(共14张PPT)
类型之五 行程问题
01
典例精讲
例5 [2024原创] 某地区在同一直线上依次有甲、
乙、丙三座城市，一列快车从甲市出发匀速行
驶开往丙市，一列动车从丙市出发匀速行驶往
返于乙、丙两座城市，两列火车同时出发.如图
（1）填空：甲、乙两市相距_____，图中的值为____， 的值为_____；
200
4.5
500
是两列火车离甲市的距离与行驶时间 之间的函数图象，请你结合
图象信息，解决下列问题：
（2）求动车从乙市返回多长时间时与快车相遇；
解：设快车离甲市的距离与行驶时间之间的函数关系式为 ，
把点代入，得 ，
解得 ，
.
设动车从乙市返回时，离甲市的距离与行驶时间 之间的函数关系
式为 ，
将， 代入，得
解得
.
联立解得 .
.
答：动车从乙市返回 时与快车相遇.
（3）请直接写出快车出发多长时间两列火车（都在行驶时）相距 .
解：设动车从丙市出发时，离甲市的距离与行驶时间 之间的函数
关系式为 ，
把， 代入，得
解得
.
当 时，
，
解得 ；
当 时，
，
解得 ；
当 时，
，
解得 .
综上所述，快车出发或或 时两列火车（都在行驶时）相距
.
02
针对演练
1.[2024齐齐哈尔] 领航无人机表演团队进行
无人机表演训练，甲无人机以 的速度从
地面起飞，乙无人机从距离地面 高的楼
顶起飞.甲、乙两架无人机同时匀速上升，
时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上
升并开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升.当甲、乙两架无人
机按照训练计划准时到达距离地面的高度为时，进行了时长为 的联
合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在
的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间 之间的函数关系如图
所示．请结合图象解答下列问题：
（1）___，____ ；
8
20
[解析] 由题意，得甲无人机的速度 ，
.
（2）求线段 所在直线的函数解析式；
解：由图象知， ，
甲无人机的速度为 ，
甲无人机匀速从到所用时间为 ，
甲无人机单独表演所用时间为 ，
，
.
设线段所在直线的函数解析式为 ，
将， 代入，
得解得
线段所在直线的函数解析式为 ．
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为 ？
（直接写出答案即可）
解：设点为点，点为点 .
由题意，得线段所在直线的函数解析式为 ，
线段所在直线的函数解析式为 ，
线段所在直线的函数解析式为 ，
当 时，由题意，得
，
解得或 （舍去），
当 时，由题意，得
，
解得或 （舍去），
当 时，由题意，得
，
解得或 （舍去），
综上所述，两架无人机表演训练到或或 时，它们距离地面的高度
差为 ．(共16张PPT)
类型之四 方案问题
01
典例精讲
例4 [2023南宁模拟] 为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策.
该省的A市有物资，B市有 物资.经过调研发现该省的甲乡需要
物资，乙乡需要 物资.于是决定由A，B两市负责援助甲、乙两乡.
已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/，150元/ ，从B市往
甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/，100元/ .
（1）设从A市往甲乡运送 物资，从A，B两市向甲、乙两乡运送物资的总
运费为元，求关于 的函数解析式；
解： ，
，，， ，
的取值范围是 ，
关于的函数解析式为 .
（2）请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费.
解： ，
随 的增大而增大.
当时，取得最小值，最小值为 （元），
此时从A市往甲乡运送物资，从A市往乙乡运送 物资，从B市往甲
乡运送物资，从B市往乙乡运送 物资.
答：运费最低的运送方案是：从A市往甲乡运送 物资，从A市往乙乡运
送物资，从B市往甲乡运送物资，从B市往乙乡运送 物资，最低
运费为45 500元.
【规律总结】
方案选取（设计）问题一般有以下几种解决方法：
1.由不等式确定自变量的取值范围后，取其整数解，将每一个符合题意
的整数解定为一种方案：将每一个解代入相应的关系式中，求出每组方案
的值，即可确定最优方案，有时，也会根据函数的增减性及自变量的取值
求最小费用；
2.若题中含有两种方案，且多为一次函数，在符合题意的范围内，根据
自变量的取值范围直接代入求值比较，选取最优方案；或者画出函数的图
象，根据图象的增减性比较，确定最优方案.
02
针对演练
1.[2024河池模拟] 某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/ ，
按标价出售，不优惠．乙店标价530元/，但若买的铂金饰品质量超过 ，
则超出部分可打八折出售．
（1）分别写出到甲、乙两个商店购买该种铂金饰品所需费用 （元）和质
量 之间的函数关系式.
解： .
（2）李阿姨要买一条质量不少于且不超过 的此种铂金饰品，到哪个
商店购买最合算？
解：由，得，则 ．
由，得，则 ．
由，得，则 ．
当 时，到甲、乙两个商店购买费用相同；
当 时，到甲商店购买合算；
当 时，到乙商店购买合算.
2.[2024梧州模拟] 综合与实践.
如何设计购买方案？
素材1 某班50名同学要去南宁市周边的伊岭岩景区参加“非遗传承，研学
之旅”活动，已知景区分为壮文化大观园、溶洞、扎染体验馆三个
场馆，且购买1张壮文化大观园门票和1张溶洞门票共需50元，购买
3张壮文化大观园门票和2张溶洞门票共需120元．扎染体验馆门票
为每张12元．
素材2 由于场地原因，要求到壮文化大观园参观的人数要多于到溶洞参观
的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠
活动：每购买1张溶洞门票就赠送1张扎染体验馆门票．
问题解决
任务1 确定场馆 门票价格 （1）请分别求出壮文化大观园和溶洞的门票单价．
任务2 探究经费 的使用 （2）若购买溶洞的门票赠送的扎染体验馆门票刚好
够参观扎染体验馆的同学使用，求此次购买门票所
需总金额的最小值．
任务3 拟定购买 方案 （3）若购买门票总预算为680元（全部花完且每个
场馆都有人去），要能让去壮文化大观园的人数尽
量的多，请你设计一种最佳购买方案．
续表
解：（1）设1张壮文化大观园门票为元，1张溶洞门票为 元.
由题意,得
解得
答：1张壮文化大观园门票为20元，1张溶洞门票为30元.
（2）设购买溶洞门票张，则购买壮文化大观园门票 张，此次购
买门票所需总金额为 元.
由题意，得 ,
解得 ，
.
，
随 的增大而减小.
，且 为整数，
当时， 取得最小值，最小值为
．
答：此次购买门票所需总金额的最小值为840元．
（3）设购买壮文化大观园门票张，溶洞门票 张，则购买扎染体验馆门
票 张.
由题意，得 ，
.
又, 均为正整数，
或或
共有3种购买方案，
方案1：购买7张壮文化大观园门票，4张溶洞门票，
（张）扎染体验馆门票；
方案2：购买4张壮文化大观园门票，8张溶洞门票，
（张）扎染体验馆门票；
方案3：购买1张壮文化大观园门票，12张溶洞门票，
（张）扎染体验馆门票.
又 在不超额的前提下，要让去壮文化大观园的人数尽量的多，
选择方案1，即购买7张壮文化大观园门票，4张溶洞门票，35张扎染体验
馆门票．(共17张PPT)
类型之一 销售利润问题
01
典例精讲
例1 [2024原创] 某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和
100本精装练习本的销售总额为1 450元；200本普通练习本和50本精装练习
本的销售总额为1 100元.
（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少.
解：设普通练习本的销售单价为 元/本，精装练习本的销售单价为n元/本.
由题意，得
解得
答：普通练习本的销售单价为3元/本，精装练习本的销售单价为10元/本.
（2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练
习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/本，精装练习本的进价为7元
/本，设购买普通练习本本，获得的利润为 元.
①求关于的函数解析式（要求写出自变量 的取值范围）；
[答案] 若购买普通练习本本，则购买精装练习本 本.
由题意，得 .
普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，
，解得 ，
即关于的函数解析式是 .
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润.
[答案] ， ,
随 的增大而减小，
，
当时，取得最大值，此时， .
答：当购买375本普通练习本，125本精装练习本时，该商店销售总利润最
大，最大利润为750元.
【规律总结】
销售利润问题中常出现的量有售价、标价、进价、销量、利润、利润
率、折扣，涉及的等量关系有：
售价折扣数 标价，
利润率，
总利润（售价-进货单价） 销量销售收入-进货成本.
常涉及以下设题方式：
模型一：已知某商品的进价、售价和每天平均销量，且售价每降低1元，
销量增加件，则每件商品降价元，平均每天盈利元，求与 之间的函
数关系式；
解法突破：商品降价元时，销量增加件，根据“总利润
（售价-进货单价） 销量”列出函数关系式：（售价进价）
（平均销量 ）.
模型二：已知每件商品的成本以及销量与售价的一次函数关系式，求
利润与售价之间的关系式；
解法突破：根据“总利润（售价-成本） 销量”列二次函数关系式.
模型三：已知A，B两种商品每件商品的利润以及A，B两种商品销量之
间的不等关系，求利润与销量的函数关系式；
解法突破：根据“总利润的利润的销量的利润 的销量”列
一次函数关系式.
02
针对演练
1.[2024桂林模拟] 2024年是中国农历甲辰龙年．春节前，某商场进货员计
划进货“吉祥龙”和“如意龙”两种公仔吉祥物，发现用 元购进的“吉祥龙”
公仔的数量是用2 500元购进的“如意龙”公仔的数量的2倍，且每个“吉祥龙”
的进价比“如意龙”贵5元．
（1）一个“吉祥龙”公仔、一个“如意龙”公仔的进价分别是多少元？
解：设一个“吉祥龙”公仔的进价是 元，则一个“如意龙”公仔的进价是
元.
由题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
，
答：一个“吉祥龙”公仔的进价是30元，一个“如意龙”公仔的进价是25元.
（2）为满足消费者的需求，该商场购进“吉祥龙”和“如意龙”两种公仔吉祥
物共200个，“吉祥龙”公仔的售价定为50元，“如意龙”公仔的售价定为40元，
若全部售出的总利润不低于3 400元，则至少要购进多少个“吉祥龙”公仔？
解：设要购进个“吉祥龙”公仔，则购进 个“如意龙”公仔.
由题意，得 ，
解得 ，
答：至少要购进80个“吉祥龙”公仔.
2.[2024玉林模拟] 螺蛳粉入选国家级非物质文化遗产名录．为满足广大消
费者的需求，某超市购进A，B两种品牌螺蛳粉，已知A品牌螺蛳粉比B品牌
螺蛳粉每袋进价少2元，用3 500元购进A品牌螺蛳粉与用4 500元购进B品牌
螺蛳粉的数量相同．
（1）A，B两种品牌螺蛳粉每袋的进价分别是多少元？
解：设A品牌螺蛳粉每袋的进价是 元，则B品牌螺蛳粉每袋的进价是
元.
由题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：A品牌螺蛳粉每袋的进价是7元，B品牌螺蛳粉每袋的进价是9元.
（2）本次购进A，B两种品牌螺蛳粉共900袋，每袋均按12元出售，且购进
A品牌螺蛳粉的数量不超过B品牌螺蛳粉数量的2倍．若该批螺蛳粉全部售完，
则该超市应购进A，B两种品牌螺蛳粉各多少袋才能获得最大利润？最大利
润是多少元？
解：设购进A品牌螺蛳粉袋，则购进B品牌螺蛳粉 袋，
由题意，得 ，
.
设超市获得利润为 元，
由题意，得 ，
，
随 的增大而增大，
当时，的值最大， ，
此时， ，
答：该超市应购进A种品牌螺蛳粉600袋，B种品牌螺蛳粉300袋，才能获得
最大利润，最大利润是3 900元．(共9张PPT)
类型之二 增长率问题
01
典例精讲
例2 [2024原创] 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”
的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4
月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率.
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为 .
由题意，得 ，
解得， （不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 .
（2）若此种头盔的进价为25元/个，经过市场调查发现，当售价为40元/个
时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减
少10个，为使月销售利润达到7 000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品
牌头盔的实际售价应定为多少？
解：设该品牌头盔的实际售价应定为 元/个.
由题意，得 ，
整理，得 ，
解得， .
要尽可能让顾客得到实惠，
.
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元.
02
针对演练
1.[2022防城港模拟] 为提高教学质量，市教育局准备采购若干套投影设备升
级各学校教学硬件，经考察，某公司有A，B两种型号的投影设备可供选择.
（1）该公司2022年年初每套A型投影设备的售价为2.5万元，经过连续两次
降价，年底每套售价为1.6万元，求每套A型投影设备的年平均下降率 .
解：由题意，得 ，
即 ，
，
解得， （不合题意，舍去）.
答：每套A型投影设备的年平均下降率为 .
（2）2022年年底市教育局经过招标，决定采购并安装该公司A，B两种型号
的投影设备共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每
套A型投影设备售价为1.6万元，每套B型投影设备售价为 万元，
则A型投影设备最多可购买多少套？
解：设购买A型投影设备套，则购买B型投影设备 套.
由题意，得 ，
整理，得 ，
解得 .
答：A型投影设备最多可购买40套.(共19张PPT)
类型之三 购买、分配类问题
01
典例精讲
例3 [2024原创] 广西壮族自治区策划
了以“爱我广西，爱我南宁”为主题的
宣传月活动，某班开展了此项活动的
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了？
解：设每支为6元的钢笔买了支，则每支为10元的钢笔买了 支.
由题意，得，解得 .
钢笔的数量不可能是小数，
学习委员搞错了.
知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员的对话如下图：
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，
但笔记本的价格已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么这
本笔记本的单价可能是多少元？
解：设这本笔记本为 元.由题意，得
，
整理，得 .
，随 的增大而增大，
.
取整数， 或21.
当时， ；
当时， .
答：这本笔记本的单价可能是2元或6元.
【规律总结】
以分配类问题中购买商品为例，常出现的量有购买数量、单价及购买
金额，常见等量关系式：单价×数量总价.
1.以购买商品背景为例常考以下几种形式：
模型一：已知A，B的单价、总数量及总花费，求A，B各自购买数量.
解法突破：
A的数量+B的数量=总数量，
A的单价A的数量+B的单价 B的数量=总花费
或A的单价的数量的单价 （总数量的数量） 总花费.
模型二：已知购买一定数量的A和一定数量的B的总花费（两组信息），
求A，B的单价.
解法突破：
步骤一：分别设出A，B的单价；
步骤二：根据“A的单价的数量的单价的数量 总花费”列二元
一次方程组.
模型三：已知A，B的单价关系、总数量及分别购买A，B的花费，求A，
B的单价.
解法突破：
步骤一：设A的单价，用A的单价表示B的单价；
步骤二：根据“ ，B数量的倍数关系”或“
，B数量的差值关系”列分式方程.
2.分配类问题常涉及不等式、一次函数，审题时留意“至少 ”“最多
”“不低于”“不超过 ”等字眼，常涉及以下设题方式：
模型一：已知A，B的单价，购买A，B的总数，求购买费用不超过 时，
至少（最多）购买A或B的数量；
解法突破：根据“A的单价的数量的单价 （总数量 的数量）
”列不等式.
模型二：已知A，B的单价，购买A，B的总数量及A，B数量之间的不
等关系，求购买A，B总花费最少的方案.
解法突破：先根据A，B数量之间的关系得到A的取值范围；再根据“总
花费的单价的数量的单价 （总数量 的数量）”列总花费关于
A的购买数量的一次函数关系式.
02
针对演练
1.[2024南宁模拟] 端午节是我国传统节日，有吃粽子的习俗．已知某顾客
端午节前在超市购买豆沙粽10个、肉粽12个，共付款136元，且肉粽的单价
是豆沙粽的2倍．
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
解：设豆沙粽的单价是元，肉粽的单价是 元.
由题意，得
解得
答：豆沙粽的单价是4元，肉粽的单价是8元.
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时可以优惠，下表列出了小欢
妈妈、小乐妈妈的购买数量（个）和付款金额（元）：
购买人 豆沙粽数量/个 肉粽数量/个 付款金额/元
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价.
[答案] 设豆沙粽优惠后的单价是元，肉粽优惠后的单价是 元.
由题意，得
解得
答：豆沙粽优惠后的单价是3元，肉粽优惠后的单价是7元.
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，
每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽
子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有个豆沙粽， 个肉粽，A包
装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包
装的销量分别为包， 包，A，B两种包装的销售总额为
17 280元．求 的值．
[答案] 由题意，得
，
整理，得 ，
解得， ．
,
, .
2.[2022宿迁] 某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活
动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超
过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的六折售卖；乙超市全部按标
价的八折售卖.
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为____
元，在乙超市的购物金额为_____元；
300
240
[解析] ， 在甲超市的购物金额为 （元），在
乙超市的购物金额为 （元）.
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
解：设购买 件这种文化用品.
当 时，
在甲超市的购物金额为 元，
在乙超市的购物金额为 （元）.
， 选择乙超市支付的费用较少；
当 时，
在甲超市的购物金额为 元，
在乙超市的购物金额为 （元）.
若，则 ；
若，则 ；
若，则 .
综上所述，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；
当购买数量为80件时，选择甲、乙两超市支付的费用相同；
当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少.
