(共26张PPT)
类型之一 探究线段长度、图形
周长问题（含最值问题）
01
典例精讲
例1 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 轴
相交于点，，与轴相交于点，抛物线的顶点为 ．
①
1阶 求这个二次函数的解析式．
解： 二次函数的图象与轴相交于点，，与 轴相交于点
，
则解得
这个二次函数的解析式为 ．
2阶 若是轴上一点，当时，求点 的坐标．
【思维教练】 设出点的坐标，用勾股定理表示， 的长，列方程求解．
解：设点，则, .
,,即 ，
解得， ，
点的坐标为或 ．
3阶 若是轴上一动点，当的周长最小时，求点 的坐标．
【思维教练】 作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接 交
轴于点，此时 的周长最小．
典例1-3阶答图
解： 抛物线的对称轴为直线 ，
顶点的坐标为，点的坐标为 ．
如答图，作点关于轴的对称点，则点 的坐标为
，连接交轴于点，连接，此时 的周
长最小．
设直线的函数解析式为 ，将点
， 分别代入，
得解得
．
当时， ， 点的坐标为 ．
4阶 设为直线下方抛物线上一动点，且位于第四象限，过点作 轴的
垂线，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为，求 的
最大值．
【思维教练】 将转化为，即将问题转化为求 的最大值．
解： 点的横坐标为 ，
点的纵坐标为 ，
易得 ， ，
，
,
当时， 的最大值为4．
5阶 设为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线交直线 于
点，当的值最大时，求点 的坐标．
【思维教练】 先求出直线的函数解析式，设点，的横坐标为 ，分别
求出点，的纵坐标，再求关于 的函数解析式，最后求其最大值．
解：设直线的函数解析式为 ，
将点， 代入，
得解得
直线的函数解析式为 ．
设点，则 ，
．
,
当时， 的值最大，此时
，
点的坐标为 ．
②
6阶 如图②，若是该抛物线上一点，是直线
下方抛物线上的一动点，点到直线的距离为，求
的最大值．
【思维教练】 先求得点的坐标，再求直线 的函数
解析式；作的平行线，交轴于点，交 轴于点
，过点作于点，当直线 与抛物线相切
（只有一个交点）时，点到直线的距离最大.直线 的函数解析式为
，将其与抛物线的函数解析式联立，得出关于 的一元二次方程，
由交点个数与方程的判别式的关系可得，从而可得 的值，最后由三
角函数求得的值，即为所求的 的最大值．
典例1-6阶答图
解： 抛物线， 是该抛物线上
一点，
，
点 ．
设直线的函数解析式为
将点， 分别代入，
得解得
直线的函数解析式为 ．
如答图，作的平行线，交轴于点，交轴于点，过点 作
于点 ．
当直线与抛物线相切时，点到直线的距离 最大．
， ．
设直线的函数解析式为 ，将其与抛物线的函数解析式联立，得
，
整理，得 ．
当直线与抛物线相切时， ，
，
解得 ，
直线的函数解析式为 ，
点的坐标为，点的坐标为 ，
， ，
，
，
的最大值为 ．
02
针对演练
1.[2024宜宾] 如图，抛物线与轴交于点和点 ，与
轴交于点，其顶点为 .
（1）求抛物线的函数解析式及顶点 的坐标.
解：把，代入 ,
得解得
抛物线的函数解析式为 .
，
抛物线的顶点的坐标为 .
（2）在轴上是否存在一点，使得 的周长最小 若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
第1题答图
解：在轴上存在一点，使得 的周长最小.
如答图，作点关于轴的对称点 ，连接
交轴于点 .
在 中，
令，得 ，
解得或， .
要使的周长最小，只需 最小，
， ，
当点，，共线时，的值最小，最小值为 的长，此时
的周长也最小.
由，得直线的函数解析式为 ，
令，得 ，
点的坐标为 .
2.[2024重庆B卷] 如图，在平面直角
坐标系中，抛物线
与轴交于，两点，交 轴于
点，抛物线的对称轴是直线 .
（1）求抛物线的函数解析式；
解： 抛物线与轴交于点 ，抛物线的对称轴是直
线 ，
解得
抛物线的函数解析式为 .
（2）是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作 轴交抛
物线于点，作于点，求的最大值及此时点 的坐标.
解：如答图，延长交轴于点，过点作轴交于点 .
第2题答图
在中，令,得 ，
解得，， .
当时，， ，
，
.
轴， ，
， .
由，得直线的函数解析式为 ，
设，则 ，
.
抛物线的对称轴为直线 ，
，
.
，
当时，取得最大值，最大值为 ，此时点 的坐标是
.(共32张PPT)
类型之二 二次函数与面积问题
01
典例精讲
①
例2 如图①，已知抛物线过点 ，
，与轴相交于另一点，顶点为 ．
1阶 求抛物线的函数解析式．
解：把点，代入，得
解得
抛物线的函数解析式为
2阶 求点 的坐标．
【思维教练】 用配方法或顶点坐标公式法求顶点 的坐标．
解： ，
顶点的坐标是 ．
3阶 求 的面积．
解：在中，令，得 ，解得
， ，
点的坐标为 ，
，
．
4阶 求直线 的函数解析式．
【思维教练】 先求出点的坐标，再用待定系数法求直线 的函数解析式．
解：设直线的函数解析式为 ，
将点，代入，得
解得
直线的函数解析式为 ．
②
5阶 如图②，过点作轴于点，连接，， ，
求 的面积．
【思维教练】 根据
即可求解；
或设与相交于点，求出点 的坐标，再根据
即可求解．
解：易知，，，， ，
．
6阶 如图③，为线段上方的抛物线上一点，，垂足为 ，
轴，垂足为，交于点.若，求点 的坐标．
③
【思维教练】 设点的坐标为 ，根据线段之间的特
殊关系，用含的代数式分别表示， 的长，列方程求解．
典例2-6阶答图
解：如答图，过点作与轴平行的直线，分别与 轴，
相交于点，，易得轴， ，
．
设点的坐标为 ，则
， ，
，
．
易知和 都是等腰直角三角形，
，
，
，
,
，
解得或 （不合题意，舍去），
，
点的坐标为 ．
7阶 如图④，与的延长线相交于点，求 的面积．
④
【思维教练】 求得直线，的函数解析式，联立方程组求点 的
坐标．
解： 点， ，
．
点， ，
，
联立解得
点 ，
．
⑤
8阶 如图⑤，为直线 上方抛物线上的一个动点，连接
,,当的面积最大时，求点 的坐标．
【思维教练】 过点作轴于点，交于点 ，先
求出直线的函数解析式，设点 ，
则点 ，由三角形面积公式可得
典例2-8阶答图
解：由4阶得，直线的函数解析式为 ．
如答图，过点作轴于点，交于点 .
设点，则点 ，
．
， ，
,
当时， 有最大值，
，
点的坐标为 ．
9阶 在7阶的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点（点不与点 重
合），使？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
【思维教练】 过点作于点，由直线 的函数解析式，求
直线的函数解析式，得到点的坐标，进而得到 .设点
，过点作轴于点，在轴上找点 ，使得
，证明，根据相似三角形对应边成比例得到关于
的方程，求解后即可得到点 的坐标．
典例2-9阶答图
解：存在.如答图，过点作于点 ．
设，把点代入，得 ，
点 ，
由7阶可知，点 ,
，
，
， ．
设点 ．
过点作轴于点，在轴上找一点，使得，连接， ，
，且点的坐标为 ．
，
，
， ，
，
解得,,, .
当时，点与点 重合，不符合题意；
当时,点与点 重合，不符合题意.
或 ．
点的坐标为或 ．
.
联立解得
【规律总结】
1.面积最大值
背景 三角形有一条边在坐 标轴上：以在坐标轴 上的边为底边，过不 在坐标轴上的顶点作 垂线 三角形的三边都不在 坐标轴上，过其中一 个顶点作平行于坐标 轴的直线 （应用最多） 四边形有两边在坐
标轴上，过不在坐
标轴上的顶点作坐
标轴的垂线
图形 ______________________________ _____________________________ _____________________________
面积 表示
续表
2.面积倍数关系
先求出其中一个图形的面积，再用含未知数的式子表示所求图形
（另一个图形）的面积，根据两图形间的面积关系，列方程求解；或用含相
同的未知数的式子分别表示两个图形的面积，再用题中的等量关系列方程求解.
02
针对演练
1.[2022常德] 如图，已知抛物线经过点， ，且它的对称轴为直
线 .
（1）求此抛物线的函数解析式；
解： 抛物线经过点 ，
设抛物线的函数解析式为 .
抛物线过点，且它的对称轴为直线 ，
解得
此抛物线的函数解析式为 .
（2）若是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当 的面积为
15时，求点 的坐标；
解：如答图①，是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限.
第1题答图①
设，且，记与对称轴的交点为 .
设直线的函数解析式为 ，
直线过点 ，
，解得 ，
直线的函数解析式为 ，
.
，
解得或 .
，， .
（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当 的值最大时，求
点的坐标以及 的最大值.
第1题答图②
解：如答图②，连接，延长交抛物线于点 ，则此时
为最大.
， ，
.
设直线的函数解析式为 ，
代入， 两点的坐标，得
解得
直线的函数解析式为 .
设点的坐标为 ，
解得或
，
此时 .
故当点的坐标为时，的值最大，最大值为 .
2.[2023怀化节选] 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交于，两点，与
轴交于点 .
（1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标；
解： 抛物线与轴交于， 两点，
解得
抛物线的函数解析式为 .
，
抛物线的顶点坐标为 .
（2）为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接，，求 面
积的最大值及此时点 的坐标.
第2题答图
解： 抛物线与轴交于点， .
设直线的函数解析式为，则 解得
直线的函数解析式为 .
设，过点作轴，交于点 ，如答图.
可得 ，
.
.
，
当时，取得最大值，最大值为8，此时点 的坐标为
.(共27张PPT)
类型之五 探究角度数量关系的
存在性问题
01
典例精讲
例7 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与轴相交于，两点，与 轴相交于
点，点在抛物线上，是抛物线上一动点，连接 ，
．
1阶 求该抛物线的函数解析式．
解：将点，代入 ，
得解得
该抛物线的函数解析式为 ．
2阶 求， 两点的坐标．
解：当时，， 点 ．
当时， ，
解得， （舍去），
点 ．
3阶 求直线 的函数解析式．
解：设直线的函数解析式为 ，
将点代入，得 ，
直线的函数解析式为 ．
②
4阶 如图②，若平分，作轴，交于点 ，
交轴于点，求证： ．
【思维教练】 “角平分线 平行”产生等腰三角形．
证明： 轴，
．
平分 ，
，
，
．
5阶 在4阶的条件下，求点 的坐标．
【思维教练】 设点的横坐标为，用表示各点坐标，再由 构造
关于 的方程．
解：设点的横坐标为，则点，， ，
，
，
,
，
解得， （舍去），
，
点的坐标为 ．
6阶 如图③，在平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转
得到，求直线 的函数解析式．
③
【思维教练】 先由求点 的坐标，再由待定系数法求直线
的函数解析式．
解：由2阶可知，, .
由题意，得 ，
，
点 ．
设直线的函数解析式为 ．
将点， 代入，
得解得
直线的函数解析式为 .
7阶 如图④，连接，，抛物线上是否存在点 ，使
？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
④
【思维教练】 将绕点按顺时针方向旋转 得到 ，此时
与的度数相等，可求出点 的坐标，再通过轴对称的性质求点
的坐标．
解：存在．
易知 ，
①将绕点按顺时针方向旋转 得到 ，
则直线的函数解析式为 ，
联立解得或
点 ．
此时 ，符合题意;
典例7-7阶答图
②如答图，过点作轴的平行线，过点作 轴的平行线，
两直线相交于点，则易知四边形 为正方形．
作点关于的对称点，则易知点，且点 在
抛物线上，
点 满足题意．
综上所述，点的坐标为或 ．
02
针对演练
1.[2023金华] 如图①，直线与轴、轴分别相交于点， ，
抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，，其中点的坐标为 .
直线与相交于点 ．
（1）如图②，若抛物线经过原点 ．
①求该抛物线的函数解析式；
解： ，
顶点的横坐标为1， 当时， ，
点的坐标是 ．
设抛物线的函数解析式为 ，
把点代入，得 ，
解得 ，
该抛物线的函数解析式为 ，即
．
②求 的值．
解：如答图①，过点作于点 ．
第1题答图①
设直线的函数解析式为 ，
把点代入，得 ，
解得 ，
直线的函数解析式为 ．
同理，直线的函数解析式为 ．
联立解得
点 ，
， ．
又 ，
．
（2）连接，与能否相等？若能，求符合条件的点 的横坐标；
若不能，请说明理由．
[答案] 设点的坐标为，则点的坐标为 ．
①如答图②，当时，存在 ．
第1题答图②
记 ， ，则 ．
为 的外角，
．
又 ，
，
．
易知点， ，
， ．
如答图②,过点作轴于点，则 ．
，
，解得 .
点 的横坐标为6.
②如答图③，当时，存在 ．
第1题答图③
记 ， ，则 ．
为 的外角，
．
,
，
，
．
如答图③,过点作轴于点，则 ．
，
，解得 ，
点的横坐标为 ；
③如答图④，当时，存在 ．
第1题答图④
记 ．
，
，
，
，
．
如答图④,过点作轴于点，则 ．
，
，解得 ，
点的横坐标为 ；
④如答图⑤，当时，存在 ．
第1题答图⑤
记 ．
，
，
，
．
如答图⑤,过点作轴于点，则 ．
，
，解得 ，
点的横坐标为 ．
综上所述，点的横坐标为6或或或 ．(共30张PPT)
类型之四 二次函数与四边形的
判定问题
01
典例精讲
例5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点为，与 轴相交于点
，直线经过，两点， 是抛物线对
称轴上的一点．
1阶 求直线 的函数解析式．
解：把点，的坐标代入 ，
得解得
直线的函数解析式为 ．
2阶 求抛物线的函数解析式．
解：把，的坐标代入 ,
得
解得
抛物线的函数解析式为 ．
3阶 点在抛物线上，若以，，为顶点的三角形与全等，求点
的坐标．
【思维教练】 根据等腰直角三角形的性质得出 ，所以
，分情况讨论．
典例5-3阶答图
解： 点， ，
，
是等腰直角三角形．
若与 全等，
，
必有 ，且 ，
如答图，
易知点的坐标为或 ．
4阶 平面内是否存在点，使得以，，， 为顶点的四边形为菱形？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】 分三种情况：①以为对角线，四边形 为菱形；
②以为对角线，四边形为菱形；③以为对角线，四边形
为菱形．正确画出图象，并根据平移的性质和菱形的性质，得点 的坐标.
解：存在．
①若以为对角线，四边形 为菱形，如答图①,
典例5-4阶答图①
易知，由3阶，得点的坐标是 ;
典例5-4阶答图②
②若以为对角线，四边形 为菱形，如答图②，
易知点与点 重合，
点的坐标是 ;
③若以为对角线，四边形 是菱形，
Ⅰ.如答图③,
典例5-4阶答图③
，
，
点的坐标是 ；
典例5-4阶答图④
Ⅱ.如答图④，同理可得,点的坐标是 ．
综上所述，点的坐标是或或
或 ．
例6 如图，抛物线 经
过，，三点.
为 轴上一动点，在抛物线上是否存在
点，使以，，， 四点构成的四
边形为平行四边形？若存在，请求出
【思维教练】 分是边、 是对角线两种情况，利用平移的性质和
中点坐标公式求点的坐标中点坐标公式：已知点， ，
设是线段的中点，则，
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．
设点的坐标为 ，分两种情况讨论：
①当 是边时，
易得 ，
．
将代入函数解析式，解得（不合题意，舍去）， ．
将代入函数解析式，解得， ．
②当 是对角线时，
由中点公式，得 ，
．
由①，得（不合题意，舍去）， ．
综上所述，点的坐标为或或 ．
【规律总结】
探究平行四边形的存在性问题，具体作法如下：
已知 问题 找点 求点的坐标
已知三 个点 _____________________________ 已知平面上不共线的三 个点，， ，求一点 ，使得，，， 四 个点组成平行四边形 _______________________________ 连接，， ，分 别过点，， 作对边 的平行线，三条平行线 的交点即为所求的点 ①分别求出直
线， ，
的函数解析
式，再求出交
点即为点 ；
②可由点的平
移来求坐标
已知 问题 找点 求点的坐标
已知两 个点 _____________________ 已知平面上两个点 ，，求两点 ， ，使得， ， ， 四个点组成 平行四边形 （题目中， 的 位置有具体限制） _______________________________ 分两种情况讨论： ①若 为平行四边形的 边，则将 上下左右平 移，确定点， 的位置； ②若 为平行四边形的对 角线，则取 的中点，旋 转经过 的中点的直线确 定点， 的位置 ①通过点的平
移，构造全等三
角形来求坐标；
②由中点坐标公
式可得坐标系中
的四个点
，，， 的坐
标满足
，
续表
02
针对演练
1.[2023枣庄] 如图，抛物线经过， 两点，并
交轴于另一点，是抛物线的顶点，直线与轴交于点 .
（1）求该抛物线的函数解析式.
解： 抛物线经过， 两点，
解得
该抛物线的函数解析式为 .
（2）若是轴上一动点，分别连接，，求 的最小值.
第1题答图
解： ，
顶点 .
设直线的函数解析式为 ，
则解得
直线的函数解析式为 .
当时，， .
作点关于轴的对称点，连接， ，如答
图，
则 ，
，即的最小值为 .
，
的最小值为 .
（3）若是抛物线上一动点，问在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得以
，，， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满
足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：对称轴上存在点，使得以，，， 为顶点的四边形是平行四边形.
由（2）得：， ，
是抛物线上一动点，
设 .
抛物线的对称轴为直线， 设 .
①当为对角线时，， 的中点重合，
解得
；
②当为对角线时，， 的中点重合，
解得
；
③当为对角线时，， 的中点重合，
解得
.
综上所述，对称轴上存在点，使得以，，， 为顶点的四边形是平行
四边形，点的坐标为或或 .
2.[2024绥化节选] 综合与探究.
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与直线相交于， 两点，
其中点， .
（1）求该抛物线的函数解析式；
解： 抛物线过点， ，
解得
该抛物线的函数解析式为
（2）将该抛物线向左平移2个单位长度得到 ，
平移后的抛物线与原抛物线相交于点，为原抛物线对称轴上的一点，
是平面直角坐标系内的一点，当以，，， 为顶点的四边形是菱形时，
请直接写出点 的坐标.
解： ，
原抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 .
将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线 ，
，
联立解得
.
又，设， ，
①当为对角线时，,的中点重合且 ,
解得
；
②当为对角线时，，的中点重合且 ,
解得或
与点重合，不符合题意，舍去， ；
③当为对角线时，,的中点重合且 ,
解得或
或 .
综上所述，点的坐标为或或或 .(共25张PPT)
类型之三 探究特殊三角形的判
定问题
01
典例精讲
例3 如图，关于的二次函数的图象与 轴
相交于点和点，与轴相交于点 .
1阶 求二次函数的解析式．
解：把点，代入，则 解得
二次函数的解析式为 ．
2阶 求线段 的长．
【思维教练】 先求点的坐标，再利用勾股定理求 的长．
解：令，则，解得或， 点 ．
又 点， ．
3阶 在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】 当 为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：
；； ．
典例3-3阶答图
解：存在.如答图所示．
①当 时，
或 ，
点， ；
②当时，易得 ，
点 ；
③当 时，
，
此时点与点 重合，
点 ．
综上所述，点的坐标为或或或 ．
4阶 在轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【思维教练】 当 为直角三角形时，分三种情况进行讨论：
； ； ．
解：存在.
①当 时，易得 ，
点 ；
②当 时，易知点与点 重合，
点 ;
③当 时，易知点 不存在．
综上所述，点的坐标为或 ．
5阶 在抛物线上是否存在一点，使 ？若存在，请求出点 的
坐标；若不存在，请说明理由.
【思维教练】 过点作轴的垂线，构造相似三角形，求出点 的坐标．
典例3-6阶答图
解：存在.如答图，过点作轴于点 ．
， ，
易证 ．
设点，则 ，
，
，
解得， （舍去）．
当时， ，
点的坐标是 ．
例4 经典题 如图，抛物线交轴于，两点，交 轴于点
，直线经过点， .
（1）求抛物线的函数解析式.
解： 直线经过点， ，
当时， ，
即点的坐标为 ，
当时，，即点的坐标为 ，
把，两点的坐标代入 ,
得解得
抛物线的函数解析式为
（2）抛物线的对称轴与直线相交于点，连接，，判断 的
形状，并说明理由.
解： 为直角三角形.理由如下：
解方程，得， ，
， .
抛物线的对称轴为直线 ，
.
，
,, ,
，
为直角三角形.
（3）在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于 度数的2
倍？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
例4答图
解：存在.如答图，过点作于点，过点 作
轴于点，作的垂直平分线交于点，交
于点 .
， ，
.
为等腰直角三角形，
， .
设直线的函数解析式为
将，代入 ，
得解得
直线的函数解析式为 .
设直线的函数解析式为 .
易得点的坐标为 ，
，解得 .
直线的函数解析式为 .
联立解得
点的坐标为 ；
在直线上作点关于点的对称点 ，如答图.
设 ，则，解得 .
. 点的坐标为 .
综上所述，存在点，使与直线的夹角等于度数的2倍，且点
的坐标为或 .
02
针对演练
1.如图，二次函数与一次函数的图象交于 ，
两点，点在点的右侧，直线分别与轴、轴交于点，，且 .
（1）， 两点的横坐标分别是______.
1，
（2）若是以为腰的等腰三角形，求 的值.
解：由（1）可知，， .
，
，， .
是以 为腰的等腰三角形，
分为两种情况：或 .
当时， ，
，解得或 （舍去）；
当时， ，
，解得或 .
综上所述，的值为，或 .
（3）二次函数的图象的对称轴与轴交于点，是否存在实数 ，使得
？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
第1题答图①
解：存在.根据题意分为以下两种情况：
Ⅰ.当点在点的左侧时， ，
.
如答图①，过点作轴于点，连接，作线段 的
垂直平分线交轴于点，连接，则 ，
， .
设 .
由（1）可知，， ，
.
二次函数的对称轴为直线 ,
， ，
.
在中，由 ，
得 ，
解得 ，
，
.
， .
， ，
.
，解得 .
， .
第1题答图②
Ⅱ.当点在点的右侧时， ，
.
如答图②，过点作轴于点，连接，作线段
的垂直平分线交轴于点，连接.则 ，
.
由（1）可知，， ，
，， .
设，则 .
在中，由 ，
得 ，
解得 ，
.
，
.
，
，解得 .
， .
综上所述，的值为或 .
