(共17张PPT)
类型之一 新函数性质探究问题
01
典例精讲
例1 [2024广西模拟] 【阅读与思考】
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些
抽象的数学问题直观化、生动化，有助于把握数学问题的本质，使用数形
结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简单．在解决函数类型的问题
时，我们常常使用数形结合的方法，所以我们要先画出函数的图象．
例如：画函数的图象．我们知道当时，得到函数 ；
当时，得到函数，所以函数 的图象如图①所示．
【类比探究】
（1）根据表格，在图②中画出函数 的图象.
… 0.25 0.5 1 2 3 4 …
… 0.5 1 4 4 2 1 0.5 0.25 …
表中，___， __.
2
解：画出函数 的图象如答图①所示．
例1答图①
（2）观察函数 的图象，写出这个函数的两条性质．性质1：________
____________________________________；性质2：____________________
_______________________.
当时，随的增大而增大（答案不唯一）
当时，随的增大而减小（答案不唯一）
（3）根据图象直观判断：函数与函数 的图象的交点坐标为
______________．
、
[解析] 函数与函数 的图象如答图②：
例1答图②
函数与函数的图象的交点坐标为， ．
【延伸拓展】
（4）在图②中画出函数的图象，平移直线得到直线 ，
观察并直接回答：
当为何值时，直线与函数的图象只有一个交点？当
为何值时，直线与函数的图象有两个交点？当 为何值时，
直线与函数 的图象有三个交点？
例1答图③
解：在同一坐标系画出函数, 的图象，
平移直线得到直线 ，如答图③.
由图象可知，当时，直线 与函
数的图象只有一个交点；当 时，直线
与函数 的图象有两个交点；当
时，直线与函数 的图象有三
个交点．
02
针对演练
1.某班数学兴趣小组对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：表中是与的几组对应值，其中 ___；
…
…
1 2 4 …
…
2
[解析] 把代入，得， .
②描点：根据表中的数据描点，请补充描出点 ；
解：如答图所示.
第1题答图
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整.
解：如答图所示.
第1题答图
（2）探究函数性质
①对称性：____________________；
关于原点成中心对称
[解析] 根据列表可得：关于原点成中心对称；
②最值：当 时，此函数有最____值（填“大”或“小”）；
大
[解析] 观察图象，在 轴左侧，图象有最高点，所以函数有最大值；
③增减性：若随的增大而减小，则 的取值范围是____________________
_____.
或
[解析] 若随 的增大而减小，在图象上会呈现出下降趋势，所以
或 .
（3）函数图象和性质的运用
已知矩形一边的长为，面积为1，相邻两边之和为，当 为何值时，
的值最小？
解： 矩形一边的长为 ，面积为1，
矩形的另一边的长为 ，
则 ，
由图象可知：当时， 的值最小.(共16张PPT)
类型之三 分析实际问题、探究
函数
01
典例精讲
例3 [2023北京] 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略，部分内
容如下：
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为 ，要求
清洗后的清洁度为0.990.
方案一：采用一次清洗的方式：
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990.
方案二：采用两次清洗的方式：
记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为 个单位质量，总用水
量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为 .记录的部分实验数
据如下表：
11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
0.99 0 0.98 9 0.99 0 0.99 0 0.99 0 0.99 0 0.99 0 0.98 8 0.99 0 0.99 0 0.99
0
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容.
（Ⅰ）选出 是0.990的所有数据组，并划“√”；
解：划“√”如下：
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量 和
总用水量 之间的关系，在图中的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约
为___个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小.
根据以上实验数据和结果，解答下列问题：
4
解：4; 解：函数图象如答图：
例3答图
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式
相比，可节水约_____个单位质量（结果保留小数点后一位）；
11.3
[解析] 当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
，
即可节水约11.3个单位质量.
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水
量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度___（填“ ”“”或“ ”）.
[解析] 由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位
质量，则清洗后的清洁度能达到 ，故当第一次用水量为6个单位质
量，总用水量为7.5个单位质量时，清洗后的清洁度.故答案为 .
02
针对演练
1.小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图①，是上一动点，线段，是线段的中点，过点 作
，交的延长线于点.连接，当 为等腰三角形时，求线
段 的长度.
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合
学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段， ，
的长度，得到下表的几组对应值.
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 3.9 2.4 0
8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0
①
②
操作中发现：
①“当为的中点时，”，则上表中 的值是____；
5.0
[解析] 为 的中点，
，
，
.
②“线段 的长度无需测量即可得到”，请简要说明理由.
解：是线段 的中点，
.
， .
又 ，
，
，
线段 的长度无需测量即可得到.
（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是 的函数，分别记
为和，并在平面直角坐标系中画出了函数 的图象，如图②所示.
请在同一坐标系中画出函数 的图象.
解：函数图象如答图①所示.
第1题答图①
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当
为等腰三角形时，线段 长度的近似值（结果保留一位小数）.
第1题答图②
解：由题意画出函数 的图象.
由图象可得，当，或 时，
为等腰三角形.（答案不唯一）(共22张PPT)
类型之五 新知识学习型阅读题
01
典例精讲
例5 [2023鄂州] 某数学兴趣小组运用《几何画板》软
件探究 型抛物线图象.发现：如图①，
该类型图象上任意一点到定点的距离 ，始
终等于它到定直线的距离 （该结论不需
要证明）.他们称：定点为图象的焦点，定直线为图象的准线，
叫做抛物线的准线方程.准线与轴的交点为.其中原点为 的中点，
.例如，抛物线，其焦点坐标为 ，准线方程为
，其中， .
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线 的方程：______，
________.
【技能训练】
（2）如图②，已知抛物线上一点到焦点 的距离
是它到轴距离的3倍，求点 的坐标.
解：由（1）知抛物线的焦点的坐标为 ，
点到焦点的距离是它到 轴距离的3倍，
，
整理，得 .
又 ，
，
解得或 （舍去），
， 点的坐标为 .
【能力提升】
（3）如图③，已知抛物线的焦点为 ，准
线为.直线交轴于点 ，抛物线上
动点到轴的距离为，到直线的距离为 ，请
直接写出 的最小值.
例5答图①
解：如答图①，过点作 直线交于点，过点
作 准线交于点 ，结合题意和（1）中结论可知
， ，
若使得取最小值，即 的值最小，故
当，，三点共线时， ，即此
刻 的值最小.
直线与直线垂直，故设直线 的函数解析式为
，
将代入，解得 ，
直线的函数解析式为 .
点是直线和直线 的交点，
令，解得 ，
故点的坐标为 ，
.
即的最小值为 .
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至
.抛物线内有一定点
，直线过点且与轴平行.当动点在该抛物线上运
动时，点到直线的距离始终等于点到点的距离（该结论不需要证
明）.例如：抛物线上的动点到点的距离等于点
到直线的距离.
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图④，是第二象限内一定点，是抛物线 上一
动点.当取最小值时，请求出 的面积.
例5答图②
解： 抛物线中 ，
， ，
抛物线的焦点坐标为，准线 的方程为
，
如答图②，过点作 准线交于点 ，结合题意和（1）中结论可知
，则 .
若使得取最小值，即的值最小，故当，， 三点共线
时，，即此刻 的值最小,如答图③.
点的坐标为， 准线 ，
点的横坐标为，代入，得 ，
即， ，
则的面积为 .
例5答图③
02
针对演练
1.[2024威海] 定义新运算：
①在平面直角坐标系中，，表示动点从原点出发，沿着 轴正方向
或负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向 或负
方向平移个单位长度.例如，动点从原点出发，沿着 轴负方向平
移2个单位长度，再沿着轴正方向平移1个单位长度，记作， .②加法
运算法则：，，，，其中，，， 为实数.若
，，， ，则下列结论正确的是( )
B
A.， B.，
C.， D.，
2.[2024北京] 在平面直角坐标系中，的半径为1.对于的弦 和不在
直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在 上或
其内部，且 ，则称点是弦的“ 可及点”.
（1）如图，点， .
①在点，，中，点____是弦
的“ 可及点”，其中____ ；
45
②若点是弦的“ 可及点”，则点 的横坐标的
最大值为_ ____.
（2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点 是
弦的“ 可及点”.记点的横坐标为，直接写出 的取值范围.
第2题答图①
解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于 的对
称圆 ，
若点关于直线的对称点在 上或其内部，且
，则称点是弦的“ 可及点”，
点应在 的圆内或圆上，
点需要在 的圆内或圆上，
作出的外接圆，连接， ，如答图①.
点在以点为圆心，为半径的上运动（不包括端点， ），
，
.
由对称，得点，在 的垂直平分线上，
的外接圆为 ，
点也在的垂直平分线上，记与交于点 ，
，
.
随着的增大，会越来越靠近 ，如答图②,当点
与点重合时，点在 上，即为临界状态，此时
最大， ，
如答图③,连接， ，
，
当最大，即时，此时 为等边三角形，
由上述过程知 ，
，
当时， 的最大值为2.
第2题答图③
第2题答图②
设 ，则
，解得
，
如答图④,记直线与交于点，，与 轴
交于点，过点作轴于点 ，
在直线 中，
当时， ，
当时， ，
， ,
，
第2题答图④
.
， 为等边三角形，
，
，， ，
的取值范围是或 .(共8张PPT)
类型之四 跨学科型问题
01
典例精讲
例4 [2024北京] 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的
建设.北京数字经济算力中心目前已部署上架和调试的设备的算力为
（ 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，
累计实现的算力将是目前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到
，则 的值为( )
D
A. B. C. D.
02
针对演练
1.[2024重庆A卷] 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )
C
A. B. C. D.
2.[2024山西] 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，
重力的方向竖直向下，支持力 的方向与斜面垂直，摩擦力
的方向与斜面平行.若斜面的坡角 ，则摩擦力 与
重力方向的夹角 的度数为( )
C
A. B. C. D.
3.[2024内江] 如图所示的电路中，当随机闭合开关
,, 中的两个时，灯泡能发光的概率为( )
A
A. B. C. D.
4.[2024重庆A卷] 烷烃是一类由碳、氢
元素组成的有机化合物质.如图是这类
物质前四种化合物的分子结构模型图，
B
A.20 B.22 C.24 D.26
其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种（如图①）有4个氢原子，第2
种（如图②）有6个氢原子，第3种（如图③）有8个氢原子， 按照这一
规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是( )
5.[2024河南] 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，
插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行
研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流 与使用电器的总功率
的函数图象（如图①），插线板电源线产生的热量与 的函数
图象（如图②）.下列结论错误的是( )
C
A.当时，
B.随 的增大而增大
C.每增加， 的增加量相同
D.越大，插线板电源线产生的热量 越多(共26张PPT)
类型之二 分析几何问题、探究
图象的性质
01
典例精讲
例2 [2023江西] 综合与实践.
【问题提出】
某兴趣小组开展综合实践活动：在中， ，为 上一
点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点 出发，在三角形边上
沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形.设点
的运动时间为，正方形的面积为，探究与 的关系.
【初步感知】
（1）如图①，当点由点运动到点 时，
①当时， ___；
②关于 的函数解析式为___________.
3
（2）当点由点运动到点时，经探究发现是关于 的二
次函数，并绘制成如图②所示的图象.请根据图象信息，求
关于的函数解析式（要求写出自变量 的取值范围）及线
段 的长.
例2答图①
解：如答图①，当点运动到点处时， ，当
点运动到点处时， ，抛物线的顶点坐标为
，
， .
.
设，将代入，得 ，解得
，
.
.
在中， ，
，
关于的函数解析式为 .
【延伸探究】
（3）若存在3个时刻，，对应的正方形 的面积均相等.
① ___；
4
例2答图②
[解析] 如答图②，则 ，
， .
，即 ，
， .
， .
存在3个时刻，，对应的正方形 的面积均相等，
.
，
在和 中，
.
， .
②当时，求正方形 的面积.
解：， ，
，
.
.
， .
，. .
02
针对演练
①
1.[2022郴州] 如图①，在中， ，
，.点从点出发，沿线段 向终
点运动.过点作的垂线，与的直角边（或 ）
相交于点.设线段的长为，线段的长为 .
（1）为了探究变量与之间的关系，对点在运动过程中不同时刻 ，
的长度进行测量，得出下表中几组数据：
变量 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
变量 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0
在平面直角坐标系中，以变量的值为横坐标，变量 的值为纵坐标，描点
如图②；以变量的值为横坐标，变量 的值为纵坐标，描点如图③.
②
③
根据探究的结果，解答下列问题：
①当时，____；当时， ______.
1.5
1或3
②将图②、图③中描出的点顺次连接起来.
解：如答图.
第1题答图
③下列说法正确的是___（填“A”或“B”）.
A.变量是以 为自变量的函数
B.变量是以 为自变量的函数
A
（2）如图④，记线段与 的一直角边、斜边围成的三角形
（即阴影部分）的面积为 .
④
①分别求出当和时，关于 的函数解析式.
[答案] 当时， ，
；
当时， ，
，
②当时，求 的值.
[答案] 当时， ，
， （舍去）；
当时， ，
， （舍去）.
综上所述，当时， 的值为1或3.
2.[2023连云港] 【问题情境，建构函数】
（1）如图①，在矩形中，，是的中点， ，垂足
为.设，，试用含的代数式表示 .
第2题答图
解：在矩形中， ，
.
， ，
，
，
，
.
，是 的中点，
.
在中， ，
，
.
【由数想形，新知初探】
（2）在上述表达式中，与成函数关系，其图象如图②所示.若 取任意实
数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图②中补
全函数图象.
解： 取任意实数时，对应的函数图象关于原点对称.理由如下：
如答图，若为图象上任意一点，则 ，
设关于原点的对称点为，则 ，
当时， ，
也在函数 的图象上，
当取任意实数时，函数 的图象关于原点对称.
【数形结合，深度探究】
（3）在“ 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：
①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是 ；
③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点，， ，
，使得四边形 是平行四边形.其中正确的结论是______.（写出所有正
确结论的序号）
①④
[解析] 观察图象，①函数值随 的增大而增大；故正确，
②函数值的取值范围是 ；故错误，
③存在一条直线，最多与该函数图象有三个交点；故错误，
④在图象上存在四点，，，，使得四边形 是平行四边形，故正确.
【抽象回归，拓展总结】
（4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于 的函数解析式是
___（不要求写出自变量的取值范围）；一般地，当， 取任意实数时，
类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关
性质（直接写出3条即可）.
解：关于的函数解析式为 .
当， 取任意实数时，有如下相关性质：
当时，图象经过第一、三象限，函数值随的增大而增大， 的取值
范围为 ；
当时，图象经过第二、四象限，函数值随的增大而减小， 的取值
范围为 ；
函数图象经过原点；
函数图象关于原点对称.
（任选3条即可）(共19张PPT)
类型之六 新方法型阅读题
01
典例精讲
例6 [2023兰州] 【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在矩形中， 是
边上一点，于点，，， ，试猜想四
边形 的形状，并说明理由；
解：四边形 是正方形.理由如下：
，， ，
， .
四边形 是矩形，
.
.
又， .
四边形 是正方形.
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图
②，在正方形中，是边上一点， 于点
，于点，交于点 ，可以用等式表
示线段，， 的数量关系，请你思考并解答这个问
题；
解：，， ，
.
四边形 是矩形.
.
同（1）可得 .
四边形 是正方形，
.
， .
四边形 是正方形.
.
.
即 .
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探
究点：如图③，在正方形中，是边 上一点，
于点，点在上，且，连接， ，
可以用等式表示线段， 的数量关系，请你思考并解答
这个问题.
例6答图
解：如答图，过点作于点，交 的延
长线于点，过点作交的延长线于点 .
由（2）得，，四边形 是正方形，
.
， .
，
.
， ，
.
， ，
.
， .
， .
，
.
.
，
.
是等腰直角三角形， ,
，
.
即 .
02
针对演练
1.[2022绥化] 我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任
意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系
解决相关问题.
①
（1）如图①，在等腰中，， 边上有一点
，过点作于点，于点，过点 作
于点.利用面积证明： .
第1题答图①
证明：连接 ，如答图①所示.
由题意，得，， .
由 ，得
，
,
.
（2）如图②，将矩形沿着折叠，使点与点重合，点落在点
处，点为折痕上一点，过点作于点，于点 .若
，，求 的长.
②
第1题答图②
解：连接，过点作于点 ，如答图②所示.
根据折叠，可知 .
在矩形中， ，
，
，
是等腰三角形，
.
由（1）可得 .
在中， ， ，
，
.
在四边形中， ，
四边形 为矩形，
，
.
（3）如图③，在四边形中，为线段上的一点， ，
，连接，且，，， ，求
的长.
③
第1题答图③
解：如答图③，分别延长，交于点，连接 ，过
点作于点 .
在四边形中，为线段 上的一点，
， ，
.
又 ，
，
，
是等腰三角形， ，
由（1）可得 .
设 ，
，， .
在 中，
.
在中， ，
，
，
解得 .
， ，
即 .
