(共45张PPT)
类型之四 主题学习类的几何探究
01
典例精讲
例4 [2023南宁模拟] 【课本再现】
（1）如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形
的一个顶点.在实验与探究中，小州发现通过证明 ，可得
.请帮助小州完成证明过程.
证明： 四边形和四边形 均是正方形，
， ，， ，
，
，
.
在和中，
，
.
【类比探究】
（2）如图②，若四边形是矩形，为对角线上任意一点，过点 作
，交于点，当时，求证： .
例4答图①
[答案] 如答图①，过点作于点 ，反向
延长交于点 .
四边形 是矩形，
， ， .
，
，
， ，
.
，
，
，
，
.
，
，
，
.
【拓展提升】
（3）如图③，若四边形是平行四边形，为对角线 上任意一点，
点在边上，且，求证： .
例4答图②
[答案] 如答图②，过点作，交 于
点 .
四边形 是平行四边形，
， .
， .
，
.
又 ，
， ，
. ,
， ，
， ，
，
.
02
针对演练
1.[2024南宁模拟] 【问题原型】
（1）如图①，与 均为等腰直角三角形，
，连接，.求证： .
证明：与均为等腰直角三角形， ，
，， ，即
.
在和中，
，
.
【问题延伸】
（2）如图②，已知 ，
，连接，.试问与 的
大小有怎样的关系？请说明理由.
解： .理由如下：
， ，
，即， ，即
，
，
.
【问题应用】
（3）如图③，已知， ，
，.点在边上，且，连接，则线段 的长为
_ ____.
[解析] 由（2）知， ，
， .
，， ，
，即 ，
，
.
，
，即 ，
.
2.[2024南宁模拟]
（1）如图①，在矩形中，点，分别在边，上， ，
垂足为.求证： .
证明： 四边形 是矩形，
，
.
，
，
，
，
.
【问题解决】
（2）如图②，在正方形中，点，分别在边，上， ，
延长至点，使，连接.求证： .
证明： 四边形 是正方形，
，， ，
,
，
，
.
，
.
点在 的延长线上，
.
又 ，
，
.
，
，
.
【类比迁移】
（3）如图③，在菱形中，点，分别在边， 上，
，， ，求 的长.
第2题答图
解：如答图，延长至点，使，连接 .
四边形 是菱形，
， ，
，
，
， .
，
，
是等边三角形，
.
，
.
即 的长为3.
3.[2024南宁模拟] 阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称
为三角形的重心.
【特例感知】
（1）如图①，已知边长为2的等边的重心为点，则 的面积为
_ __.
[解析] 如答图①,连接 .
第3题答图①
点是 的重心，
，是， 边上的中线，
，为， 边上的中点，
为 的中位线，
， ，
，
.
，， ，
， ，
.
【性质探究】
（2）如图②，已知的重心为点，对于任意形状的， 的值
是不是定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由.
解：由（1）同理可得，是定值，为 .
【性质应用】
（3）如图③，在任意矩形中，是的中点，连接交对角线 于
点， 的值是不是定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明
理由.
解： 四边形是矩形，是 的中点，
,
，
，
，
，
，
.
的值是定值，为12.
【思维拓展】
（4）如图④， ，点的坐标为，点
的坐标为，点在线段 上以每秒1个单位长度的
速度由点向点移动，当点运动到点 停止运动，连
接，将分为和 两个三角形，当
其中一个三角形与原相似时，求点 运动的时间.
解：如答图②，过点作轴交于点 ，
点的坐标为，点的坐标为 ，
，，，， ，
，
.
.
①当 时，
， ，
；
第3题答图②
②当 时，
, ,
，
.
综上所述，点运动的时间为或 .
4.[2024防城港模拟] 综合与实践.
数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，在正方形中，，
分别是，上的两点，连接，交于点 .
_____________________________
已知，求证： .
甲小组同学的证明思路如下：
由同角的余角相等可得.再由 ，
，证得 （依据：________），从而得
.
乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知 ，同样可证得
，证明思路如下：
由，，可证得 ，可得
，再根据角的等量代换即可证得 .
完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是_____（填“”或“”或“”或“ ”）
续表
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样
可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究.
【迁移探究】
在正方形中，点在上，点，分别在边，上，连接，
交于点.
甲小组同学根据画出图形如图②所示，乙小组同学根据
画出图形如图③所示.
甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知
无法证明一定成立.
（2）①在图②中，已知，求证： ；
第4题答图①
证明：如答图①，作于点 .
四边形 是正方形，
， ，
四边形是矩形， ,
， ，
.
，
，
，
，
.
②在图③中，若 ，则 的度数为_________.
第4题答图②
[解析] 如答图②,过点，作于点 ，
同理可证四边形 是矩形，
.
， ，
，
，
，
.
【拓展应用】
（3）如图④，在正方形中，，点在边上，点在边 上，
且，点，分别在直线，上，若，当直线
与直线所夹较小角的度数为 时，请直接写出 的长.
第4题答图③
解：①当点，分别在，边上时，如答图③，过点
作于点，交于点，过点作于点 .
同理可证 ，
.
，
，
.
，
.
，
，
.
设,则 ,
，
，
（负根已舍去），
.
②当点，分别在，的延长线上时，如答图④， ，过
点作于点，过点作于点，则四边形 和四边形
都是矩形，
同理可得， ， ，
.
综上所述，的长为或 .
第4题答图④(共22张PPT)
类型之一 与动点有关的几何探究
01
典例精讲
例1 [2023广西] 如图，是边长为4的等边三角形，点，， 分别在
边，，上运动，满足 .
（1）求证： ；
证明： 是等边三角形，
， .
， .
在和中，
.
（2）设的长为，的面积为，求关于 的函数解析式；
例1答图
解：如答图，分别过点，作， ，垂足
分别为， .
在等边中， ，
，
，
.
的长为，则， ，
，
.
由（1）可知， ，
同理可证， ，
.
的面积为 ，
.
（3）结合（2）所得的函数，描述的面积随 的增大如何变化.
解：由（2），得 ，
，对称轴为直线 ，
当时，随的增大而增大；当时，随 的增大而减小.
即当时，的面积随的增大而增大；当 时，
的面积随 的增大而减小.
02
针对演练
1.[2024梧州模拟] 如图，在等腰中，， ，
，分别是，上的动点，且.过点作交 于点
，连接，设的长为 .
（1）当为何值时，四边形 是平行四边形；
解：由题意，得, .
，
.
，
，
，
.
四边形 是平行四边形，
,
,解得 ，
即当时，四边形 是平行四边形.
（2）设四边形的面积为,求与 之间的函数解析式；
第1题答图①
解：如答图①,过点作于点，连接 .
， ，
，
根据勾股定理，得
，
，
，
,
，
，
，
即 ，
解得 ，
，
.
（3）连接，若点在线段的垂直平分线上，求 的长.
第1题答图②
解：如答图②,过点作于点，过点作 于
点 .
， ，
.
， ，
，
，
即 ，
解得 ,
在中， ，
,
点在线段 的垂直平分线上，
,
，
，
解得， （舍去），
.
2.[2023桂林模拟] 探索与发现.
小张同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进
行如下操作：如图，在边长为6的正方形的 边上
取定点，使，在边上设置动点，连接 ，
以为边在的上方作正方形，连接， .
（1）小张同学通过观察，发现图中 ，请给出证明；
证明： 四边形，四边形 均为正方形，
，
， ，
.
（2）探索过程中发现，在点的运动过程中， 的面积是个定值，请
证明并求出这个定值；
第2题答图①
证明：如答图①，过点作于点 .
四边形 是边长为6的正方形，
， ，
.
由（1）知， ，
.
四边形 为正方形，
.
在和中，
，
，
.
（3）进一步探索后发现，随着点的运动，的周长会随着点 位置的
变化而变化，但存在一个最小值，请你求出 周长的最小值.
第2题答图②
解：如答图②，过点作交于点，作点关于
所在的直线的对称点，连接,过点作于点 .
则四边形 为矩形，
由（2）可知， ，
，
当点运动时，点在直线 上运动.
根据轴对称的性质可知，垂直平分，且点在 上，
， ，
， .
，
当，，三点共线时，取得最小值为 ，
即此时， 的周长取得最小值，最小值为
，
在中， ，
周长的最小值为 .(共35张PPT)
类型之三 与旋转有关的几何探究
01
典例精讲
例3 [2024玉林模拟] 【问题情境】
如图①，为正方形内一点， ，
将绕点按顺时针方向旋转 ，得到
（点的对应点为点）.延长交于点 ，
连接 .
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
解：四边形 是正方形.理由如下：
是由绕点按顺时针方向旋转 得到的，
， .
又 ，
，
四边形 是矩形.
由旋转可知： ，
四边形 是正方形.
【解决问题】
（2）若，，求出正方形 的面积；
解：， ，
.
四边形 是正方形，
， ，
，
，
正方形的面积为 .
【猜想证明】
（3）如图②，若，请猜想线段与 的数量关系，并加以证明.
例3答图
解：结论： .
证明：如答图，过点作于点 ，则
， .
，
.
四边形 是正方形，
， ，
，
.
在和 中，
，
.
由旋转可知： ，
由（1）可知：四边形 是正方形，
，
，
.
02
针对演练
1.[2024柳州模拟] 综合与实践.
【问题发现】
（1）在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学们发现
了这样一个问题：如图①，已知正方形，为对角线
上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线 上，
且 ，连接.通过观察图形，直接写出与
的数量关系：_________.
【类比探究】
（2）兴趣小组的同学们在探究了正方形
中的结论后，将正方形换成矩形继续探究.
如图②，已知矩形， ，
，为对角线 上一动点，过点
作垂直于的射线，点在射线上，且 ，连接 .请判
断线段与 的数量关系，并说明理由.
解： .理由如下：
四边形 是矩形，
，， ,
.
，
，
，
.
，
，
，
，
，
，
.
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，点在对角线上运动，当四边形 为轴对称
图形时，请直接写出线段 的长：___________.
或
2.[2024南宁模拟] 综合与实践.
【问题情境】
四边形是边长为5的菱形，与相交于点.将绕点 按顺时
针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为， .旋转角为
.
【观察思考】
①
（1）如图①，当点第一次落在对角线上时，求 与
的数量关系及 的度数.
解： 四边形 是菱形，
，， ，
.
由旋转的性质，得 ，
， ，
，
.
, .
【探究证明】
（2）如图②，当 ，且时，与相交于点 .试判断四
边形 的形状，并说明理由.
②
解：四边形 是菱形.理由如下：
四边形 是菱形，
.
由旋转的性质，得， ，
.
，
，
，
.
，
四边形 是平行四边形.
又 ，
四边形 是菱形.
【拓展延伸】
（3）如图③，连接，在旋转过程中，当与菱形 的一边平行时，
且，请直接写出线段 的长.
③
解：①如答图①，当，且在下方时，连接 .
第2题答图①
四边形 是菱形，
.
由旋转的性质,得， ，
,
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
如答图①，过点作于点 ，
则 ，
设,则 ,
由勾股定理,得
.
四边形 是边长为5的菱形，
，
，
， ，
，
由勾股定理,得
.
四边形 是菱形,
,, .
， ，
，
.
②如答图②，当时，则 ，
第2题答图②
，
.
，
，
，
，
，
，， 三点共线，
.
第2题答图③
③如答图③，当，且在上方时，过点 作
于点 ，
则 ，
.
，
， ，
，
.
综上所述，的长为或10或 .
3.[2024南宁模拟] 几何探究.
【课本再现】
（1）如图①，正方形的对角线相交于点，点 又是
正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，
边与边相交于点，边与边相交于点 .在实验
与探究中，小新发现无论正方形绕点 怎样转动，
，， 之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明
即可推导出来.请帮助小新完成下列问题：
①求证： ；
证明：在正方形和正方形 中，
，， ，
.
在和 中，
.
②连接，则，， 之间的数量关系是_________________.
【类比迁移】
（2）如图②，矩形的中心是矩形 的一个顶
点，与边相交于点，与边相交于点 ，连接
，矩形可绕着点旋转，猜想，， 之间
的数量关系，并进行证明.
第3题答图②
[答案] .
证明：如答图②,连接，延长交于点，连接 ，
是矩形 的中心，
是 的中点.
.
在矩形中， ，
， ，
，
， .
在矩形中， ，
.
在中， ，
.
【拓展应用】
（3）如图③，在中， ，, ,直角
的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，
相交于点，，可绕着点旋转，当 时，请直接写出线段
的长度.
[答案] 设 ,
①当点在线段 上时，
, ,
.
在中， ，
，
.
又由（2）易知 ，
，
，
解得 .
②当点在线段 的延长线上时，如答图③,
第3题答图③
同理可证， ，
.
又在中， ，
，
解得 .
故的长度为或 .
[解析] 如答图①,连接 ，
第3题答图①
， .
，
，
即 .
，
在中， ，
.(共27张PPT)
类型之二 与折叠有关的几何探究
01
典例精讲
例2 综合与实践.
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 中，
，垂足为，为的中点，连接， .
【独立思考】
（1）试猜想与 的数量关系：_________.
【实践探究】
（2）希望小组将沿着（为 的中点）所在直线折叠，如图②，
点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与 的数量关系，
并加以证明.
例2答图①
解：结论： .
证明：如答图①，连接 .
是由 翻折得到，
， .
.
为 的中点，
，
，
.
在中， ,
即 ,
,
，
，
.
，
四边形 是平行四边形，
.
， ，
，
.
【问题解决】
（3）智慧小组突发奇想，将沿过点 的直线折叠，
如图③，点的对应点为，使于点，折痕交
于点，连接并交于点 .该小组提出一个问题：若此
的面积为20，， ，求图中阴影部
分（四边形 ）的面积.
例2答图②
解：如答图②，过点作于点，过点作
于点 .
，
.
四边形 是平行四边形，
， ，
.
, ,
，
，
四边形 是矩形，
，
.
，
设,则 .
由折叠性质可知 ，
,
， ，
.
，
，
，
.
02
针对演练
1.[2024柳州模拟] 【动手操作】
数学活动课上，老师让同学们以“矩形、正方形的折叠”为主题开展数学活动.
【猜想计算】
如图①，把长为5，宽为4的矩形纸片对折，使边
与边重合，展开后得到折痕.如图②，将矩形纸片沿经过点 的
直线折叠，使点落在上的点处，连接 .
（1）①如图②，判断 的形状，并说明理由；
解： 是等边三角形.理由如下：
由折叠性质，得， ，
，
是线段 的垂直平分线，
，
，
是等边三角形.
②求线段 的长.
解：由①知， 是等边三角形,
, .
, ,
.
【探究证明】
如图③，将矩形纸片换成边长为4的正方形纸片，
沿经过点的直线折叠，折痕为，使点落在正方形纸片
内部的点处，延长交于点.
（2）①猜想与 之间的数量关系并证明；
第1题答图
[答案] .证明如下：
如答图，连接 .
由折叠的性质，得 ，
，
.
四边形 是正方形，
,
， .
在和中，
，
.
②若，求 的面积.
[答案] ，
， .
设,则, ，
在中， ，
，解得 ，
，
.
2.[2023南宁模拟] 综合与实践.
【教材呈现】
下列材料是人教版八年级下册数学教材第65页数学活动的部分内容.
在一张矩形纸片的一端，利用如图所示的方法折出一个正方形.
___________________________________________________
【问题解决】
如图①，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到 ，
点恰好在 上.
（1）求证：四边形 是正方形；
证明： 将沿折叠得到 ，
，， .
又 ，
.
，
，
，
四边形 是菱形.
又 ，
四边形 是正方形.
【教材延伸】
（2）如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点 恰好落在
上的点处，为折痕，若，，求 的长；
解： 在矩形中，， ，
，， .
由（1）知：四边形 是正方形，
， ，
，四边形 是矩形，
，， .由折叠的性质，得
， ，
，
.
在中， ， ，
，
，
即 ，
解得 .
（3）在图②中，延长交直线于点，当点与点 重合时，若
，，其他条件不变，求 的值.
第2题答图
解：如答图，由（2）同理得出 ，
， ，
，
，
.
，
，
.
又 ，
，
，
，
，
又 ，
，
即 ，
解得 （负根已舍去），
.
