____.
24
2
“一点两垂线”型
数学模型 如图①，②，过反比例函数的图象上一点作两条坐标轴的垂
线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积等于 .
模型运用
4.如图，反比例函数的图象经过 ，
两点，过点作轴于点，过点 作
轴于点，过点作轴于点 ，连接
.已知，， ，则
__.
5.[2023枣庄] 如图，在反比例函数的图象上有，， ，
， 等点，它们的横坐标依次为1，2，3， ， ，分别过这些
点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，
，， ，，则 _____.
3
“原点一垂线”型
数学模型 如图①，②，过正比例函数与反比例函数的一个交点作坐标
轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形的面积等于 .
模型运用
6.如图，正比例函数与反比例函数 的图象相交
于，两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接 ，
则 的面积等于( )
C
A.8 B.6 C.4 D.2
7.如图，直线经过原点，且与反比例函数
相交于点，，过点作轴，垂足为，连接 .若
的面积为8，则 ___.
4
“两点两垂线”型
数学模型 如图①，②，过反比例函
数与正比例函数的交点作两条坐标轴的垂
线，正比例函数与两条垂线围成的图形面
积等于 .
模型运用
8.如图，反比例函数的图象与直线 的
交点为，，过点作轴的平行线与过点作 轴的平行线
相交于点，则 的面积为( )
A
A.8 B.6 C.4 D.2
9.如图，，分别是正比例函数 与反比例函数
的图象的交点，过点作轴于点，过点
作轴于点，则四边形 的面积为___.
5
“两点一平行”型
数学模型 如图①～③，两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，
求该两点与原点或坐标轴围成的图形的面积，结合 的几何意义求解.
模型运用
第10题图
10.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，
的顶点在反比例函数的图象上，顶点 在反
比例函数的图象上，点在 轴的正半轴上，
则 的面积为( )
C
A. B. C.4 D.6
第11题图
11.[2024深圳] 如图，在平面直角坐标系中，四边形 为
菱形，，且点落在反比例函数 的图象上，
点落在反比例函数的图象上，则 ___.
8
6
“两点和原点”面积问题
数学模型 反比例函数与一次函数的交点和原点或坐标轴上的点所构成
的三角形的面积，若两交点在同一支上，用减法（如图①）；若两交点分
别在两支上，用加法（如图②～ ）.
模型运用
12.[2023南充] 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点
，，与轴交于点，与轴交于点 .
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
解：设反比例函数和一次函数的解析式分别为 ，
，
点 在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为 .
点在反比例函数 的图象上，
， .
.
点，在一次函数 的图象上，
解得
一次函数的解析式为 .
（2）点在轴上，若，求点 的坐标.
解：设点，由（1），得直线交轴于点 ，
，
， .
又 ，
， ，
点的坐标为或 .
13.[2024遂宁] 如图，一次函数 与反比例函数
的图象相交于， 两点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
解：将点代入反比例函数的解析式，得 ，
反比例函数的解析式为 .
将点代入反比例函数的解析式，得 ，
点的坐标为 .
将， 代入一次函数的解析式，
得解得
一次函数的解析式为 .
（2）根据图象，直接写出时， 的取值范围；
解：由函数图象可知，
当，的取值范围是或 .
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连接，求 的面积.
第13题答图
解：如答图，连接，令直线与轴的交点为 .
将代入，得 ，
点的坐标为 ，
正比例函数与反比例函数的图象都是中心对称图形，
且坐标原点是对称中心，
点和点关于点 成中心对称，
，所以 .(共51张PPT)
第9课时 平面直角坐标系与函数
01
考点管理
1
平面直角坐标系内点的坐标特征
各象限点的坐标特征 __________________________________________
坐标轴上点的坐标特征 （1）点在轴上 ③___；
（2）点在轴上 ④___ ；
（3）点与原点重合 ⑤___.
0
0
各象限角平分线上点的 坐标特征 （1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐
标⑥______；
（2）第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐
标互为⑦________.
平行于坐标轴的直线上 的点 （1）平行于 轴的直线上点的纵坐标相等；
（2）平行于 轴的直线上点的横坐标相等.
相等
相反数
续表
点的对称 ；
（2） ⑧________；
（3） ⑨_________.
续表
点的平移 ⑩__________；
__________；
__________；
____________.
口诀：左减右加，上加下减.
续表
2
平面直角坐标系中的距离
点到坐标轴及原点 的距离 （1）点到 轴的距离是 ____；
（2）点到 轴的距离是 ____；
（3）点 到原点的距离是 _________.
平行于坐标轴的直 线上的两点距离 对于平面内任意两点， .
（1）若轴，则， ；
（2）若轴，则， .
3
用坐标表示地理位置
确定位置的方法 （1）平面直角坐标系；
（2）经度 纬度；
（3）方向角 距离.
4
函数的有关概念
定义 在某个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于 的每
一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么我们称
为自变量，是 的函数.
自变量的取 值范围 （1）整式函数的自变量的取值范围是 __________；
（2）分式函数的自变量的取值范围是 _________________
___；
（3）二次根式函数的自变量的取值范围是 _____________
_____________.
全体实数
使分母不为0的实数
使被开方数为非负数的实数
函数的表示 方法 ________； __________； ________.
函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为
点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形
就是这个函数的图象.
画函数图象 的一般步骤 ______； ______； ______.
列表法
解析式法
图象法
列表
描点
连线
续表
02
中考再现
1.[2024成都] 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是
( )
B
A. B. C. D.
2.[2024广元] 如果单项式与单项式 的和仍是一个单项式，
那么在平面直角坐标系中点 在( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.[2024广西模拟] 中国阳明文化园部分平面图如图所
示，若用表示王阳明纪念馆的位置，用 表
示游客接待中心的位置，则南门的位置可表示为
( )
A
A. B. C. D.
4.[2024江西] 在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位长度，再
向上平移3个单位长度得到点，则点 的坐标为______.
5.[2023凉山州] 如图，的顶点，，的坐标分别是， ，
，则顶点 的坐标是______.
03
归类探究
1
平面直角坐标系内点的坐标特征
例1 [2024滨州] 若点在第二象限，则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
解决此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式
（组）或方程（组），把点的问题转化为不等式（组）或方程（组）来解决.
变式跟进
1.[2022广安] 若点在第四象限，则点 在第____象限.
二
2
用坐标确定位置
例2 [2024广西] 如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标
原点，点的坐标为，则点 的坐标为( )
C
A. B. C. D.
变式跟进
2.[2024贵州] 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”
社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐
标系，使“创”“新”的坐标分别为， ，则“技”所在的象限为( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3
平面直角坐标系中的平移、旋转与对称
例3 [2024原创] 已知点，则点关于 轴对称的点的坐标是__________；
点关于轴对称的点的坐标是______；点 关于原点对称的点的坐标是
________.
变式跟进
3.[2023怀化] 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点 的坐标
是( )
D
A. B. C. D.
4.[2024湖北] 在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，
将线段绕点顺时针旋转 ，则点的对应点 的坐标
是( )
B
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将点 向右平移3个单位长度，再向下平移2
个单位长度，那么平移后对应的点 的坐标是______.
（1）求一个图形平移、旋转、对称变换后的图形对应点的坐标，一般
要把握三点：一是图形变换的性质；二是图形的全等关系；三是点所在的
象限.
（2）平移中，点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，
下移减.
4
平面直角坐标系中点的规律探究
例4 [2023日照] 数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王
子”.据传，他在计算 时，用到了一种方法，将首尾
两个数相加，进而得到 .人们借助于这
样的方法，得到（ 是正整数）.有下列问题，
如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中 ，2，3，
， ， ，且，是整数，记.如，即 ；
，即；，即； ，以此类推，则下列结论正
确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 第1圈有1个点，即，这时 ；
第2圈有8个点，即到，这时 ；
第3圈有16个点，即到，这时 ；
……
依次类推，可知第圈的最后一个点为 .
由规律可知：是在第23圈上，且，则 ，即
，故A选项不正确；
是在第23圈上，且，即 ，故B选项正确；
， ，故C，D选项不正确.故选B.
变式跟进
6.[2024绥化] 如图，已知
，， ，
，， ，
，， ，依此
规律，则点 的坐标为_______________.
5
函数的概念及函数的图象
例5 [2024原创] 小王开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油
耽误了几分钟，为了按时到达单位，小王在不违反交通规则的前提下加快
了速度，仍保持匀速行驶，则整个行程中汽车行驶的路程 与行驶的时
间 的函数关系的大致图象是( )
B
A. B. C. D.
（1）观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义，然后分析图象
的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断.注意：当自变量在不同取值范
围，所对应的函数并非同一个一次函数时，其图象为折线.
（2）正确理解函数图象表示的意义.在如
图①表示的速度与时间 的函数图象中，Ⅰ代
表物体从速度为0开始加速运动，Ⅱ代表物体
匀速运动，Ⅲ代表物体减速运动直至停止；在如图②表示的路程与时间 的
函数图象中，Ⅰ代表物体匀速运动，Ⅱ代表物体静止，Ⅲ代表物体反向匀速
运动直至回到原地.
变式跟进
7.[2023自贡] 如图①，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直
线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，
最后散步回家.小亮离家的距离与时间 之间的
关系的图象如图②所示,则下列结论错误的是( )
D
A.小亮从家到羽毛球馆用了
B.小亮从羽毛球馆到报亭平均速度为
C.报亭到小亮家的距离是
D.小亮打羽毛球的时间是
8.[2024柳州模拟] 小明晚饭后出门散步，从家点 出发，最后回到家里，行
走的路线如图中箭头所示，则小明离家的距离与散步时间 之间的函数关
系可能是( )
C
A. B. C. D.
6
项目化学习
例6 [2024广西] 综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的
节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，
直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ，每次拧干后校服上都残
留 水.
浓度关系式：，其中， 分别为单次漂洗前、后校服上残留
洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位： ）.
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 .
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要多
少清水？
解：把，，代入 ，
得 ，
解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要 清水.
（2）如果把 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
解：第一次漂洗：把, 代入，得 ，
，
第二次漂洗：把, 代入，得 ，
，
而 ，
进行两次漂洗，能达到洗衣目标.
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.
解：由 的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅
度节约用水，
从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习.
变式跟进
9.[2023广西] 【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天
地良心.”某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方
案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务.
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤
平衡，根据杠杆原理推导得：
，其中秤盘质量为 ，
重物质量为，秤砣质量为 ，秤纽与秤盘的水
平距离为，秤纽与零刻线的水平距离为 ，秤砣与零刻线的水平距
离为 .
【方案设计】目标：设计简易杆秤.设定， ，最大可称重
物质量为，零刻线与末刻线的距离定为 .
任务一：确定和 的值.
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于， 的方程；
解：由题意，得， ，
， ，
，
.
（2）当秤盘放入质量为 的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤
平衡，请列出关于， 的方程；
解：由题意，得， ，
，
.
（3）根据（1）和（2）所列的方程，求出和 的值.
解：由（1）（2）可得
解得
任务二：确定刻线的位置.
（4）根据任务一，求关于 的函数解析式；
解：由（3）可知， ，
，
.
（5）从零刻线开始，每隔 在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间
的距离.
解：由（4）可知 ，
当时，则有；当时，则有；当 时，则
有；当时，则有；当时，则有 ；当
时，则有；当时，则有；当 时，则
有；当时，则有；当时，则有 ；当
时，则有 .
相邻刻线间的距离为 .
10.[2023台州] 【问题背景】“刻漏”是我国古代的一
种利用水流计时的工具.如图，综合实践小组准备用
甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀
（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置.
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此
时水面高度为，开始放水后每隔 观察一次甲容器中的水面高度，
获得的数据如下表：
流水时间 0 10 20 30 40
水面高度 （观察值） 30 29 28.1 27 25.8
（1）任务一：分别计算表中每隔 水面高度观察值的变化量.
解： ；
；
；
，
每隔水面高度观察值的变化量为，， ，
.
【建立模型】小组讨论发现：“， ”是初始状态下的准确数据，
水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度 与流水
时间 之间的关系.
（2）任务二：利用时，；时， 这两组数据求水面
高度与流水时间 的函数解析式.
解：设水面高度与流水时间的函数解析式为 ，
将，；， 代入，
得解得
水面高度与流水时间的函数解析式为 .
【反思优化】经检验，发现表中有两组观察值不满足任务二中求出的函数
解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差.通过查阅资料后
知道： 为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值
与对应的观察值之差的平方和，记为； 越小，偏差越小.
（3）任务三：
①计算任务二得到的函数解析式的 值；
[答案] .
②请确定经过的一次函数解析式，使得 的值最小；
[答案] 设 ，
，
当时， 取得最小值为0.038.
所求一次函数解析式为 .
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁
设计刻度，通过刻度直接读取时间.
（4）任务四：请你简要写出时间刻度的设计方案.
解：将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔 标记一个刻度，这
样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了 .
见配套《自主选练本》(共57张PPT)
第13课时 二次函数的图象与性质
01
考点管理
1
二次函数的相关概念
解析式 ，，为常数，
图象 _________________________________ _________________________________
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线
顶点坐标
续表
增减性 当时，随 的增大而 减小；当时，随 的 增大而增大. 当时，随 的增大而增
大；当时，随 的增大
而减小.
最值 当时， 有最小值 . 当时， 有最大值
.
续表
2
二次函数解析式的三种形式
一般式 .
顶点式 .
两根式 ①_________________ .
3
二次函数的系数，， 与图象的关系
决定抛物线的开口方向 开口向②____
开口向③____
， 决定抛物线的对称 轴位置 对称轴为④___轴
， 同号 对称轴在 轴⑤____侧
， 异号 对称轴在 轴⑥____侧
上
下
左
右
决定抛物线与 轴交点 的位置 抛物线过原点
抛物线与 轴交于⑦____半轴
抛物线与 轴交于⑧____半轴
决定抛物线与 轴交点的个数 与 轴有唯一交点（顶点）
与 轴有⑨______交点
与 轴没有交点
正
负
两个
续表
4
二次函数图象的平移
平移前解析式 平移方式 平移后解析式 简记
向左平移 个单位长度 ____________________________________________ 左加右
减
向右平移 个单位长度 _____________________________________________
向上平移 个单位长度 ____________________________________________ 上加下
减
向下平移 个单位长度 _____________________________________________
5
二次函数与一元二次方程的关系
关系 二次函数的图象与 轴的交点的横坐标是相应一元二次方程的解.
抛物线与轴有两个交点 方程
有两个不相等的实数根；
抛物线与轴有一个交点 方程
有两个相等的实数根；
抛物线与轴没有交点 方程 无
实数根.
02
中考再现
1.[2023沈阳] 二次函数 图象的顶点所在的象限是( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.[2023兰州] 已知二次函数 ，则下列说法正确的是 ( )
C
A.对称轴为直线 B.顶点坐标为
C.函数的最大值是 D.函数的最小值是
3.[2023贵州] 已知二次函数 的图象如
图所示，则点 所在的象限是( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.[2023徐州] 在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象先
向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数
解析式为( )
B
A. B.
C. D.
5.[2023上海] 已知二次函数图象的顶点在 轴正半轴上，
且其对称轴左侧的部分是上升的，则这个二次函数的解析式可以是
______________________________（写出一个即可）.
（答案不唯一）
03
归类探究
1
二次函数的图象与性质
例1 [2024原创] 已知二次函数 .
（1）用配方法求该函数图象的顶点 的坐标，并描述该函数的函数值随自
变量的增减情况；
解：
，
该函数图象的顶点的坐标为 .
当时，随 的增大而减小；
当时，随 的增大而增大.
（2）求该函数的图象与轴的交点，的坐标及 的面积.
解：令，得 ，
解得， .
当点在点的左侧时，， ；
当点在点的右侧时，， .
.
过点作轴于点 （图略）.
.
（1）从函数的解析式可知二次函数图象的如下特征：①开口方向；②
对称轴；③顶点坐标；④与轴的交点坐标；⑤与 轴的交点坐标.
（2）求二次函数图象的顶点坐标的两种常用方法：①配方法；②顶点
公式法.
变式跟进
1.[2023安徽] 已知反比例函数 在第一象限内
的图象与一次函数 的图象如图所示，则函数
的图象可能为( )
A
A. B. C. D.
2.经典题 已知二次函数 .
（1）函数图象的开口方向是______，对称轴是直线________，顶点坐标为
_______；
（2）当______时，随 的增大而减小；
（3）当____时， 取得最____值（填“大”或“小”），其最值为___.
向下
大
1
3.[2024苏州] 二次函数的图象过点 ，
，，，其中，为常数，则 的值为____.
2
二次函数图象的平移变换
例2 [2023广西] 将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个
单位长度，得到的抛物线的函数解析式是( )
A
A. B.
C. D.
变式跟进
4.[2022玉林] 小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点
有4种方法：
①向右平移2个单位长度；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；
③向下平移4个单位长度；
④沿 轴翻折，再向上平移4个单位长度.
你认为小嘉说的方法中正确的有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.[2024原创] 将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向下平
移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为，则 ___，
___.
2
0
（1）二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此，先将二
次函数的解析式转化为顶点式，确定其顶点坐标，然后求出平移后的顶点
坐标，从而求出平移后二次函数的解析式.
（2）图象的平移规律：上加下减，左加右减.
3
二次函数的解析式的求法
例3 经典题 求出符合条件的二次函数解析式：
（1）二次函数的图象经过点，， ；
解：设二次函数的解析式为 ，
由题意，得解得
二次函数的解析式为 .
（2）二次函数图象的顶点坐标为，且经过点 ；
解：设二次函数的解析式为 ，
把点代入，得 ，
解得 ，
二次函数的解析式为 .
（3）二次函数的图象与轴的交点坐标为，，与 轴交点的纵坐
标为9.
解：设二次函数的解析式为 ，
把点代入，得 ，
解得 .
二次函数的解析式为 .
（1）当已知抛物线上三点的坐标求二次函数的解析式时，一般采用一
般式 .
（2）当已知抛物线的顶点坐标（或对称轴或最大值、最小值）求二次
函数的解析式时，一般采用顶点式 .
（3）当已知抛物线与 轴的两个交点坐标求二次函数的解析式时，一
般采用两根式 .
变式跟进
6.[2024扬州] 如图，已知二次函数 的图象与
轴交于， 两点.
（1）求, 的值；
解：把，代入 ，
得解得
（2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点 的坐标.
解：由（1）知，二次函数的解析式为 .
设点的坐标为 ，
的面积为6， ，
，
，
即或 ，
解得或 ，
或 .
4
二次函数与方程的关系
例4 经典题 已知二次函数
（1）将二次函数的解析式化成顶点式为_________________；
（2）当时，函数值 的取值范围是____________；
（3）方程 的解为_______________.
，
变式跟进
7.[2022绍兴] 已知抛物线的对称轴为直线，则关于 的方
程 的根是( )
D
A.0，4 B.1，5 C.1， D. ，5
8.二次函数的图象与 轴的两个交点的横坐标
分别为和，且 ，则下列结论正确的是( )
C
A. B.
C. D.
9.[2024宁夏] 若二次函数的图象与轴有交点，则 的取值
范围是_ ______.
10.[2023巴中] 规定：如果两个函数的图象关于 轴对称，那么称这两个函
数互为“函数”.例如：函数与互为“ 函数”.若函数
的图象与轴只有一个交点，则它的“ 函数”图
象与 轴的交点坐标为____________.
或
5
自变量范围内二次函数的最值问题
例5 经典题 已知二次函数，关于该函数在 的取
值范围内，下列说法正确的是( )
D
A.有最大值，有最小值 B.有最大值0，有最小值
C.有最大值7，有最小值 D.有最大值7，有最小值
变式跟进
11.[2022贺州] 已知二次函数在时， 取得的最大
值为15，则 的值为( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
12.[2024乐山] 已知二次函数，当 时，
函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
6
二次函数的图象与系数，， 之间的关系
例6 [2024遂宁] 如图，已知抛物线
，，为常数，且 的对称轴
为直线，且该抛物线与轴交于点，与
轴的交点在， 之间（不含端点），则
有下列结论：； ；
；④若方程 两根为
B
A.1 B.2 C.3 D.4
，，则 .其中正确的个数为 ( )
变式跟进
13.[2024钦州模拟] 如图，二次函数
,,常数，的图象与轴交于点， .有下列结论：；②若点和 均
在抛物线上，则； ；
.其中正确的有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7
二次函数性质的综合题
例7 阅读下面材料：
设，函数图象与轴有两个不相同的交点，，若， 两点均在原点
左侧，探究系数，， 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与轴有两个不相同的交点，所以 ；
①
②
②因为，两点均在原点左侧，所以 对应图象
上的点在轴上方，即 ；
③
③上述两个条件还不能确保， 两点均在原点左侧，我们可以
通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置，即需
.
综上所述，系数，， 应满足的条件可归纳为
请根据上面的阅读材料，类比解决下面的问题：
若函数的图象在直线的右侧与 轴有且
只有一个交点，求 的取值范围.
例7答图
解：由题意，得 的图象如答
图所示.
抛物线经过点 ，
如答图①，
即
的值不存在；
如答图②，
即
的取值范围是 ；
如答图③，
即
的值不存在；
如答图④，
即
的值为 ；
如答图⑤，当时，函数解析式为，函数与 轴的交点为
，
成立.
综上所述，的取值范围为或 .
变式跟进
14.[2024钦州模拟] 已知抛物线 的对称轴为直线
.
（1）当 时，
①写出与 满足的等量关系；
解：由题意，得 ，
.
②当函数的图象经过点，，时，求 的最小值；
解： 函数的图象经过点 ，
.
,
，
抛物线为 .
点，在抛物线 上，
， ，
.
，
的最小值为6.
（2）已知点，，在该抛物线上，若对于 ，
都有,直接写出 的取值范围.
[答案] 由题意可知，点在对称轴的左侧，点， 在对
称轴的右侧，
，都有 ,
点到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
解得 ，
的取值范围是 .
15.[2023嘉兴、舟山] 已知二次函数 .
（1）若该二次函数的图象过点，求 的值；
解：将点代入 ，
得，解得 .
（2）若时，的最小值为，求 的值；
解： 抛物线的对称轴为直线 .
若，当 时，函数取最小值，
，解得 .
， ；
若，当 时，函数取最小值，
，
解得 （不合题意，舍去）.
综上所述，的值为 .
（3）若点，， 都在这个二次函数的图象上，且
，求 的取值范围.
解：， 关于对称轴对称，
， .
，，解得 .
，
点在对称轴左侧，点 在对称轴右侧.
抛物线与轴的交点为 ，抛物线的对称轴为直线
，
关于对称轴的对称点为 .
，
，解得 .
当点， 都在对称轴左侧时，
，，解得 ，
此时满足的条件为 ；
当点， 分别在对称轴两侧时，
，
点到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
，
解得 ，
此时满足的条件是 .
综上所述，的取值范围是或 .
8
二次函数与几何图形的综合
例8 [2022桂林] 如图，抛物线与
轴交于，两点（点位于点的左侧），与 轴交于
点，抛物线的对称轴与轴交于点 ，长为1的线段
（点位于点的上方）在 轴上方的抛物线的对称
轴上运动.
（1）直接写出，， 三点的坐标；
解：，， .
（2）求 的最小值；
例8答图
解：将点向下平移至点，使 ，连接
交抛物线的对称轴于点 ，如答图.
， ，
四边形 是平行四边形，
，
.
点，，共线， 此时的值最小，最小值为 的值.
，， .
，
，
.
的最小值为6.
（3）过点作轴于点，当与相似时，求点 的坐标.
解：抛物线的对称轴为直线 ，
设，则，， ，
， ，
，，， .
，
与相似，只需 或 .
①当时， ，
解得 或 ，
或 ；
②当时， ，
解得 或 （舍去），
， .
综上所述，点的坐标是或或， .
（1）二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴
对称性，是利用二次函数的性质解决问题的关键.
（2）已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方
程组求解.
（3）已知二次函数图象上的点（除顶点外）和对称轴，便能确定与此
点关于对称轴对称的另一点的坐标.
见配套《自主选练本》(共33张PPT)
第14课时 二次函数的应用
01
考点管理
解题的步骤及关键点
步骤 关键点
分析问题 明确题中的常量与变量及它们之间的关系，确定自变
量与因变量.
建立模型 根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系.
求函数解析式 变量间的数量关系表示.
解决问题 熟练运用解析式的三种形式，注意 的正负及自变量
的取值范围.
02
中考再现
1.[2024天津] 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 与小球的运动
时间之间的关系式是 .有下列结论：①小球从
抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球运动 时的
高度小于运动 时的高度.其中，正确结论的个数是( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
2.[2022广安] 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽 ，则
水面下降___时，水面宽 .
03
归类探究
1
利用二次函数解决抛物线形问题
例1 真实情境题 [2024广西] 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点 处）
的高度是 ，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平
距离是，高度是.若实心球落地点为，则___ .
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立
平面直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条
件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问
题的答案.
变式跟进
1.[2023滨州] 某广场要建一个圆形喷水池，计划在水池中心位置竖直安装
一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平
距离为处达到最高，最高高度为 ，水柱落地处离水池中心的水平距
离也为，那么水管的设计高度应为__ .
2.[2024陕西] 一条河上横跨着一座宏伟壮
观的悬索桥.桥梁的缆索与缆索 均呈抛
物线形，桥塔与桥塔 均垂直于桥面，
如图所示，以点为原点，以直线为轴，以桥塔所在直线为 轴，建
立平面直角坐标系.
已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔 与桥塔
之间的距离，，缆索的最低点到 的
距离 （桥塔的粗细忽略不计）.
（1）求缆索 所在抛物线的函数解析式；
解：由题意，知， .
又，缆索的最低点到的距离 ，
抛物线的顶点的坐标为 .
故可设抛物线的函数解析式为 .
又将点代入，得 ,
.
缆索所在抛物线的函数解析式为 .
（2）点在缆索上，，且，，求 的长.
解： 缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于 轴对称，
又缆索所在抛物线的函数解析式为 ，
缆索所在抛物线的函数解析式为 .
令，则 .
解得或 .
又， .
的长为 .
2
利用二次函数解决商品销售问题
例2 [2022广西] 打油茶是广西少数民族特有的一
种民俗.某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒
的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的
月销售量（盒）与销售单价 （元）之间的函数
图象如图所示.
（1）求关于的函数解析式，并写出自变量 的取值范围.
解：由图象可知，关于是一次函数， 设函数的解析式为 ，
由题意，得
解得
.
当时， ，
解得 .
关于的函数解析式为 .
（2）当销售单价定为每盒多少元时，该种油茶的月销售利润最大？并求出
最大利润.
解：设月销售利润为 元，
由题意，得
，
抛物线开口向下， ，
当时，有最大值， .
答：当 销售单价定为每盒75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润
是3 125元.
此题是二次函数在销售问题方面的应用.利用二次函数解决销售问题是
我们生活中经常遇到的问题，解决这类问题一般是先求出两个变量的一次
函数关系，再求二次函数关系，然后转化为求二次函数的最值.
变式跟进
3.[2024滨州] 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本
为2 000元，该影院每天售出的电影票数量（张）与售价 （元/张）之间
满足一次函数关系（，且 是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价 （元/张） 40 50
售出电影票数量 张 164 124
（1）请求出与 之间的函数解析式；
解：设与之间的函数解析式是 ，
由表格可得，解得
与之间的函数解析式是（，且 是整数）.
（2）设该影院每天的利润（利润票房收入-运营成本）为（元），求
与 之间的函数解析式；
解：由题意，得 ，
与之间的函数解析式是（，且
是整数）.
（3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
解：由（2）知， ，
，且 是整数，
当或41时， 取得最大值，
此时 ，
答：该影院将电影票售价定为40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利
润是4 560元.
4.[2024烟台] 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助
残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根
据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，
每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利
润不低于180元.设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为 元.
（1）求与 的函数关系式；当每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最
大？最大利润为多少元？
解： .
,且， .
,
当 时，每天的销售利润最大，最大利润为
（元）.
与的函数关系式为 ；当每辆轮椅降价20元
时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元.
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多
少辆轮椅？
解：由题意，得 ,
解得（不合题意，舍去）， .
这天售出轮椅 （辆）.
答：这天售出64辆轮椅.
3
二次函数在几何中的应用
例3 [2024湖北] 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，
另外三边用篱笆围成.已知墙长，篱笆长 .设垂
直于墙的边长为，平行于墙的边为 ，围成
的矩形花圃的面积为 .
（1）求与，与 的关系式.
解：由题意，得 ，
.
由题意，得 ，
.
（2）围成的矩形花圃的面积能否为 若能，求出 的值.
解：令 ，
或 .
由，且 ，
.
.
答：能，此时 的值为25.
（3）围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，
并求出此时 的值.
解： ，
，且 ，
当时， 取最大值为800.
答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时 的值为20.
二次函数在几何中的实际应用是数形结合思想的应用，融代数与几何
为一体，把代数问题与几何问题相互转化，充分运用几何知识求解析式是
解题的关键.二次函数与矩形、三角形、圆等几何图形结合时，往往涉及最
大面积、最小距离等问题，需要建立函数关系式及运用函数的性质解答.
变式跟进
5.[2023潍坊] 工匠师傅准备从六边形的铁皮 中，
裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经测量，
，与之间的距离为， ，
， ，
.，，是工匠师傅画出的裁剪虚线.当 的长度
为多少时，矩形铁皮 的面积最大，最大面积是多少？
解：如答图，连接，交于点，交于点 .
变式跟进5答图
， ，
，
，
四边形 是矩形.
四边形 是矩形，
， ，
， .
，
，
， .
设 ，
，
同理可得, ，
，
，
，, ,
当，即时，钜形铁皮 的面积最大，最大面积是
.
见配套《自主选练本》(共49张PPT)
第11课时 一次函数的应用
01
考点管理
1
用一次函数模型解决实际问题
方法 从给定的信息中抽象出一次函数关系，再利用一次函数的图象和性
质求解，要求出自变量的取值范围.
常见 类型 （1）求一次函数的解析式；
（2）利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如最大（小）值问
题等.
注意 一次函数的自变量 的取值范围是全体实数，图象
是一条直线，所以没有最大值与最小值，但由实际问题得到的一次
函数的解析式中，自变量的取值范围一般受到限制，则图象为线段
或射线，根据一次函数的性质，则可能存在最大值或最小值.
2
一次方程与一次函数的关系
从“数”看 当一次函数的值为0时，相应的自变量的值即为相应的一次
方程的解.
从“形”看 一次函数的图象与 轴的交点的横坐标即是相应的一次方
程的解.
02
中考再现
1.[2024广西] 激光测距仪发出的激光束以 的速度射向目标
，后测距仪收到反射回的激光束，则到的距离与时间
的关系式为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 激光由到的时间为，光速为，则到 的距离
.故选A.
2.[2024山西] 生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 是尾
长的一次函数，部分数据如下表所示，则与 之间的关系式为( )
尾长/ 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A
A. B. C. D.
[解析] 蛇的长度是其尾长的一次函数，设 ，把
，；，代入，得 解得
与之间的关系式为 故选A.
3.[2023随州] 甲、乙两车沿同一路线从城出发前往 城，在整个行程中，
汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示.有下列结论：， 两
城相距；②甲车的平均速度是 ，乙车的平均速度是
；③乙车先出发，先到达 城；④甲车在9：30追上乙车.其中结论
正确的是( )
D
A.①② B.①③ C.②④ D.①④
03
归类探究
1
“一条直线”类应用问题
例1 [2024广西模拟] 世界上大部分国家都使用摄氏温度 ，但仍有一些国
家和地区使用华氏温度 ，两种计量之间有如下对应：
摄氏温度 0 10 20 30 40 50
华氏温度 32 50 68 86 104 122
（1）请在所给的平面直角坐标系中描出上表中相应的点，并用光滑的线连接;
解：画图象如答图所示.
例1答图
（2）观察画出的图象，猜想与 之间满足我们学过的哪类函数关系，并求
出与 之间的函数解析式；
解：猜想是 的一次函数.
设 ，
把, 代入，得
，
解得 ，
与之间的函数解析式为 .
（3）求当华氏温度为 时所对应的摄氏温度.
解：当时， ，
解得 .
当华氏温度为时所对应的摄氏温度为 .
变式跟进
1.真实情境题 [2024钦州模拟] 如图①是一种学生双肩背包，其背带由固定
带、活动带和调节扣构成.使用时，可以通过调节调节扣使背带的总长度
（固定带与活动带使用部分的长度总和，其中调节扣所占的长度忽略不计）
加长或缩短.设活动带未使用部分的长度为,背带的总长度为 ,经测量，
得到如下数据：（说明：本题只讨论一条背带）
活动带未使用部分的长度 5 10 15 20 … 30
背带的总长度 65 60 55 …
（1）根据表中数据的规律，填空：____， ____；
50
40
（2）当时，求关于 的函数解析式；
解：观察表格可知，是的一次函数，设 ,
把,和, 分别代入，
得
解得
当时，关于的函数解析式为 .
（3）在如图②所示的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中的函数图象；
解：画图象如答图：
变式跟进1答图
（4）根据小敏的身高和习惯，背带的总长度为 时，背起来最合适，
请求出此时活动带未使用部分的长度.
解：当 时，
，
解得 ，
此时活动带未使用部分的长度为 .
2
“两条直线相交”类应用问题
例2 [2023丽水] 某公司为促进生产，提供了两种付给员工月报酬的方案，
如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题：
（1）直接写出当员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
解：当员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多.
（2）求方案二的关于 的函数解析式；
解：设方案二的函数解析式为 ，
将， 代入，
得 解得
方案二的关于的函数解析式为 .
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产
能力选择方案.
解：由两种方案的函数图象交于点 可知：若每月生产产品件数少
于30件，则选择方案二；若每月生产产品件数等于30件，两种方案报酬相
同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一.
变式跟进
2.[2022湖州] 某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基
地进行研学活动.大巴出发 后，学校因事派人乘坐轿车
沿相同路线追赶.已知大巴行驶的速度是 ，轿车行
驶的速度是 .
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴，此时，两车与学校相距多少千米？
解：设轿车出发后 追上大巴，
由题意，得，解得 ，
轿车出发后 追上大巴.
此时，两车与学校相距 .
（2）如图，图中，分别表示大巴、轿车离开学校的路程 与大巴
行驶的时间的函数关系的图象,试求点的坐标和 所在直线的解析式.
解： 轿车出发后追上大巴，此时，两车与学校相距 ，
大巴行驶了， .
由图象得 .
设所在直线的解析式为 ，
解得
所在直线的解析式为 .
（3）假设大巴出发后轿车出发追赶，轿车行驶了追上大巴，求 的值.
解：由题意，得 ，
解得 ，
的值为0.75.
3
分段函数类问题
例3 [2023金华] 兄妹俩放学后沿图①中的马路从学
校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途
中去书吧和回家的速度均相同；妹妹骑车，到书吧
前的速度为 .图②中的图象分别表示两人
离学校的路程与哥哥离开学校的时间 的
函数关系.
（1）求哥哥步行的速度.
解：由可知哥哥步行的速度为 .
（2）已知妹妹比哥哥迟 到达书吧.
①求图②中 的值；
[答案] 妹妹骑车到书吧前的速度为 ，
妹妹所用时间 .
妹妹比哥哥迟 到达书吧，
.
②妹妹在书吧待了 后回家，速度是哥哥的1.6倍，问妹妹能否在哥哥
到家前追上哥哥？若能，求出追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，请说
明理由.
[答案] 能追上.
由（1）知哥哥的速度为 ，
设所在直线的解析式为 .
将代入，得 ，
解得， .
当时， .
返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
妹妹的速度是 ,
设妹妹返回时的路程与时间的解析式为 ，
由题意，可知 ,
将代入，得 ，
解得， .
令，则 ，
解得 ，
妹妹能在哥哥到家前追上哥哥.
此时哥哥所走的路程为 .
兄妹俩离家还有 .
妹妹能在哥哥到家前追上哥哥，追上时兄妹俩离家还有 远.
此类问题多以分段函数的形式出现，正确理解分段函数是解决问题的关
键，一般应从以下几方面入手：（1）寻找分段函数的分段点；（2）针对每
一段函数关系，求解相应函数的解析式；（3）利用条件可求解未知问题.
变式跟进
3.[2024天津] 已知张华的家、画社、文化广场
依次在同一条直线上，画社离家 ，文化
广场离家 .张华从家出发，先匀速骑行了
请根据相关信息，解答下列问题：
到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了 到文化广场，在
文化广场停留后，再匀速步行了返回家.图中 表示时间，
表示离家的距离,图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间
的对应关系.
（1）①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离 _____ 0.6 ____ ____
0.15
0.6
1.5
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______ ；
0.075
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间 的函数解析式；
解:张华从家到画社的速度为 ，
张华从画社到文化广场的速度为 ，
当时， ；
当时， ；
当时， .
当时，与 的函数解析式为
（2）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了 直接
到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中 两人相遇时
离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
[答案] 爸爸的速度为 ，
设张华出发 时和爸爸相遇，
由题意，得 ，
解得 ，
.
答：从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为 .
4
方案选择类问题
例4 [2022梧州] 梧州市地处亚热带，盛产龙眼.新鲜龙眼的保质期短，若加
工成龙眼干则有利于较长时间保存.已知 的新鲜龙眼在无损耗的情况下
可以加工成 的龙眼干.
（1）若新鲜龙眼的售价为12元/千克，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙
眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少？
解：设龙眼干的售价为元/千克，新鲜龙眼共 ，则新鲜龙眼的总销售
收益为（元）；加工成龙眼干后共 ，则龙眼干的总销
售收益为 元.
龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
，解得 .
答：龙眼干的售价应不低于36元/千克.
（2）在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有 的损
耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于以12元/千克销售新鲜
龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格.市场调查还发现，新
鲜龙眼以12元/千克最多能卖出 ，超出部分的平均售价是5元/千克可
售完.果农们都以这种方式出售新鲜龙眼.设某果农有 新鲜龙眼，他全部
加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为 元，
请写出与 之间的函数关系式.
解：的新鲜龙眼一共可以加工成 龙眼干，
设龙眼干的售价为元/千克，则龙眼干的总销售收益为 元，
当时，新鲜龙眼的总销售收益为 元.
龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
，
解得 .
为整数， 的最小值为39，
龙眼干的总销售收益为 （元），
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的
收益之差 ；
当 时，新鲜龙眼的总销售收益为
元，龙眼干的总销售收益为 元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益
之差 .
综上所述，与之间的函数关系式为
变式跟进
4.[2024河南] 为响应“全民植树增绿，
共建美丽中国”的号召，学校组织学生
到郊外参加义务植树活动，并准备了
A，B两种食品作为午餐.这两种食品
每包质量均为 ，营养成分表如图
所示.
（1）若要从这两种食品中摄入热量和 蛋白质，应选用A，B两
种食品各多少包？
解：设选用A种食品包，B种食品 包，
由题意，得解得
答：应选用A种食品4包，B种食品2包.
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两
种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于 ，且热量最低，应
如何选用这两种食品？
解：设选用A种食品包，则选用B种食品 包，
由题意，得 ，
解得 .
设每份午餐的总热量为 ，
由题意，得 ，
即 .
，随 的增大而减小，
当时，取得最小值，此时 .
答：应选用A种食品3包，B种食品4包.
利用一次函数进行方案选择时，一般先根据题意建立一次函数关系式，
再根据题目要求及实际意义列不等式（组），求出自变量的取值范围，然
后根据一次函数的性质及自变量的最大（或最小）取值（一般为整数）来
求函数的最值，从而确定方案.
5
实验探究类
例5 [2024南宁模拟] 【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了
二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的.
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行
驶里程，某综合实践小组设计两组实验.
实验一：探究电池充电状态下，电动汽车仪表盘增加的电量 与时间
的关系，数据记录如表1；
实验二：探究充满电量状态下，电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量
与行驶里程 的关系，数据记录如表2.
表1
电池充电状态
时间 0 10 30 60
增加的电量 0 10 30 60
表2
汽车行驶过程
已行驶里程 0 160 200 280
显示电量 100 60 50 30
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出
关于的函数解析式及关于 的函数解析式；
解：由题意，得两个函数都为一次函数，设， ，
将，代入 ，得
解得
关于的函数解析式为 .
将，代入 ，得
解得
关于的函数解析式为 .
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶 后，此
时电动汽车仪表盘显示电量为多少？
解：由题意，得满电状态下电动汽车行驶 ，
当时， ，
答：此时电动汽车仪表盘显示电量为 .
（3）在（2）的条件下，若电动汽车要继续行驶到达目的地，此时需要在
途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶 到达目的地，
且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为 ，则电动汽车在服务区充
电多长时间？
解：设充电，应增加电量 ,
出发时电量 ,
走完剩余路程应耗电量为
由题意，得 ，
解得 .
答：电动汽车在服务区充电 .
见配套《自主选练本》(共25张PPT)
第10课时 一次函数的图象与性质
01
考点管理
1
一次函数的图象与性质
解析式 ，为常数，且（特别地，当 时， 为正比例函数）.
图象特征 正比例函数的图象是经过点和 的一条直 线，一次函数的图象是经过点 和 ①_ ________的一条直线.
增减性 若，则随 的增大而 ②______. 若，则随 的增大而
③______.
，
增大
减小
与 轴 的交点 交点在正 半轴上 交点为原点 交点在负 半轴上 交点在正 半轴上 交点为原点
交点在负
半轴上
图象 （草 图） _________________ _________________ _________________ _________________ _________________ ________________
经过的 象限 一、二、 三 一、三 一、三、 四 一、二、 四 二、四 二、三、
四
续表
2
一次函数解析式的确定
方法 待定系数法
步骤 （1）一设：设出一次函数解析式 ；
（2）二列：找出在一次函数图象上的两点，代入函数解析式，得到
关于， 的二元一次方程组；
（3）三解：解这个二元一次方程组，得到， 的值；
（4）四还原：将所求待定系数， 的值代入所设的函数解析式中.
3
一次函数图象的平移
平移前解析式 平移方式 平移后解析式 简记
向左平移 个单位长度 左加右
减
向右平移 个单位长度
向上平移 个单位长度 等号右端
整体上加
下减
向下平移 个单位长度
02
中考再现
1.[2024山西] 已知点，都在正比例函数 的图象上，
若，则与 的大小关系是( )
B
A. B. C. D.
2.[2023巴中] 若一次函数的函数值随 的增大而减小，则
的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
3.[2023宁夏] 在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
B
A.随 的增大而减小
B.
C.当时，
D.关于，的方程组的解为
4.[2023广西] 函数的图象经过点，则 ___.
5.[2023天津] 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则 的值
为___.
1
5
03
归类探究
1
一次函数的图象与性质
例1 [2024德阳] 正比例函数 的图象如图所示，
则 的值可能是( )
A
A. B. C. D.
例2 [2023临沂] 对于某个一次函数 ，根据两位同学的对
话得出下列的结论，其中结论错误的是( )
C
A. B. C. D.
变式跟进
1.[2024新疆生产建设兵团] 若一次函数的函数值随 的增大而增
大，则 的值可以是( )
D
A. B. C.0 D.1
2.[2024通辽] 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数
与（其中，，， ，
为常数）的图象分别为直线， .下列结论正确的是( )
A
A. B. C. D.
2
一次函数图象的平移
例3 经典题 将直线 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位
长度后，所得的直线的解析式为( )
A
A. B. C. D.
直线在平移过程中 值不变.平移规律：若上、下平移，
则直接在常数后加上或减去平移的单位长度数；若向左（或向右）平移
个单位长度，则直线变为直线 其口诀是：
上加下减，左加右减.
变式跟进
3.已知正比例函数的图象过点 ，把正比例函数
的图象平移，使它过点 ，则平移后的函数图象大致是
( )
D
A. B. C. D.
3
求一次函数的解析式
例4 [2022铜仁] 在平面直角坐标系内有，， 三点.
（1）求过其中两点的直线的解析式（选一种情形作答）；
解：（答案不唯一）设， 两点所在直线的解析式为
，
解得
直线的解析式为 .
（2）判断，， 三点是否在同一直线上，并说明理由.
解：当时， ，
点不在直线上，即，， 三点不在同一直线上.
变式跟进
4.[2024北京] 在平面直角坐标系中，函数与
的图象交于点 .
（1）求， 的值；
解： 直线过点 ，
，
解得 .
将点代入，得 ，
解得 .
, .
（2）当时，对于的每一个值，函数 的值既大于函数
的值，也大于函数的值，直接写出 的取值范围.
变式跟进4答图
解： 当时，对于 的每一个值，函数
的值既大于函数 的值，也大于函
数 的值，
结合答图，可知 ,
的取值范围是 .
4
一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式（组）
例5 [2024扬州] 如图，已知一次函数 的
图象分别与轴、轴交于,两点，若， ，
则关于的方程 的解为________.
[解析] ，, 一次函数的图象与 轴相
交于点， 关于的方程的解为 .
变式跟进
5.[2022陕西] 在同一平面直角坐标系中，直线与 相交
于点，则关于，的方程组 的解为( )
C
A. B. C. D.
6.[2022鄂州] 数形结合是解决数学问题常用的思想方法.
如图，一次函数，为常数，且 的图
象与直线都经过点，则当 时，
根据图象可知， 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
见配套《自主选练本》
