(共21张PPT)
类型之二 与二次函数有关的项
目化问题
01
典例精讲
例3 [2024浙江模拟] 某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研
究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活
动.请你尝试帮助他们解决相关问题.
素材1 利用一边长为 的正方形纸板 可能设计成如图①所示的无盖纸盒. _________________
素材2 如图②，若在正方形硬纸板的四角 各剪掉一个同样大小的小正方形， 将剩余部分折成一个无盖纸盒. _________________________________________________
解决问题
任务1 折一个底面积为 的无盖纸 盒. （1）求剪掉的小正方形的边
长为多少？
任务2 折成的无盖纸盒的侧面积是否有最 大值？ （2）如果有，求出这个最大
值和此时剪掉的小正方形的
边长；如果没有，说明理由.
续表
解：（1）设剪掉的小正方形的边长为 ,则折成的无盖纸盒的底面是边长
为 的正方形.
由题意，得 ，
解得， （不合题意，舍去）.
答：剪掉的小正方形的边长为 .
（2）折成的无盖纸盒的侧面积有最大值.设剪掉的小正方形的边长为 ,
折成的无盖纸盒的侧面积为 .
由题意，得 ,
即 .
，
当时， 取得最大值，最大值为800.
答：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为 ，此时剪掉的小
正方形的边长为 .
例4 [2024瑞昌模拟] 根据以下材料，探究完成任务：
主题 智能浇灌系统使用方案
材料 如图①是一款智能浇灌系统，水管 垂直 于地面并可以随意调节高度 最大高度不 超过，浇灌花木时，喷头 处会向四 周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流 落地点与点 的距离即为最大浇灌距离， ______________________________________________
材料 各方向水流落地点形成一个以点 为圆心， 为半径的圆形浇灌区域.当喷头 位于地 面与点 重合时，某一方向的水流上边缘形 成了如图②所示的抛物线，经测量， ,水流最高时距离地面 .如图 ③，农科院将该智能浇灌系统应用于一个 长,宽 的矩形试验田中，水管放置在 矩形中心 处. ______________________________________________
续表
问题解决
任务1 确定水流形状 （1）在图②中建立合适的平面直角坐标
系，求抛物线的函数解析式.
任务2 探究浇灌最大区域 （2）当调节水管 的高度时，浇灌的圆形
区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆
形区域面积.（结果保留 ）
任务3 解决具体问题 （3）若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试
验田，则水管 至少需要调节到什么高
度？
续表
例4答图①
解：（1）如答图①,以点为坐标原点，所在直线为
轴建立平面直角坐标系，
此时，，顶点坐标为 .
设抛物线的函数解析式为 ，
（2） ，
当 时，灌溉的圆形区域面积最大，
将代入函数解析式,得，解得 ，
抛物线的函数解析式为
.
当时，即将抛物线 向上平移2.4个单位长度，
得新抛物线的函数解析式为 .
令，则，解得， （舍去），
以点为圆心，为半径的圆形浇灌区域的面积为 ，
最大浇灌圆形区域面积为 .
例4答图②
（3）如答图②，连接 .
,, ，
,
要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，灌溉的半径至少
为 .
设,此时抛物线的函数解析式为
将点代入，得，解得 ，
至少调节到 .
例5 [2024深圳模拟] 根据以下素材，探索完成任务.
如何设计喷泉安全通道？ 在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时 间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）.
素材1 图①为音乐喷泉，喷头的高度在垂直 地面的方向上随着音乐变化而上下移 动.不同高度的喷头喷出来的水呈抛物 线型或抛物线的一部分，但形状相 同，最高高度也相同，水落地点都在 喷水管的右侧. ____________________________
素材2 图②是当喷水头在地面上时 （喷水头最低），其抛物线形水柱的 示意图，水落地点离喷水口的距离为 ,水柱最高点离地面 .图③ 是某一时刻时，水柱形状的示意图, 为喷水管，为水的落地点，记 长 度为喷泉跨度. ______________________________________________________
续表
素材3 如图④,安全通道在线段 上，若 无论喷头高度如何变化，水柱都不会 进入 上方的矩形区域，则称这个矩 形区域 为安全区域. _______________________________________
问题解决
续表
任务1
确定喷泉形状
（1）在图②中，以点为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
求出抛物线的函数解析式.
解：设抛物线的函数解析式为 ,
由题意，知抛物线过顶点， ，
解得
抛物线的函数解析式为 .
任务2
确定喷泉跨度的最小值
（2）若喷水管最高可伸长到,求出喷泉跨度 的最小值.
解： 形状相同，最高高度也相同，
设顶点坐标为，其中 ，
设抛物线的函数解析式为 ，
当喷水管最高可伸长到2.25时，抛物线过点 ，
，解得 .
， ，
抛物线的函数解析式为 .
当时，，解得， ，
，
即喷泉跨度的最小值为 .
任务3
设计通道位置及儿童的身高上限
（3）现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道 上的
任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人的最大身高为多少？
（结果精确到 ）
解：由题意，得当点落在上，点落在
上时， 最大.设，则 ，
能够进入该安全通道的人的最大身高为 .(共8张PPT)
类型之三 与测量有关的项目化
问题
01
典例精讲
例6 [2024湖北] 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如表所示：
活动项目 测量校园中树 的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意 图 ___________________________________________ ______________________________________________
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
实施过程 如图①,①选取与树底 位于 同一水平地面的 处； ②测量， 两点间的距 离； ③站在 处，用测角仪测量 从眼睛处看树顶 的仰角 ； ④测量到地面的高度 . 如图②,①选取与树底 位于同一
水平地面的 处；
②测量， 两点间的距离；
③在 处水平放置一个平面镜，沿
射线方向后退至处，眼睛 刚
好从镜中看到树顶 ；
④测量， 两点间的距离；
⑤测量到地面的高度 .
续表
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
测量数据 ； ； . ；
；
.
备注 ①图上所有点均在同一平面 内； ， 均与地面垂直； ③参考数据： 0.64. ①图上所有点均在同一平面内；
， 均与地面垂直；
③把平面镜看作一个点，并
由物理学知识可得 .
请你从以上两种方案中任选一种，计算树 的高度.
续表
解：“测角仪”方案：
由题意，得，， ,
四边形 是矩形，
, .
，
，
，
答：树的高度为 .
“平面镜”方案：
， ，
，
，
，
，
，
，
答：树的高度为 .(共12张PPT)
类型之一 与一次函数有关的项
目化问题
01
典例精讲
例1 [2024深圳模拟] 根据如表所示素材，探索完成任务．
主题 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材一 某书店决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18
元、每本12元．
素材二 已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标
价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书
的数量少10本．
素材三 书店准备用不超过1 680元购进A，B两种图书共100本，且A种图
书不少于70本，经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标
价的八折销售，B种图书按标价销售．
问题解决
任务一 探求图书的标价
（1）请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．
解：设B种图书标价为元，则A种图书的标价为 元．
由题意，得 ，
解得.经检验， 是原方程的解，且符合题意，
此时 ，
答：A种图书的标价为27元，B种图书的标价为18元.
任务二 如何获得最大利润
（2）书店应怎样进货才能获得最大利润？
解：设购进A种图书本，则购进种图书 本．
由题意，得 ，
，
又 ，
，且 为整数.
设获得的总利润为 元，
则 ，
，
随 的减小而增大.
，且 为整数，
当时，取最大值，此时购进B种图书 （本）.
答：书店购进A种图书70本、B种图书30本才能获得最大利润．
例2 [2024深圳] 根据以下素材，探究完成任务.
主题 如何制定运输方案？
背景 2024年“618”各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大
招，年中大促销进入“白热化”.深圳各大购物中心早在5月就开始
推出“618”活动，进入6月更是持续加码.如图①，某商场为迎接“
618优惠节”，采购了若干辆购物车.
____________________________
①
素材 如图①为某商场叠放的购物车，如图②为 购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物 车车身长 ,每增加一辆购物车，车身增 加 . _______________________________________
问题解决
②
续表
任务1
（1）若某商场采购了辆购物车，求车身总长与购物车辆数 的解析式.
解：由题意，得 ，
车身总长与购物车辆数的解析式为 .
任务2
（2）若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直
立电梯长为 ,且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以
运输多少辆购物车？
解：当时， ，
解得 ，
（辆）.
答：直立电梯一次性最多可以运输18辆购物车.
任务3
（3）若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物
车，且最多只能使用电梯5次，求共有多少种运输方案？
解：设用扶手电梯运输次，直立电梯运输 次，
，
由题意，得
解得 .
为正整数，且 ，
，3，4，5， 共有4种运输方案.
