湖南省“炎德英才·名校联考联合体” 2025届高三第四次联考数学试题（含答案）

湖南省“炎德英才·名校联考联合体” 2025届高三第四次联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为，则正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的解集为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是( )
A. B. C. D.
7.设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，的面积为，且为钝角，，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程恰有个不同的解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列的前项和为，公差为，已知，则( )
A. B.
C. 时，的最小值为 D. 最小时，
10.如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. ，，三线不共点
C. 与平面所成角为
D. 设，则多面体的体积为
11.已知抛物线和的焦点分别为，，动直线与交于，两点，与交于，两点，其中，，，，且当过点时，，则下列说法正确的是( )
A. 的方程为
B. 已知点，则的最小值为
C.
D. 若，则与的面积相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 ．
13.已知数列的通项公式为，则 ．
14.将个“”、个“”和个“”这个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成 个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为的所有自然数之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求
若，，，求．
16.本小题分
已知函数
证明：
设函数，证明：函数有唯一的极值点．
17.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，点是的中点，将沿对折至，使得，点是的中点．
求证：
求二面角的正弦值．
18.本小题分
电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的列联表：
偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计
男性市民
女性市民
合计
根据以上数据，完成列联表，依据小概率的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关
采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取人，再从这名市民中抽取人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率
用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取名市民，再从这名市民中随机抽取人进行座谈，记名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
19.本小题分
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤在纸上画一个圆，并在圆外取一定点
步骤把纸片折叠，使得点折叠后与圆上某一点重合
步骤把纸片展开，并得到一条折痕
步骤不断重复步骤和，得到越来越多的折痕．
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓．
若取一张足够大的纸，画一个半径为的圆，并在圆外取一定点，，按照上述方法折纸，点折叠后与圆上的点重合，折痕与直线交于点，的轨迹为曲线．
以所在直线为轴建立适当的坐标系，求曲线的方程
设曲线的左、右顶点分别为，，点在曲线上，过点作曲线的切线与圆交于，两点点在点的左侧，记，的斜率分别为，，证明：为定值
是的右焦点，若直线过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立若存在，求出的坐标若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由及正弦定理得，
整理得，
又由余弦定理的推论得，，，解得．
由，，得，
即，可得，
由余弦定理可得，，
则．
16.证明：因为，定义域为，
所以，
由于函数，在上均为单调递增函数，
所以在上单调递增，
因为，所以，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
所以．
解：因为，的定义域为，
所以．
设，则，
当时，，所以单调递增，
所以，
所以，即，
所以．
又，且在上单调递增，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，，单调递减当时，，所以单调递增，
所以函数有唯一的极值点．
17.证明：因为，，点是的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，
又，，所以四边形是正方形，所以，且，所以，且，即，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是的中点，，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以．
由知，平面，因为平面，所以，
因为，所以，
又，由余弦定理得，
因为，所以，
所以，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，作平面为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因为是的中点，所以，所以，，，，，平面，
所以平面，所以为平面的法向量，
设平面的一个法向量为，则所以
取，则，，所以，
所以，，
设二面角的平面角为，
所以，
所以二面角的正弦值为．
18.被调查的女性市民人数为，
其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为，
偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为，
所以列联表为：
零假设市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关，
根据列联表中的数据可以求得，
由于，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关．
因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为，
所以采用分层抽样的方法抽取的人中，男性市民有人，女性市民有人，
设“有女性市民参加座谈”为事件，“恰有一名女性市民参加座谈”为事件，则，
，所以．
因为所有参加调查的市民中，男性市民和女性市民的比为，
所以由分层抽样知，随机抽取的名市民中，男性市民有人，女性市民有人．
根据频率估计概率知，男性市民偏好石墨烯电池电动车的概率为，偏好铅酸电池电动车的概率为，
从选出的名市民中随机抽取人进行座谈，则可能的取值为，，．
“名被抽取的男性市民中，恰好抽到人参加座谈”记为事件，则．
“参加座谈的名市民中是偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数恰好为人”记为事件，
则，，，，
，，
所以，
，
，故的分布列如下：
．

19.解：以所在直线为轴，以为轴的正方向，以的中点为原点建立平面直角坐标系，
则，，
由折纸方法知，，
则，
根据双曲线的定义，曲线是以，为焦点，实轴长为的双曲线，
设其方程为，
则，，所以，，
故曲线的方程为．
易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，且，，
联立方程组整理得，
由，
可得，可得，
联立方程组整理得，
，
则，，
因为，，
所以，
又因为，
代入可得，
由于，则，
由于点在点的左侧，故，
所以，
代入可得，
又因为，
则，
所以为定值，定值为．
假设存在点，使恒成立，
由已知得，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，
，且，
则，，
，，
则
，
若恒成立，则恒成立，
即解得，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，解得，
不妨取，，
则，，
又，解得或，
综上所述，，
所以存在点，使恒成立．
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