(共18张PPT)
类型之一 纯性质问题
01
典例精讲
例1 [2023南宁模拟] 已知抛物线 .
（1）如图，当抛物线经过点 时，
①求抛物线的解析式；
解： 抛物线经过点 ，
，
，
抛物线的解析式为 .
②如果，是抛物线上两点（点在点 的左侧），且两点之间的水平距
离为2，请求出这两点纵坐标之和 的最大值；
解：，是抛物线上两点（点在点 的左侧），且两点之间的水平距
离为2，
设，则 ，
，
，
当时，，两点纵坐标之和 的最大值为5.
（2）当二次函数的自变量满足 时，函数有
最大值为7，求 的值.
[答案] 二次函数图象的对称轴为直线 ，
①当 时，
自变量满足 时，函数有最大值为7，
当 时，函数取得最大值，
，
；
②当 时，
自变量满足 时，函数有最大值为7，
当 时，函数取得最大值，
，
；
③当 时，
自变量满足 时，函数有最大值为7，
当 时，函数取得最大值，
，
解得 ，均不符合题意，舍去.
综上所述，的值为4或 .
02
针对演练
1.[2024温州模拟] 已知二次函数（ 为常数）.
（1）若，当时，函数值随的增大而减小，求 的取值范围；
解： 抛物线的对称轴为直线， ，
抛物线开口向上，当时，函数值随 的增大而减小.
时，函数值随 的增大而减小，
， .
（2）若函数值在时有最大值3，求 的值.
解：由题意，得 .
函数值在 时有最大值3,
①当 时，开口向上，
当时，有最大值 ,
，
；
②当 时，开口向下，
当时，有最大值 ,
，
.
综上所述，的值是或 .
2.[2023北海模拟] 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交于，两点，与轴交于点 .
（1）求抛物线的函数解析式；
解： 抛物线与轴交于点 ，
，
，
抛物线的函数解析式为 .
（2）是抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为 ，连
接，，当的面积等于的面积时，求 的值；
解： 点是抛物线与 轴的交点，
.
的面积等于 的面积，
点的纵坐标为4或 .
①当时，点与点关于对称轴直线对称，即 .
；
②当时，即 ，
解得 ，
.
综上所述，的值为或 或3.
（3）当时，二次函数的最小值为，求 的值.
解： ，
， 抛物线开口向上.
当时， .
①当时，随 的增大而减小，
当 时，二次函数取得最小值，
即 ，
解得， （舍去）；
②当，即时，随 的增大而增大，
当 时，二次函数取得最小值，
即 ，
解得， （舍去）.
综上所述，的值为或 .(共28张PPT)
类型之二 新定义问题
01
典例精讲
例2 [2023钦州模拟] 定义：由两条与 轴有着相同的交
点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为
“月牙线”.如图①，抛物线 与抛物
线 组成一个开口向下的“月牙线”，
抛物线与抛物线与轴有相同的交点，
（点在点的左侧），与轴的交点分别为点 ，
.
（1）求出点，的坐标和抛物线 的解析式.
解：在中，令，得 ，
解得或 ，
， .
把，代入，得
解得
抛物线的解析式为 .
（2）是轴上方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线
于点，试证明 的值为定值，并求出该定值.
证明：设，则 ，
，
，
，
的值为定值，该定值为2.
（3）如图②，是点关于抛物线对称轴的对称点，连接，在 轴上是否
存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 的坐
标；若不存在，请说明理由.
解：在轴上存在点，使得是以 为腰的等腰三角形.求解过程如下：
，
抛物线的对称轴为直线 .
是点关于抛物线的对称轴直线 的对称点，
.
在中，令，得 ，
.
设 ，
，， ，
①当，为腰时， ，
该方程无实数解，
这种情况不存在；
②当，为腰时， ，
解得或 .
或 .
给定一个全新的定义、公式或法则，然后运用它去解决新问题，这类
考题考查考生的自学能力、阅读理解能力和知识迁移能力，还考查接受、
加工和利用信息的能力.
例3 [2023玉林模拟] 我们不妨约定：二次函数 的
图象与轴交于，两点，其中为顶点，当 为等腰直角三角形时，
我们称二次函数为“等腰直角函数”.
（1）求证： 为“等腰直角函数”；
证明：由题意，得 ，
解得， ，
，， ，
，， ，
，且 ，
是等腰直角三角形，
为“等腰直角函数”.
（2）如图①，在（1）的“等腰直角函数”图象中，过的中点的直线 与
二次函数的图象相交于，两点，求 面积的最小值；
解：设直线的函数解析式为，， ，
直线经过点 ，
直线的函数解析式为 ，
联立
则 ，
， ，
，
，
，
当时， 的面积有最小值为4.
（3）如图②，，为“等腰直角函数” 上不重合的两个动点，
且关于过原点的直线对称，当点的横坐标为1时，求出点 的坐标.
解：根据“等腰直角函数”可设 ，
点 的横坐标为1，
易得 .
点，关于过原点的直线 对称，
，
即 ，
解得，，， ，
当时， ，
当时， ，
当时， （不合题意，舍去），
当时， .
综上所述，点的坐标为或或 .
02
针对演练
1.[2024贵州模拟] 我们约定在二次函数，， 为常数，
中，若 ，则称该函数是“文昌函数”．例如：“文昌函数”
中，，， ，其
，即 ．
根据该约定，解答下列问题：
（1）填空：二次函数 ____“文昌函数”；（填“是”或“不是”）
是
（2）求证：“文昌函数”，，为常数， 的图象与
直线 总有两个不相同的交点；
证明：是“文昌函数”， .
联立
得 ，
整理，得 ，
，
“文昌函数”，，为常数， 的图象与直线
总有两个不相同的交点．
（3）已知是“文昌函数” 图象上的一个动点，且在直
线的下方，求， 的取值范围．
解： 是“文昌函数”，
，即 ，
，
抛物线的函数解析式为 ．
两个函数的大致图象如答图：
第1题答图
设两个函数的交点为点， ，
联立直线和抛物线的函数解析式，得 ，
解得或 ，
点，的坐标分别为， .
,
抛物线的顶点坐标为 ，
当点在 下方时，满足题设条件，
且 .
2.[2023长沙] 我们约定：若关于的二次函数 与
同时满足 ，
，则称函数与函数 互为“美美与共函数”.根据该约定，
解答下列问题：
（1）若关于的二次函数与 互为“美美
与共函数”，求，， 的值；
解：由题意可知，，， ，
，， .
（2）对于任意非零实数，，点与点始终在关于 的函
数的图象上运动，函数与 互为“美美与共函数”.
①求函数 的图象的对称轴；
[答案] 点与点始终在关于的函数
的图象上运动，
函数的图象的对称轴为直线 ，
.
，
函数的图象的对称轴为直线 .
故函数的图象的对称轴为直线 .
②函数 的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定
点的坐标；否则，请说明理由.
[答案] ，
令 ，
解得， .
故函数的图象过定点， .
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于的二次函数 与
它的“美美与共函数”的图象顶点分别为点，点，函数的图象与 轴交
于不同的两点，，函数的图象与轴交于不同的两点，.当
时，以，，， 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面
积的取值范围；若不能，请说明理由.
解：由题意可知， ，
， ，
， ，
且 ，
.
第2题答图
Ⅰ.若，则， ，
要使以，，， 为顶点的四边形能构成正方形，如答
图，则， 为等腰直角三角形，
，
，
，
，
.
，
，
；
Ⅱ.若，则点，关于轴对称，以，，， 为顶点的四边形不能构
成正方形.
综上所述，当时，以，，， 为顶点的四边形能构成正方形，此
时正方形面积的取值范围为 .
