(共41张PPT)
第18课时 等腰三角形
01
考点管理
1
等腰三角形
定义 有①______相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的②______叫
做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做③______，腰与底边的夹
角叫做底角.
两边
两边
顶角
性质 _____________________________
（1）两底角相等，即 ；
（2）两腰相等，即 ；
（3）是轴对称图形，有④____条对称轴；
（4）等腰三角形的⑤______________、⑥____________、⑦_____
_______重合（简称“三线合一”）.
一
顶角的平分线
底边上的高
底边的中线
续表
判定 （1）有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）有两角相等的三角形是等腰三角形.
面积 公式 ，其中是底边长， 是底边上的高.
注意 （1）对于等腰三角形的边、角、周长的计算、顶点位置的探索，
往往由于腰、底的不确定，需要分类讨论解决，防止漏解；
（2）等腰三角形的“三线合一”是一条重要的性质，在计算和证明
中，往往作为辅助线，需灵活添加解决.
续表
2
等边三角形
定义 ⑧______都相等的三角形叫做等边三角形.
性质 （1）三边相等，即 ；
（2）三个角相等，且每一个角都等于⑨____；
（3）是轴对称图形，有⑩___条对称轴.
_________________________________
三边
3
判定 （1）三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是 ____的等腰三角形是等边三角形.
面积公 式 ，其中是等边三角形任意一边的长， 是任意边
上的高.
续表
3
线段的垂直平分线
定义 经过线段 ______并且 ______于这条线段的直线叫做这条线段
的垂直平分线.
性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ______.
判定 与线段两个端点距离 ______的点在这条线段的垂直平分线上.
中点
垂直
相等
相等
02
中考再现
1.[2023宿迁] 若等腰三角形有一个内角为 ，则这个等腰三角形的底角
是( )
C
A. B. C. D.
2.[2023内蒙古] 如图，直线，直线与直线， 分
别相交于点，，点在直线上，且 .若
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
3.[2023丽水] 如图，在中，的垂直平分线交 于
点，交于点，.若，则 的长是
___.
4
4.[2023吉林] 如图，在中， .分别以
点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧
交于点，作直线交于点.若 ，
则 的度数为____.
5.[2022嘉兴] 小曹同学复习时将几种
三角形的关系整理如图所示，请帮他
在括号内填上一个适当的条件：
_________________________.
（答案不唯一）
03
归类探究
1
等腰三角形的性质
例1 经典题 数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：在等腰中， ，求的度数.（答案： ）
例2：在等腰中， ，求的度数.（答案： 或
或 ）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
在等腰中， ，求 的度数.
（1）请你解答以上的变式题；
解：若为顶角， 为底角，
则 ；
若为底角， 为顶角，
则的度数为 ；
若为底角，为底角，则 .
故 或 或 .
（2）解（1）后，小敏发现，的度数不同，得到 的度数的个数也
可能不同.如果在等腰中，设 ，那么当 有三个不同的度数
时，请你探索 的取值范围.
解：分两种情况：
①当时， 只能为顶角，
的度数只有一个；
②当 时，
若为顶角，为底角，则 ；
若为底角，为顶角，则 ；
若为底角，为底角，则 .
当且且 ，
即时， 有三个不同的度数.
综上所述，当且时， 有三个不同的度数.
根据等腰三角形的性质进行角度计算，常与三角形的内角和结合，利
用方程求解.
变式跟进
1.[2022云南] 已知是等腰三角形.若 ，则 的顶角度数
是___________.
或
2
线段的垂直平分线
例2 [2024广西] 如图，在中， ， .
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，
（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
解：图形如答图所示.
例2答图
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求 的长.
解：垂直平分线段 ，
， ，
.
，
，
.
变式跟进
第2题图
2.[2024贺州模拟] 如图，在中，分别以点， 为
圆心，大于 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相
等），两弧相交于，两点，直线分别与边 ，
相交于点，，连接.若，，则
的长为( )
D
A.6 B.5 C.4 D.3
3.[2023锦州] 如图，在中，的垂直平分线交于点，交 于点
，连接.若， ，则 的度数为____.
第3题图
3
等腰三角形的判定
例3 经典题 如图，已知，，与相交于点 .
（1）求证： ；
证明：在和 中，
.
（2）判断 的形状，并说明理由.
解： 是等腰三角形.理由如下：
，
.
，
，
，
，
，
是等腰三角形.
判定等腰三角形的一般方法是“两边相等”和“等角对等边”两种，这就涉
及了证明线段相等或角相等的问题，因此，结合三角形全等可以解决线段
相等或角相等的问题.
变式跟进
4.[2024江西] 【追本溯源】
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.
（1）如图①，在中，平分，交于点，过点作 的平
行线，交于点，请判断 的形状，并说明理由.
解： 是等腰三角形.理由如下：
平分 ，
.
，
，
，
，
是等腰三角形.
【方法应用】
（2）如图②，在中，平分，交边于点，过点 作
交的延长线于点，交于点 .
①图中一定是等腰三角形的有( )
B
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知，，求 的长.
[答案] 由（1）可知，， ，
， .
， .
， .
， .
， ，
.
，
.
4
等边三角形的性质与判定
例4 [2022怀化] 如图，在等边中，为 边上任意
一点，延长至点，使，连接交于点 ，
作于点 .
（1）求证： ；
证明：如答图，过点作，交于点 .
例4答图
在等边 中，
.
，
， ， .
是等边三角形，
.
，
.
在和 中，
.
.
（2）若，求线段的长.（结果用含 的代数式表示）
解：是等边三角形，且 ，
.
，
,
.
， ，
.
变式跟进
5.[2024宜宾] 如图，，分别是等边边， 上的点，且
，与相交于点.求证： .
证明： 为等边三角形，
， .
在和 中，
，
.
见配套《自主选练本》(共31张PPT)
微专题（二） 六大常考全等模型
1
平移模型
数学模型 此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平
行，常要在移动方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线
性质找到对应角相等.
模型运用
1.[2024柳州模拟] 如图，点，，， 在同一条直线
上，，， .
（1）求证： ；
证明： ，
，
在和中，
.
（2）求证： .
[答案] ，
，
.
2
轴对称模型
数学模型 此模型的特征是所给图形可沿某一直线折
叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等
三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共
边或公共角相等.
模型运用
2.[2022广安] 如图，是外一点，连接，，
与相交于点.有下列三个等式： ；
； .
求证：③.
请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成
一个真命题.将你选择的等式的序号填写在下面对应的横线上，然后对该真
命题进行证明.
已知：①，②.
证明：在和 中，
，
.（答案不唯一）
3
一线三等角模型（K型）
数学模型 三个等角在同一直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、
直角、钝角，若为直角，称“一线三垂直”），利用三等角关系找全等三角形
所需的角相等条件（如 ）.一线三等角的解题理念：有边相等证全
等；无边相等证相似.
锐角一线三等角
钝角一线三等角
拓展：一线三垂直
模型运用
3.如图，点在上，，， ，
.求证： .
证明：，， ，
，
，
.
在和中，
.
4.在矩形中，已知.在边上取点，使，连接 ，
过点作，与边或其延长线交于点 .
【猜想】
（1）如图①，当点在边上时，线段与 的大小关系为_________；
①
【探究】
（2）如图②，当点在边的延长线上时，与边交于点 ，判断线段
与 的大小关系，并加以证明；
②
解： .证明如下：
，
，
，
.
在和 中，
，
.
【应用】
（3）如图②，若，，利用探究得到的结论，求线段 的长.
解： ，
， ，
.
， ，
， .
4
不共顶点旋转模型
数学模型 此模型可看成是将三角形
绕对称中心旋转 得到，运用线段的
和差找相等线段.
模型运用
5.[2024南宁模拟节选] 如图，点，，， 在一条直线
上，，， .求证：
.
证明：， .
， ,
即 .
在和中，
.
5
共顶点旋转模型（手拉手模型）
数学模型 此模型可看成是将三角形绕着公共顶
点旋转一定角度所构成的.在旋转过程中，两个三角
形无重叠或有重叠，运用角的和差得到等角.
模型运用
6.如图，已知在四边形中，点在边上， ，
， .
（1）求证： ；
证明： ，
,
即 .
在和 中，
，
.
（2）若，求 的度数.
解： ， ，
.
， ，
.
7.在中， ，，于点 .
①
②
（1）如图①，点，分别在，上，且 ，求证：
；
证明： ， ，
.
，
， ，
， .
，
.
在和 中，
，
.
（2）点，分别在直线，上，且 ，如图②，当点 在
的延长线上时，求证： .
[答案] 如答图，过点作，交的延长线于点 .
第7题答图
.
， ，
， .
，
.
在和 中，
，
.
在中， ， ，
，
.
6
半角模型
数学模型 当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三角形通过
旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形
成的三角形全等.
等边三角形含半角
等腰三角形含半角
等腰直角三角形含半角
正方形含半角
模型运用
8.如图，在中， ，，点，在边 上，且
.若，，则 的长为____.
9.如图，在正方形中，点，分别在，上， .求证：
（1） ；
证明：如答图，延长至点，使，连接 .
第9题答图
四边形 为正方形，
， .
在和 中，
，
， .
， .
在和 中，
，
.
，
.
，
.
（2）平分 .
[答案] ， .
， ，
，平分 .(共28张PPT)
微专题（四） 中点问题四大模型
1
中点 中位线
数学模型 如图，在三角形中，如果有
中点，那么可构造三角形的中位线，利用
三角形中位线的性质定理： ，且
， 解决问题.
模型运用
1.如图，在中， ，，，， 分别是
，的中点，延长至点，使，连接，，则 的长为
_____.
2.如图，是中边上的中线，为的中点，延长交 于点
，.求证： .
证明：如答图，过点作交于点 .
第2题答图
为的中点，为 的中点，
易得 ，
， ，
.
2
直角三角形斜边中点 斜边上的中线
数学模型 如图，在直角三角形中，
当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的
中线，利用“直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半”，即 ，来证明
线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：和 .
模型运用
3.如图，在中， ，，分别是边， 的中点，延
长至点，使，连接.若，则 的长是( )
A
第3题图
A.5 B.4 C.3 D.2
4.如图，已知梯形，， ，，， 分
别是，的中点，则 _____.
第4题图
5.如图，在中，是高，是中线，是的中点，， 为
垂足.求证： .
证明：如答图，连接 .
第5题答图
， .
是中线， ，
.
， ，
， .
3
等腰三角形底边中点 三线合一
数学模型 如图，等腰三角形中有底边
上的中点时，常作底边的中线，利用等腰
三角形底边中线、底边高线、顶角平分线
“三线合一”的性质得到： ，
， .
模型运用
6.如图，在中，，，为边的中点，
于点，则 的长是___.
7.如图，在中，，是的中点，过点的直线 ，且
，求证： .
证明：如答图，连接 .
第7题答图
在中，，是 的中点，
.
， .
又，垂直平分 ，
.
8.如图，在中，，，是内的两点，平分 ，
.若，，求 的长.
解：如答图，延长交于点，延长交于点 .
第8题答图
，平分 ，
， .
，
为等边三角形.
， ，
， .
为等边三角形，
.
， ，
，
，
，
.
4
三角形中点 全等三角形（倍长中线）
数学模型 如图，当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造
全等三角形，证明线段间的数量关系.
模型运用
9.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，在中，若，，求边上的中线 的取值范围.
小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图②，延长 至点
，使，连接 .请根据小颖的方法思考：
（1）由已知和作图能得到 ，其依据是( )
B
A. B. C. D.
（2）由“三角形的三边关系”可求得 的取值范围是_____________.
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角
形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答.
（3）在中，是上一点，连接，是上一点，连接 并延
长交边于点 .
①如图③，若是的中线，且，求证： ；
证明：如答图①，延长至点，使，连接 .
第9题答图①
，， ，
，
， .
， .
，
，
， .
②如图④，若是的中点，求证： .
第9题答图②
[答案] 如答图②，延长至点，使得，连接 .
，， ，
，
， ，
，
，
，
，
.
10.如图，已知，，垂足为，，垂足为 ，
，，是的中点，求 的长.
解：如答图，延长交于点 .
第10题答图
是 的中点，
.
， ，
， .
又 ，
，
， ，
.
在 中，
，
.(共45张PPT)
第17课时 全等三角形
01
考点管理
1
命题与定理
定义 判断一件事情的语句叫做①______.
命题的组成 命题都是由②______和③______两部分组成，题设是已知
事项，结论是由已知事项推出的事项.
命题的形式 命题通常写成“如果……那么……”的形式.“如果”后接的部
分是题设，“那么”后接的部分是结论.
命题
题设
结论
命题的真假 如果题设成立，那么结论一定成立.这样的命题叫做
④_________，题设成立时，不能保证结论一定成立，这样
的命题叫做⑤________.判断一个命题为假命题时，只需举
出一个反例；要论证一个命题是真命题时，则需要加以推
理和证明.
真命题
假命题
续表
逆命题 若命题2与命题1的题设、结论正好相反，则这样的两个命
题叫做互逆命题，如果把其中的一个命题叫做原命题，那
么另一个命题叫做它的逆命题.
定理 经过推理证实得到的真命题叫做⑥______.
互逆定理 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么
它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
定理
续表
2
证明
定义 ⑦______的过程叫做证明.
证明的步骤 （1）分析题意，画出图形，并结合图形写出已知和求证的
结论；
（2）根据图形分析证明思路；
（3）写出证明的过程，每一步均应有理有据.
推理
基本方法 （1）综合法：从已知条件入手，探索解题途径的方法；
（2）分析法：从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方
法；
（3）两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法从而找到证
明思路的方法.
续表
3
反证法
定义 先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或与定义、定理等
相矛盾，从而得出结论的反面不可能成立，从而证明原命题结论是
成立的，这种证明的方法叫做反证法.
步骤 （1）假设命题的结论的反面成立；
（2）从假设的结论出发，推出矛盾；
（3）由矛盾的结果说明假设的结论不成立，从而肯定原命题的结
论是正确的.
方法 （1）有些用直接证法不易证明的问题可考虑用反证法；
（2）证明唯一性和存在性问题常用反证法.
4
全等形
定义 能够完全⑧______的图形叫做全等形.
重合
5
全等三角形的概念与性质
概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
性质 （1）全等三角形的对应边⑨______，对应角⑩______；
（2）全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线、中位线）
相等，周长 ______，面积 ______.
相等
相等
相等
相等
6
三角形全等的判定
（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等.
（边角边） __________________________________________.
（角边角） __________________________________________.
（角角边） ______________________________________________
________.
（斜边、直角 边）
______________________________________________.
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
7
角平分线的性质
性质 角平分线上的点到角两边的距离 ______.
判定 角的内部到角两边的距离相等的点在 ______________.
相等
角的平分线上
02
中考再现
1.[2024湖南] 下列命题中，正确的是( )
A
A.两点之间，线段最短 B.菱形的对角线相等
C.正五边形的外角和为 D.直角三角形是轴对称图形
2.[2022梧州] 如图，在中，，是 的角
平分线，过点分别作，，垂足分别是， ，
则下列结论错误的是( )
C
A. B. C. D.
3.[2022湖州] 命题“如果，那么 .”的逆命题是_______________
__________.
如果，那么
4.[2023成都] 如图，已知，点 ，
，，依次在同一条直线上.若， ，
则 的长为___.
3
5.[长沙中考] 如图，在中， ， 平分
交于点，，垂足为.若 ，
，则 的长为____.
2.4
03
归类探究
1
命题、真假命题及互逆命题
例1 [2024绥化] 下列叙述正确的是( )
C
A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B.平分弦的直径垂直于弦
C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
[解析] A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个平行四边形，顺次
连接菱形各边中点一定能得到一个矩形，故本选项不符合题意；B.平分弦
（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；C.物体在灯泡发出
的光照射下形成的影子是中心投影，故本选项符合题意；D.在同圆或等圆
中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，
故本选项不符合题意.故选C.
（1）两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第
一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.其
中一个命题称为另一个命题的逆命题.
（2）正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题真假的
关键是要熟悉课本中的性质定理.
（3）举反例是说明假命题的常用方法，但需要注意所举反例需要满足
命题的题设，但结论不成立.
变式跟进
1.能说明命题“若为无理数，则 也是无理数”是假命题的反例是( )
C
A. B. C. D.
2.[2023台州] 如图，在锐角中，，点，
分别在边，上，连接， .下列命题是假命题的是
( )
A
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
2
反证法
例2 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数 ，
导致了第一次数学危机.“ 是无理数”的证明如下：
假设是有理数，那么它可以表示成（与 是互质的两个正整数）.于是
，.于是是偶数，进而 是偶数，从而可设
，，，于是可得也是偶数.这与“与 是互
质的两个正整数”矛盾，从而可知“是有理数”的假设不成立， 是无理数.
上述证明“ 是无理数”的方法是( )
B
A.综合法 B.反证法 C.举反例法 D.数学归纳法
（1）反证法的步骤：①假设结论不成立；②从假设出发推出矛盾；③
假设不成立，则原结论成立.
（2）在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如
果只有一种，那么否定一种就可以了；如果有多种情况，那么必须一一否定.
变式跟进
3.[2023衡阳] 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内
角小于或等于 ”.假设三角形中没有一个内角小于或等于 ，即三个内
角都大于 ，则三角形的三个内角的和大于 .这与“三角形的内角和
等于 ”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或
等于 .上述推理使用的证明方法是( )
A
A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法
3
全等三角形的证明
例3 [2024内江] 如图，点，，， 在同一条直线上，
，， .
（1）求证： ；
证明： ，
，即 .
在和中，
.
（2）若 ， ，求 的度数.
解：由（1）可知 ，
，
，
.
（1）全等三角形的判定方法有：，，，，
（仅限在直角三角形中）.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明
线段和角相等的重要工具.
（2）判定两个三角形全等，一般可以从三个角度思考：一是从三边考
虑；二是从两边和它们的夹角考虑；三是从两角和任意一个角的对边考虑.
（3）轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等.
变式跟进
4.[2023宜宾] 如图，，，.求证： .
证明： ，
，即 .
， .
在和中，
， .
5.[2024长沙] 如图，点在线段上，，， .
（1）求证： ；
证明：在和 中，
.
（2）若 ，求 的度数.
解：由（1）得 ，
， ，
，
，
.
4
全等三角形的开放探究型问题
例4 如图，交于点，在和 中，有下列三个条件：
；； .请你在上述三个条件中选择两个作
为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论.
（1）你选的条件为________________，结论为____________；（只填序号）
（或）
②（或）
（2）证明你的结论.
证明： .
在和 中，
，
.
.
在和 中，
，
.
变式跟进
6.[2022柳州] 如图，点，，， 在同一条
直线上，， .有下列三个条
件：； ；
.
（1）请在上述三个条件中只选取一个条件，使得 .
你选取的条件为__________________（填写序号），你判定
的依据是____（填“”或“”或“”或“ ”）；
①（答案不唯一）
（2）利用（1）中的结论说明 .
证明： ，
，
.
5
利用全等三角形设计测量方案
例5 [2022百色] 校园内有一块四边形的草坪，课外活动小组实地测量，并
记录数据，根据测量数据画出如图所示的四边形 .其中
，， .
（1）求证： ；
证明：在和 中，
.
（2）求草坪的面积.
解：如答图，过点作于点 .
， ，
.
，
由（1）可知 ，
草坪的面积为 .
例5答图
6
角平分线的性质
例6 [2022北京] 如图，在中，平分，.若 ，
，则 ___.
1
变式跟进
7.[2024南充] 如图，在中， ， ，，
平分交于点，为边上一点，则线段 长的最小值为( )
C
A. B. C.2 D.3
8.如图， ，，于点.若 ，则
___.
2
见配套《自主选练本》
规范性答题：全等三角形的证明
规范答题注意事项
1.证明问题在解题前，需写上“证明：”；
2.证明的每一步都需要有理有据，条理清楚，步骤到位，不能“跳步”；
3.证明三角形全等时，需按照顺序依次罗列出对应关系，再得出对应三角形
全等.
例 （6分）如图，在中，是边上一点，， 平分
，交边于点，连接 .
求证： .
[答案] 规范解答
证明：平分 ，
.（1分）
在和 中，
（4分）
.（6分）
[解析] 评分标准
得到对应角相等，得1分.
找到对应关系，得3分.
得出三角形全等，得2分.(共31张PPT)
第19课时 直角三角形和勾股定理
01
考点管理
直角三角形
定义 有一个角是直角的三角形叫做①____________，其中夹直角的两
边叫做直角边，另一条边叫做斜边.
直角三角形
性质 ____________________
（1）两锐角之和等于②____；
（2）斜边上的中线等于斜边的③______；
角所对的直角边等于斜边的④______；
（4）若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角
等于 （应用时需先证明）；
（5）勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为， ，斜边为
，则⑤_____________.
一半
一半
续表
判定 （1）有一个角为 的三角形是直角三角形；
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
（应用时需先证明）；
（4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为，， ，
若满足⑥_______________________________________，则这个
三角形为直角三角形.
面积公式 （，为直角边，为斜边 上的高）.
或或
续表
02
中考再现
1.[2024陕西] 如图，在中， ，是
边上的高，是的中点，连接 ，则图中的直角三角形
共有( )
C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
[解析] ，是直角三角形.是 边上的高，
，，，都是直角三角形，
图中的直角三角形共有4个.故选C.
2.[2023遂宁] 若某三角形三个内角度数的比为 ，则这个三角形是
_______三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”）
3.[2022梧州] 如图，在中， ，，分别是， 边上的
中点，连接，.如果，，那么的长是___ .
直角
4
4.[2024吉林] 图①中有一首古算诗，
根据诗中的描述可以计算出红莲所在
位置的湖水深度，其示意图如图②，
其中，于点 ，
尺，尺.设的长度为 尺，可列方程为_________________
___.
03
归类探究
1
直角三角形性质的运用
例1 [2022百色] 活动探究：我们知道，已知两边和其中
一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，已
知在中， ，，所对的边为 ，
C
A. B. C.或 D.或
满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图所示的 是一个直
角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为( )
变式跟进
1.[2024安徽] 如图，在中，，点 在
的延长线上，且，则 的长是( )
B
A. B. C. D.
变式跟进1答图
[解析] 如答图，过点C作 于点
， ， ，
，. ，
， .故
选B.
2.[2024贵港模拟] 以的顶点为圆心，大于 为半
径画弧与， 分别交于两点，分别以这两点为圆心，以
大于这两点间距离的 为半径（半径不变）画弧.已知
， ，，则 的长为_____.
[解析] 在中， ，，， ，
， 在中， ，
，， .
2
勾股定理的应用
例2 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有下列问题：“今有
户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意
思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门
高、宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？如图，设门高 为
尺，根据题意，可列方程为____________________.
变式跟进
3.数学文化 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传
统数学的基本框架.其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，
去根三尺，问折者高几何 ”题意是一根竹子原高1丈（1丈 尺），中部
有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高 则折断处
离地面____尺高.
3
平面展开图中的最短路径问题
例3 真实情境题 如图，圆柱的高，底面直径 ，现在有一只蚂
蚁想要从处沿圆柱侧面爬到对角 处捕食，则它爬行的最短距离是( )
A
A. B. C. D.9
变式跟进
4.[2023广安] 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 ，底面周长为
，在杯内壁离杯底的点 处有一滴蜂蜜，此时，一
只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的
点处，则蚂蚁从外壁处到内壁 处所走的最短路程为____
.（杯壁厚度不计）
10
4
勾股定理的逆定理
例4 [2023菏泽] 若的三边长，， 满足
，则 是( )
D
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
变式跟进
5.[2022张家界] 如图，是等边内一点， ，
，，则与 的面积之和为( )
C
A. B. C. D.
6.经典题 如图，是正方形内的一点，连接， ，
，将绕点顺时针旋转 到 的位置.若
，，，则 ______.
5
勾股定理的证明与拼图
例5 数学文化 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，
西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中
就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为
“赵爽弦图”，流传至今.
（1）①请叙述勾股定理；
解：如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么 .
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）
①
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图①~图③几种常
见的证明方法中任选一种来证明该定理.（以下图形均满足证明勾股定理所
需的条件）
①
②
③
解：在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间
小正方形面积的和，即 ，
化简，得 .
在图②中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正
方形面积的和，即 ，
化简，得 .
在图③中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即 ，
化简，得 .
（2）①如图④⑤⑥，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方
形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有___个；
3
④
⑤
⑥
②如图⑦，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案
（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为 ，直角三角
形的三边长分别为,,,请判断，， 的大小关系并证明.
⑦
[答案] .证明如下：
，
而， .
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两
直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图⑧所示的“勾股树”.
在如图⑨所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值 ，
四个小正方形，，，的边长分别为，，， ，已知
，则当 变化时，回答下列问题（结果可用含 的式子
表示）：
⑧
⑨
① ____；
②与的数量关系为______，与 的数量关系为___________.
勾股定理既反映了直角三角形的三边关系，同时也反映了以直角三角
形三边为边长所作正方形的面积关系，这是勾股定理的另一种表现形式.
变式跟进
7.[2024浙江] 如图，正方形 由四个全等的直角三角形
和中间一个小正方形 组成，
连接.若，，则 ( )
C
A.5 B. C. D.4
8.[2023金华] 如图，在中， ，以其三
边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与 交
于点，与交于点.若，则 的值是
( )
B
A. B. C. D.
见配套《自主选练本》(共30张PPT)
第15课时 线与角
01
考点管理
1
直线与线段
两个基本事实 （1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短.
线段的中点 如图，点把线段分成相等的两条线段与，点
叫做线段的中点，则①_____ .
________________________________
线段的和与差 如图，点是线段上的一点，则有：②__ ；
③__；④___ .
________________________________
-
-
2
角及角平分线
角 静态概念：（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；
动态概念：（2）一条射线绕着它的端点旋转而形成图形叫做角.
余角 概念：如果两个角的和等于⑤____，那么这两个角互为余角；
性质：同角（等角）的余角⑥______.
补角 概念：如果两个角的和等于⑦______，那么这两个角互为补角；
性质：同角（等角）的补角⑧______.
角平 分线 性质：角平分线上的点到角两边的距离⑨______；
逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
相等
相等
相等
3
三线八角
对顶角 与⑩____，与，与， 与 ____； 性质：对顶角相等. __________________________
邻补角 和都与 ________互为邻补角；和 都与 ， 互为邻补角； 性质：互为邻补角的两个角之和等于 ______.
同旁内角 与， 与 ____.
同位角 与 ____，与，与 ____， 与 ____.
内错角 与 ____，与 .
，
4
垂线与线段的垂直平分线
垂线的 性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知垂线垂
直；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 __________；
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
线段的 垂直平 分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 ______；
判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
最短
相等
5
平行线的性质与判定
平行公理 经过直线外一点，有且只有 ____条直线与已知直线
平行.
平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线
也互相 ______.
一
平行
平行线的性质和 判定 （1）两直线平行 同位角相等；
（2）两直线平行 内错角相等；
（3）两直线平行 同旁内角互补.
续表
02
中考再现
第1题图
1.[2024内江] 如图，，直线分别交， 于点
，，若 ，则 的大小是( )
C
A. B. C. D.
2.[2023广西] 如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，若
，则 的度数是( )
D
A. B. C. D.
3.[2024河南] 如图，乙地在甲地的北偏东 方向上，则 的度数是 ( )
B
A. B. C. D.
4.[2024广西] 已知与为对顶角， ，则 ____.
5.[2024吉林] 如图，从长春站去往胜利公园，与其他道路相比，走人民大
街路程最近，其蕴含的数学道理是____________________.
两点之间，线段最短
03
归类探究
1
直线、射线和线段
例1 已知线段，在直线上作线段，使得.若点 是线段
的中点，则线段 的长为( )
C
A.1 B.3 C.1或3 D.2或3
对于线段的和、差关系以及涉及线段的中点问题，需要结合图形，认
真观察.若已知线段上给出的点未明确其位置，有时还需要分类讨论，千万
不要漏解.
2
角的概念与计算
例2 [2024广西] 如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为( )
C
A. B. C. D.
变式跟进
1.[2024北京] 如图，直线和相交于点，.若 ，
则 的大小为( )
B
A. B. C. D.
3
余角与补角
例3 [2022玉林] 已知 ，则 的余角等于____，补角等于______.
变式跟进
2.真实情境题 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和 互余的摆放
方式是( )
A
A. B. C. D.
两个角是否互为余角或互为补角，与它们的位置无关，只看它们的和
是否等于 或 即可.
4
平行线的判定与性质
例4 [2024重庆] 如图，，若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
变式跟进
3.[2023山西] 如图，一束平行于主光轴的光线经
凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 的
光线相交于点，为焦点.若 ，
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
4.[2024深圳] 如图，一束平行光线照射平面镜后反射，
若入射光线与平面镜夹角 ，则反射光线与
平面镜夹角 的度数为( )
B
A. B. C. D.
5.[2024福建] 在同一平面内，将直尺、含 角的三角尺
和木工角尺按如图方式摆放，若 ，则
的度数为( )
A
A. B. C. D.
两直线平行是确定等角的一个重要途径，证明两角相等，常从判断它
们所处的“三线八角”中的直线是否平行来入手.
5
平行线的判定与性质的综合运用
例5 [2023武汉] 如图，在四边形中，，，点在
的延长线上，连接 .
（1）求证： ；
证明： ，
，
，
，
，
.
（2）若 ，平分，直接写出 的形状.
解： ，
，
平分 ，
.
，
，
是等边三角形.
变式跟进
6.[2023益阳] 如图，，直线与， 分别
交于点，，上有一点且， ，
求 的度数.
解： ，
，
.
，
，
.
见配套《自主选练本》(共26张PPT)
第16课时 三角形的基础知识
01
考点管理
1
三角形的分类
按边分 （1）三边各不相等的三角形；
（2）等腰三角形（底边和腰相等时为等边三角形）.
按角分 （1）锐角三角形：三个角均小于 ；
（2）直角三角形：有一个角是 ；
（3）钝角三角形：有一个角大于 .
2
三角形的基本性质
三边关系 三角形的两边之和①______第三边，两边之差②______第三
边.
内角和定理 三角形的内角和等于③______.
边角关系 在同一个三角形中，大边对④______，小边对小角.
内外角关系 （1）三角形的一个外角⑤______与它不相邻的两个内角的
和；
（2）三角形的一个外角⑥______任何一个和它不相邻的内角.
稳定性 三角形具有稳定性.
大于
小于
大角
等于
大于
3
三角形中的重要线段
重要线段 图示 性质
角平分线 _____________________________ 是 的角平 分线 ⑦__ ；
（2）内心：三角形的三条角平分线的交
点，到三角形三条边的距离相等，内心即
三角形内切圆的圆心.
重要线段 图示 性质
中线 _____________________________ 是 的中线 ⑧__ ；
；
（3）重心：三角形三条中线的交点，重
心到三角形顶点的距离等于它到对边中点
距离的2倍.
续表
重要线段 图示 性质
高 _____________________________ 是 的高 ；
（2）垂心：三角形三条高线的交点.
续表
重要线段 图示 性质
中位线 _____________________________ 是 的中位 线 ，，，
⑨__ ；
（2）三角形的中位线将三角形分成面积
比为 的两部分.
续表
02
中考再现
1.[2023衡阳] 下列长度的各组线段能首尾相接组成一个三角形的是( )
D
A.，， B.，，
C.，， D.，，
2.[2023宜宾] 如图，，且 ， ，则 ( )
D
第2题图
A. B. C. D.
第3题图
3.[2023云南] 如图，，两点被池塘隔开，，，
三点不共线.设，的中点分别为， .若
，则 ( )
B
A. B. C. D.
4.[2023吉林] 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是
__________________.
三角形具有稳定性
第4题图
5.[2022百色] 如图摆放一副三角板，如果直角顶点重合，直角边所在直线
分别重合，那么 的度数为______.
第5题图
03
归类探究
1
三角形的三边关系
例1 [2024南宁] 若某三角形的三边长分别为3，4，，则 的值可以是 ( )
B
A.1 B.5 C.7 D.9
变式跟进
1.[2023河北] 四边形的边长如图所示，对角线 的长随四边形形状的
改变而变化.当为等腰三角形时，对角线 的长为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
2
三角形的内角和定理及其推论
例2（1）在中，，的平分线，相交于点 .若
， ，则 ______.
（2）在中，的平分线，的外角平分线相交于点 .若
， ，则 _____.
本题（2）中的结论可以作为规律记住：三角形一个内角的平分线与一
个外角的平分线构成的夹角等于第三个内角的一半.
变式跟进
2.[2024梧州模拟] 三角板是重要的作图工具，可以帮助我们
作出各种不同的几何图形.如图是由同一副三角板拼凑得到的，
则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
3.[2022哈尔滨] 在中，为边上的高，若 ，
，则 __________.
或
3
三角形中位线性质的运用
例3 [2024浙江] 如图，，分别是边，的中点，连接， .
若，，则 的长为___.
4
三角形的中位线定理在证明两线平行关系和计算两线段数量关系时有
着重要应用，因此，题目中有“中点”，可试着寻找或构造中位线，为解题创
造条件.
变式跟进
4.如图，，，分别为三边的中点.若的周长为10，则
的周长为___.
5
4
三角形的面积
例4 如图，在中，，是边上任意一点， 于
点，于点.若，则 ___.
1
变式跟进
5.如图所示的网格是边长均相同的正方形网格，， ，
，是网格线交点，则的面积与 的面积
的大小关系为：___.（填“ ”“ ”或“ ”）
见配套《自主选练本》(共18张PPT)
微专题（三） 等腰三角形中的
分类讨论
1
底角、顶角不明确时需讨论
例1 等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数.
解：①当底角是顶角的4倍时，设顶角为 ，则底角为 ，
，解得 ，
.
此时，三角形的各个内角的度数为 ， ， ；
②当顶角是底角的4倍时，设底角为 ，则顶角为 ，
，解得 ，
.
此时，三角形的各个内角的度数为 ， ， .
综上所述，三角形各个内角的度数为 ， ， 或 ， ，.
对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分
情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形的内角和定
理求解.
变式跟进
1.已知等腰三角形的一个内角为 ，则其顶角为( )
D
A. B. C. D. 或
2.已知等腰三角形的一个外角等于 ，求它的各个内角的度数.
解：①当顶角的外角等于 时，则顶角为 ，
每个底角的度数为 ；
此时，三角形的各个内角的度数分别为 , , .
②当底角的外角等于 时，则每个底角为 ，
顶角的度数为 .
此时，三角形的各个内角的度数分别为 ， ， .
综上所述，等腰三角形各个内角的度数为 ， ， 或 ，
， .
2
腰和底不明确时需讨论
例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为和 ，求等腰三角形的周长；
解：， ，
这两种情况都能构成三角形.
当腰长为时，周长为 ；
当腰长为时，周长为 .
这个三角形的周长为或 .
（2）已知等腰三角形的两边长分别为和 ，求等腰三角形的周长.
解：当腰长为 时，
，
此时不能构成三角形；
当腰长为 时，
，
此时能构成三角形，三角形的周长为 .
这个三角形的周长为 .
对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪个是底哪个是腰
时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
变式跟进
3.已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为6，则它的周长为________.
16或17
3
遇高（中垂线等）需讨论
例3 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 ，则顶角的度数为 ( )
A
A. 或 B. C. D.
三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐
角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外，因
此要分情况讨论.
变式跟进
4.在中，，的垂直平分线与 所在直线相交所得的锐角
为 ，求底角 的度数.
变式跟进4答图①
解：①如答图①，当的垂直平分线与 相交时，
， ，
，
，
；
②如答图②，当的垂直平分线与 的延长线相交时，
变式跟进4答图②
， ，
，
，
.
综上所述，底角的度数为 或 .
4
点（或图形）运动产生等腰三角形时需讨论
例4 如图，在等腰中，，为 边上一动
点（不与点，重合），过点作射线交于点 ，使
.
（1）判断与 的大小关系，并说明理由；
解： .理由如下：
，， ，
.
（2）当为等腰三角形时，求的度数.（结果用含 的代数式表示）
解： ，
.
当 为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当时， ，不符合题意；
②当 时，
，
；
③当时， ，
.
综上所述，当为等腰三角形时，的度数为 或 .
由点（或图形）运动时产生的等腰三角形，要分 ，
， 三种情况讨论.
变式跟进
5.在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是 轴正半轴上的一个动
点.如果是等腰三角形，那么点 的坐标为_____________________.
或或，
