(共21张PPT)
类型之一 与圆的基本性质结合
01
典例精讲
例1 [2023河池模拟] 已知的直径，弦与弦相交于点 ，
，垂足为 .
（1）如图①，如果，求弦 的长；
解： ，
， .
又 ，
，即 ，
，
，
.
，
，
，
.
（2）如图②，如果为弦的中点，求 的值；
例1答图①
解：如答图①，连接 .
为的直径， ，
，
， .
， ，
，
， .
又 ，
是 的中位线.
设，则 ，
，
，解得 ，
则， ，
.
， ，
.
（3）连接，，，如果是的内接正边形的一边，是
的内接正边形的一边，求 的面积.
例1答图②
解：如答图②.
是的内接正边形的一边，是 的内接正
边形的一边，
， ，
则 ，
解得或 （不合题意，舍去）.
， ，
.
，
，
，
.
02
针对演练
1.[2024桂林模拟] 已知 为
的外接圆， ，
为圆上任意一点（不与点， 重
合），且，两点分别位于直径
的两侧，过点分别作 于点
，交的延长线于点 .
（1）若经过圆心，如图①所示，求证：与 相切；
证明： ，， ，
四边形 为矩形，
，
，
经过圆心 ，
为 的半径，
与 相切.
（2）在（1）的条件下，连接交于点，如图①所示，若为 的中
点，的半径为5，求 的长；
解：为的外接圆， ，
经过点 ，
即为 的直径.
的半径为5，
.
，
，
.
，
为 的中位线，
.
为 的中点，
，
.
，
，
，
.
（3）如图②，若为的中点，交于点，连接，若 ，求
的值.
解：为的中点， 为直径，
.
，
设，则 ，
，
，
， ，
，
，即 ,
，
.
由（1）知，四边形 为矩形，
.
，
，
，
，
，
.
2.[2023南宁模拟] 如图，在半径为4的中，，是两条直径， 为
的中点，的延长线交于点，且.连接， .
（1）求证： ；
证明：如答图，连接， .
, ，
， ，
，
，
.
（2）求 的长；
解：是 的直径，
，
.
，，且 为正数，
.
为 的中点，
， ，
，且 ，
.
（3）求 的值.
第2题答图
解：如答图，过点作，垂足为 .
， ，
，
，
，
.(共27张PPT)
类型之三 与切线的判定结合
01
典例精讲
例3 [2024贵港模拟] 如图，为的直径，交于点， 为
上一点，延长交于点，延长至点，使，连接 .
（1）求证：为 的切线；
例3答图
证明：如答图，连接 ，
，
.
，
，
，
.
,
，
，
即 ，
，
是 的半径，
为 的切线.
（2）若且，求 的半径.
解：设的半径,则 ，
, .
在 中，由勾股定理，得
，
，
解得或 （舍去），
的半径为3.
02
针对演练
1.[2023贵港模拟] 如图，是的切线，是切点，是直径， 是弦，
连接，，交于点，且 .
（1）求证：是 的切线；
第1题答图
证明：如答图，连接， .
是 的切线，
， .
，， ，
. ，
.
是 的半径，
是 的切线.
（2）若，求 的值.
第1题答图
解：如答图，连接，设交于点 .
是直径，
，
.
， 都是切线，
.
， ，
垂直平分线段 ，
.
，
，
是 的中位线，
，设，则 .
， ，
，
.
，
，设 ，
则有 ，
解得 （负值已舍去），
.
，
.
2.[2024柳州模拟] 如图，是的直径，点在的延长线上， 与
相切于点.连接， .
（1）求证： ;
第2题答图
证明：连接 ，如答图.
与相切于点 ，
，
，
即 .
是 的直径，
，
即 ，
.
，
，
.
（2）若，，求 的半径.
解：， ，
，
.
在 中，
，
，
.
设的半径为,则, ，
在中， ，
解得 ，
即的半径为 .
3.[2023南宁模拟] 如图，直线与相离，于点，与 相交于点
，是直线上一点，连接并延长，交于点，且 .
（1）求证：是 的切线；
第3题答图
证明：如答图，连接，则 .
.
， .
， ，
，
，
， .
是 的半径，
是 的切线.
（2）若，求线段 的长.
第3题答图
解：如答图，过点作于点 .
，
设， ，
， .
，
，
解得, （不合题意，舍去），
， ，
，
.
， ，
，
，
.
， ，
.
规范性答题：圆的证明与计算
规范答题注意事项
1. 解答要先写“
1.解：”；第题需要写出“证明：”；
2.求解时若需要作辅助线，用虚线表示；
3.每一步推理证明需要有理有据、条理清楚、步骤到位，不能“跳步”；
4.求解过程中，如果需要列方程，注意设未知数.
例 （10分）如图，是的直径，为线段 上一点
（不与点，重合），作，交于点 ，作直
径，过点的切线交的延长线于点，作 于
点，连接 .
（1）求证：平分 ；
解：规范解答 证明：是的切线， .（1分）
，， .
， ，（2分）
，即平分 .（3分）
（2）求证： ；
证明：， .
是的切线， ，
，（4分）
， ，
.
是的直径， ，
，（5分）
，
.（6分）
（3）当且时，求弦与其所对的劣弧 所组成的弓形面积.
答图
解：过点作于点 ，如答图.
则，设 .（7分）
，
， .
， ，
，
，（8分）
，
， ，
，
， .
， ，
弦与其所对的劣弧 所组成的弓形面积为
.（10分）
[解析] 评分标准
证明垂直得1分.
证明角相等得1分.
证得角平分线得1分.
证得直角得1分.
证得三角形相似得1分.
证得比例关系得1分.
作出辅助线，设出相关的量得1分.
证得三角形相似得1分.
求得弓形的面积得2分.(共15张PPT)
类型之二 与切线的性质结合
01
典例精讲
例2 [2024玉林模拟] 在中，和互余，是上一点，以
为直径作切于点，连接 .
（1）如图①，若 ，求 的度数；
①
例2答图
解：如答图，连接 .
和互余， ，
，
，
.
是 的切线，
，
，
.
，
，
，
.
（2）如图②，与交于点，是的中点，，求 的半径.
②
例2答图
解：如答图，连接 .
由（1）知， ，
.
是 的中点，
，
，
，
，
在中，， ，
，
，
为 的直径，
，
，
在中， ，
，
,
的半径为2.
02
针对演练
1.[2023贺州模拟] 如图，已知点，，， 都在
上，连接，，，，，与
相交于点，平分，交 的延长线于
点，且 .
（1）判断与 的位置关系，并说明理由；
第1题答图
解：与 相切.理由如下：
如答图，连接平分 ，
，
，为 的中点.
.
，
， .
是 的半径，
与 相切.
（2）求证： ；
证明：由（1）知，， ，
，， ，
，
，
.
（3）若，，当为何值时， 为等腰三角形？
第1题答图
解：如答图，设交于点，连接，过点 作
于点 ，
则 .
， ，
， ，
，
， ，
.
当为等腰三角形时， ，
，
，
，
.
即当时， 为等腰三角形.
目录
CONTENTS
eflis e
02
A
E
B
C
0
D
A
E
B
C
D
解：如答图，连接0E
:∠ABC和上C互余，.∠AB
.∠ABC=50°
:AE是⊙O的切线
.ㄥ0EC=90°=∠A
.OE//AB
.∠BO=∠ABF
OB=OE
∠BEO=∠CBE
ABE=∠CBE
∠ABE
=∠ABC=25
A
E
B
C
D
解：如答图，连接DE
由(1)知，∠ABE=∠CBE,
∴.EF=ED
F是B的中点，
.EF=ED=BF
∠DO
·∠ABE=∠CBE=30
在Rt△ABE中，AB=3,AE2十AB2=BE2,
(BE)2+32=B2
.BE=2V3,
:BD为⊙O的直径
.∠BED=90°
DE =BD
在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2
(2W3)2+(BD)2:
.BD=4,
⊙0的半径为2.
A
0°
B
F
C
E
D
A
B
F
G
C
I
E
D
解：DE与⊙O相切理由如下
如答图，连接OD.'AD平分∠BAC,
D为BC的中点
AFB
.BC//DE,OD
:OD是⊙O的半径
.DE与⊙O相切.
