2024-2025学年初三数学二次函数压轴特训
一、单选题
1．把抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，二次函数的图象上有一点，对称轴是直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．数学老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．同学们发现：洒水少了“发芽率”低，洒水多了要烂根，也会影响“发芽率”．通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：升）近似地满足函数关系（，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳的洒水量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
4．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，小明从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：），乘坐地铁的时间（单位：）是关于的一次函数，若小明骑单车的时间（单位：）也受的影响，其关系可以用来描述，则小明从文化宫回到家里所需的最短时间为（ ）
A．39分钟 B．35分钟 C．39.5分钟 D．34.5分钟
5．当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
6．已知点，，都在函数上，则（ ）
A． B． C． D．
7．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从刹车到停止所用时间为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
二、填空题
9．函数的图象与函数的图象交于，两点，若，则当时自变量的取值范围是 ．
10．在平面直角坐标系中，和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则的取值范围为 ．
11．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，、两点同时停止运动．则的最大面积是 ．
12．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：
；；；；．
其中正确的是 （填序号）
13．已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表：
0.0142 0.0832
根据表中数据，可知关于x的方程的一个根约为 ，另一个根约为 ．（都精确到0.1）
14．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是 ．
15．如图，直线与抛物线交于，，不等式的解集是 ．
16．已知点和在抛物线上，则的值为 ．
17．若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是 ．
18．如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是
三、解答题
19．某水果商场销售一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，
(1)若每千克涨价2元，则每天可售 千克．（直接写出答案）；
(2)现该商场要保证这种水果每天盈利6000元，且尽可能减轻顾客负担，那么每千克应涨价多少元？
(3)商场每天能盈利7000元吗？为什么？
(4)请直接写出商场这种水果每天盈利的最大值为 元．
20．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实 验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m）， 面积为S（单位：）．
如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为
(1)直接写出y 与x，S 与 x 之间的函数解析式（不要求写x 的取值范围）；
(2)矩形实验田的面积S 能达到吗？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由；
(3)矩形实验田的面积S 能达到吗？如果不能，请说明理由；你能求出矩形实验田的面 积S 的最大值吗？若能，求出S的最大值并求出此时的x 的值．
21．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？
22．如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，落点B距离喷水柱底端O处．
(1)求喷头A的高度；
(2)在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度，使水流落在距水柱底端处，问喷头A应该向哪个方向调整多少高度？
23．【提出问题】
某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？
拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料
素材1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高．
素材2 国庆节，拟在图1所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于．
【解决问题】
(1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图3的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？请说明理由；
(3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，素材 2中的牌匾长度缩短为，宽仍然为，其他悬挂条件不变，请你通过计算判断方案是否可行．
24．某河上有一座抛物线形拱桥，A、B为抛物线与水面的交点，现水面离拱顶，水面宽．
(1)以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的函数解析式；
(2)受台风降雨影响，预计水面上升至离拱顶处，问：水面宽度缩小了多少？
(3)一艘宽、高的木船，载货后露出水面的部分为，当水面上升至离拱顶时，木船能否通过这座拱桥？
25．如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．
(1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式；
(2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标．
（2）在坐标平面内有一点N，若以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
（3）在抛物线上有一点P，过点P作轴交直线AC于点Q，若以O、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
（4）在对称轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
（5）在x轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
（6）在对称轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
（7）在对称轴上有一点N，在平面内存在点M，若以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形，求点M的坐标．
（8）在对称轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．
（9）在y轴上有一点M，在坐标平面内有一点N，若以A、C、M、N为顶点的四边形是正方形，求点N的坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标．
（2）在对称轴上是否存在点N，使得是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线上是否存在点P，使得是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）已知点在该抛物线上，点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作轴交该抛物线于点Q，连接BQ、BF、FQ，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标．
（2）在抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）直线AC与抛物线的对称轴交于点F，请求出的平分线与y轴的交点M的坐标．
（5）在抛物线上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（6）过点B的直线交直线AC于点M，当直线AC与BM的夹角等于的2倍时，求点M的坐标．
（7）在y轴上是否存在点N，使得，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（8）在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足．求证：MN恒过定点，并求出定点坐标．
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2024-2025学年初三数学二次函数压轴特训
精讲解析
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C B D C B
1．D
【难度】0.94
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据抛物线平移的规律：左加右减（横坐标），上加下减（纵坐标），平移不改变的值，即可解答．
【详解】解：根据抛物线平移的规律：左加右减（横坐标），上加下减（纵坐标），
把抛物线向右平移3个单位长度可得，
再再向下平移5个单位长度可得．
故选：．
2．C
【难度】0.65
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象开口，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数图象中，数形结合分析各项系数的符号是解题的关键．
根据二次函数图象过点，对称轴直线为可得，，可判定结论②；根据二次函数图象的开口，与的交点可判定结论①；根据二次函数图象的顶点坐标可得判定结论③；根据二次函数图象的增减性可判定结论④；由此即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象
上有一点，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，则，
∴，
∴，故②正确；
根据图示可得，图形开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵根据图象可知，当二次函数对称轴直线为，二次函数有最大值，且在轴上方，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵根据二次函数图象可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③，共3个，
故选：C ．
3．B
【难度】0.65
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，将，，代入得：
，解得：，
∴满足函数关系为，
∴当时，取到最大值，
故选：．
4．C
【难度】0.85
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，二次函数的最值问题，设小明从文化宫回到家里所需的时间为，则，根据题意，确定二次函数的解析式，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
【详解】解：设小明从文化宫回到家里所需的时间为，
则，
当时，，
故选：C．
5．B
【难度】0.85
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，根据当a取任何实数时，点P都在抛物线上可求解析式为，代入点Q即可得，即可求解．
【详解】解：∵点P都在抛物线上，
∴当时，，
∴，
∵点Q在抛物线上，
∴，
∴，
故选B．
6．D
【难度】0.85
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，能够熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．先判断出二次函数的开口和对称轴，再通过比较三点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：的对称轴为，函数图像开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小
∵，，，
∴
故选：D ．
7．C
【难度】0.65
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键．
【详解】解：把代入得，
，
解得，（不合，舍去），
∴点，
∴，
∴，
故选：．
8．B
【难度】0.85
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，当汽车停下来时，最大，故将二次函数解析式转化成顶点式，则顶点横坐标值即为所求，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴当秒时，取得最大值，即汽车停下来，
故选：．
9．或
【难度】0.65
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集
【分析】本题考查了二次函数和不等式的关系．先根据直线的性质及方程和函数的关系求出交点的横坐标，现利用函数和不等式的关系求解．
【详解】解：设，两点的横坐标分别为，，作轴，轴，两线相交于点，设函数的图象分别交坐标轴于点，
对于，则点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，是方程的两个根，
即方程的两个根，
∴，
解得，，
观察图象，当时自变量的取值范围是或，
故答案为：或．
10．或
【难度】0.65
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先由和是抛物线上的两点，且，得，然后分当时当时两种情况分析即可，掌握二次函数的性质及分类讨论思想是解题的关键
【详解】解：∵和是抛物线上的两点，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当时，
∴或，
解得：或，
∵，
∴或，
∴或，
∵，
∴；
当时，
∴或，
解得：，
∵，
∴，
∴，
综上的取值范围为或
故答案为：或．
11．
【难度】0.65
【知识点】y=ax +bx+c的最值、图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积，然后根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，则，
∴的面积是，
∴，
当时，有最大面积，最大面积是，
故答案为：．
12．
【难度】0.4
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口向下则，又抛物线的对称轴为直线，则，由抛物线交轴于正半轴，则，即可判断；由对称轴对称轴的取值范围，可得的正负，即可判断；由抛物线经过得（），由图知，当时，得（），由图知，当时，，得（），联立（）、（）、（）便可求得的取值范围，即可判断；由抛物线的对称轴，，得，进而得，即可判断；由当得，由得，进而得的取值范围，即可判断；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线交轴于正半轴，
∴，
∴，
故不正确；
∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，，
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，
∴，
故正确；
∵抛物线经过，
∴（），
由图知，当时，，
∴（），
由图知，当时，，
∴（），
联立（）（）得，
联立（）（）得，
∴，
∴，
故错误；
∵抛物线的对称轴，
∴抛物线的顶点纵坐标应该大于，
∴，
∵，
∴，
∴，
故正确；
当时，，
当时，，
∴，
∴，
故正确；
综上：正确的结论是，
故答案为：．
13．
【难度】0.85
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、图象法确定一元二次方程的近似根
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，关键是观察表格，确定代数式值由负到正时，对应的的取值范围．由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正，故可判断时，对应的的值在之间，然后利用根与系数的关系即可求得另一个根．
【详解】解：设方程的两个根、，
，
由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正，
关于的方程的一个根约为，
则，
则另一个根约为，
故答案为：，0.7．
14．
【难度】0.4
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、其他问题(二次函数综合)、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小，利用解析式求得、点的坐标，根据抛物线的对称性求得的坐标，进一步求得的坐标，再求解即可．
【详解】解：作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小，
可得
四边形是平行四边形，
，
，
在中，令，则，
点，
令，则，
解得或，
点，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
15．
【难度】0.65
【知识点】根据交点确定不等式的解集
【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：由得，
直线与抛物线交于，，，
不等式的解集是，
不等式的解集是，
故答案为：．
16．//
【难度】0.85
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax 的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式等知识，正确求得该抛物线解析式是解题关键．首先利用待定系数法解得该抛物线解析式，再将点代入求解即可．
【详解】解：将点代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线解析式为，
将点代入，
可得．
故答案为：．
17．/
【难度】0.85
【知识点】抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，解题的关键在于掌握：的图象与x轴没有交点，即无解．
由二次函数的图象与x轴没有交点，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图像与轴没有公共点，
∴，
解得．
故答案为： ．
18．
【难度】0.85
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题考查了新定义问题及二次函数的平移，能够读懂题意得到原函数的解题关键．先根据二次函数的“有序数集”得到这个二次函数，再通过二次函数的平移得到平移后的二次函数，再转化成“有序数集”即可．
【详解】解：∵一个二次函数的“有序数集”是 ，
∴这个二次函数为，
再将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，
得到的新函数为，
故新函数对应的“有序数集”为．
故答案为： ．
19．(1)
(2)每千克应涨价5元
(3)商场每天不能盈利7000元，理由见解析
(4)6125
【难度】0.65
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）根据每千克涨价1元，日销售量将减少20千克列式求解即可；
（2）设每千克应涨价x元，求出每千克的利润和销售量，再根据总利润等于每千克的利润乘以销售量列出方程求解即可；
（3）假设商场能每天盈利7000元，设此时每千克应涨价m元，求出每千克的利润和销售量，再根据总利润等于每千克的利润乘以销售量列出方程，最后解方程，看方程是否有正数解即可得到结论；
（4）设每千克涨价n元，每天的利润为w元，求出每千克的利润和销售量，再根据总利润等于每千克的利润乘以销售量列出w关于n的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：（千克），
∴若每千克涨价2元，则每天可售千克，
故答案为：；
（2）解：设每千克应涨价x元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵要尽可能减轻顾客负担，
∴，
答：每千克应涨价5元；
（3）解：商场每天不能盈利7000元，理由如下：
假设商场能每天盈利7000元，设此时每千克应涨价m元，
由题意得，，
整理得：，
∵，
∴原方程无解，即假设不成立，
∴商场每天不能盈利7000元；
（4）解：设每千克涨价n元，每天的利润为w元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，w最大，最大值为6125，
∴这种水果每天盈利的最大值为6125元，
故答案为：6125．
20．(1)
(2)矩形实验田的面积能达到；
(3)矩形实验田的面积S 不能达到，理由见解析，矩形实验田的面积S的最大值为，此时的x 的值为
【难度】0.65
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据矩形的性质求面积、面积问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，根的判别式，计算的取值范围是解题的关键．
（1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式；
（2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值；
（3）当时，则，根据，得出方程无解，所以矩形实验田的面积S 不能达到；将与的函数配成顶点式，求出的最大值即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2）解：矩形实验田的面积能达到；理由如下：
，
，
，
，
当时，，
，
，
，
当时，矩形实验田的面积能达到．
（3）解：当时，则，
即，
∵，
∴方程无解，
∴矩形实验田的面积S 不能达到．
，
又∵，
∴当时，S有最大值，最大值为800，
∴S的最大值为，此时的x 的值为．
21．(1)；
(2)此球一定能投中．
【难度】0.85
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；
（2）令，求出的值，与比较即可作出判断．
【详解】（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：
，，
设二次函数解析式为，
将点代入可得：，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）解：将点坐标代入抛物线解析式得：
，
左边右边，
即点在抛物线上，
此球一定能投中．
22．(1)
(2)喷头A应该向上调整
【难度】0.65
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键．
（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标，经过点，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，令，进而可求解；
（2）根据题意，设平移后的函数表达式为，将点代入求得h值即可求解．
【详解】（1）解：由题意，该抛物线的顶点坐标，经过点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，解得，
故该抛物线的函数表达式为，
当时，，则，
即喷头A的高度为；
（2）解：设调整后的抛物线的函数表达式为，
根据题意，将代入，得，
解得，
答：喷头A应该向上调整．
23．(1)
(2)能成功，见解析
(3)方案可行，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形、拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
（1）过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，以的水面所在直线为x轴，交于点O，以点O为原点，建立平面直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将A、B、C坐标代入即可得出解析式；
（2）根据题意，得出危险高度，安全最低高度，计算出安全的宽度，与方案牌匾长比较，计算判断即可．
（3）设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得，，设出圆的半径，本别表示出、、利用垂径定理，勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，以的水面所在直线为x轴，交于点O，以点O为原点，建立平面直角坐标系，；
水面宽，拱顶离水面，
顶点的坐标为，且抛物线经过点，
设该抛物线的函数解析式为d代入得
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：根据题意，得
危险高度，安全最低高度为，
∵，
当时，，
解得，；
∴匾额的最大长度为，
，
牌匾悬挂能成功挂上；
（3）解：设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，
，
∵，设圆的半径为，则，，
根据勾股定理，得，
解得，
在上截取，过点G作，交圆于点E，F两点，
连接，则，，
∴，
∴，
方案的设计宽度为长度缩短为，宽仍然为，
故牌匾悬挂能成功．
24．(1)
(2)3.2米
(3)不能
【难度】0.65
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）先求出A的坐标，然后设抛物线解析式为，代入求解即可；
（2）把代入，求出x的值，可求此时水面宽度，即可求解；
（3）把代入函数解析式求出y，然后比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
根据题意，得，
代入，得，
∴，
∴抛物线的函数解析式；
（2）解：当时，，
解得，，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度缩小了米；
（3）解：当时，，
则，
∴水面上升至离拱顶时，木船不能通过这座拱桥．
25．(1)
(2)当时，长方形的面积最大，最大值为32
【难度】0.65
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）先表示出的长，再根据长方形面积计算公式列出对应的关系式即可；
（2）根据（1）所求关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，y最大，最大值为32，
∴当时，长方形的面积最大，最大值为32．
26．（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）N点坐标为：（－4，－3）或（－2，3）或（4，－3）；（3）P点坐标为：，；（4）N点坐标为：（－1，－4）或（3，12）或（－5，12）；（5）P点坐标为：（－2，－3）；或（，3）或（，3）；（6）N点坐标为：（－2，－3）或（2，5）或（－4，5）；（7）点M坐标为（2，－1）或（－4，－1）或或；（8）以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为（－1，－2）；（9）点N坐标为（－3，－3）或（3，0）
【难度】0.4
【知识点】特殊四边形(二次函数综合)
【详解】答案：（1）解：∵，
∴A（－3，0），C（0，－3），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）．
（2）解：设点N的坐标为
∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3），点B坐标为（1，0），
I、当AC、BN为对角线时，
则有：即：
解得：，即：N坐标（－4，－3）；
II、当AB、CN为对角线时，
有：，解得：
即：N坐标（－2，3）；
III、当AN、BC为对角线时，
有：，解得：
即：N坐标（2，－3）；
综上所述：满足条件的N点坐标为：（－4，－3）或（－2，3）或（4，－3）．
（3）解：如图：
∵轴，设点Q的坐标为，则P坐标为，
∴，
∵点C坐标为（0，－3），以O、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
即：，
解得：，，
当时，，
当时，，
∴P点坐标为：，．
（4）解：设点Q的坐标为，P点坐标为，
∵点A坐标为（－3，0），点B坐标为（1，0），
以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
I、当AB、PQ为对角线时，
则有
解得：，
当x＝－1时，，
即：P坐标（－1，4）；
II、当AP、BQ为对角线时，
有：，解得：
当x＝3时，，
即：P坐标（3，12）；
III、当AQ、BP为对角线时，
有：，解得：
当x＝－5时，，
即：N坐标（－5，12）；
综上所述：满足条件的N点坐标为：（－1，－4）或（3，12）或（－5，12）．
（5）解：设点Q的坐标为，P点坐标为，
∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3），
以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
I、当AC、PQ为对角线时，
则有
解得：，
当x＝0时，，P、C重合，不合题意，舍去；
当x＝－2时，，即：P坐标（－2，－3）；
II、当AP、CQ为对角线时，
则有
解得：，
当x＝0时，，P、C重合，不合题意，舍去；
当x＝－2时，，即：P坐标（－2，－3）；
设点Q的坐标为，P点坐标为，
∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3），
III、当AQ、CP为对角线时，
有：，解得：，
当时，，即：P坐标（，3）；
当时，，即：P坐标（，3）；
综上所述：满足条件的P点坐标为：（－2，－3）；或（，3）或（，3）．
（6）解：设点Q的坐标为，P点坐标为，
∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3），
以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
I、当AC、PQ为对角线时，
则有
解得：，
当x＝－2时，，
即：P坐标（－2，－3）；
II、当AP、CQ为对角线时，
有：，解得：
当x＝－2时，，
即：P坐标（2，5）；
III、当AQ、CP为对角线时，
有：，解得：
当x＝－4时，，
即：N坐标（－4，5）；
综上所述：满足条件的N点坐标为：（－2，－3）或（2，5）或（－4，5）．
（7）解：设点N坐标为（－1，y），M点坐标为，
∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3）
则：，，，
I、如图：当以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形ACMN时，
则为直角三角形，CN为斜边，
则：，
即：，解得：，即点N为（－1，2）；
∴ ，解得：，
此时M点坐标为（2，－1）
II、如图，
当以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形ACNM时，
则为直角三角形，AN为斜边，则：，
即：，解得：，即点N为（－1，－4）；
∴ ，解得：，
此时M点坐标为（－4，－1）
III、如图，
当以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形AMCN时，
则为直角三角形，AC为斜边时，则：，
即：，解得：，即点N为或．
∴当点N为时，
，解得：，
此时M点坐标为，
∴当点N为时，
，解得：，
此时M点坐标为，
综上所述：点M坐标为（2，－1）或（－4，－1）或或．
（8）解：I、以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形CQPD时，DQ，PC对角线，如图，
∴P点是C点（0，－3）关于抛物线的对称轴的对称点，故P坐标为（－2，－3），
Q点是点D（－1，－4）关于直线PC的对称轴点，故Q坐标为（－1，－2）；
II、以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形， DQ、CP是对边时，
∵轴，，
∴轴，
又∵C、P都在抛物线上，
∴P点不存在；
综上所述：以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为（－1，－2）．
（9）解：∵，
∴，
以A、C、M、N为顶点的四边形是正方形，则是等腰直角三角形，有3种情况，
I．当时，则，
如图：
∴M点与O点重合，即M点坐标为（0，0），
∴点N坐标为（－3，－3），
II．当时，则，
如图：
∴N点是A点（－3，0）关于y轴的对称点，故N坐标为（3，0），
综上所述：点N坐标为（－3，－3）或（3，0）．
27．（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）存在，点N坐标为（－1，2）或（－1，－4）或或；（3）存在，点P坐标为（2，5）或（－1，－4）；（4）点Q坐标为（－1，－4）或或
【难度】0.4
【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)
【详解】答案：（1）解：∵，
∴A（－3，0），C（0，－3），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）．
（2）解：如图，设点N坐标为（－1，y），
∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3）
则：，
，
，
I、若是直角三角形，当CN为斜边时，则：，
即：，解得：，即点N为（－1，2）；
II、若是直角三角形，当AN为斜边时，则：，
即：，解得：，即点N为（－1，－4）；
III、若是直角三角形，当AC为斜边时，则：，
即：，解得：，即点N为或；．
综上所述：点N坐标为（－1，2）或（－1，－4）或或；．
（3）解：如图，设点P坐标为（x，），
∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3）
则：，
，
，
I、若是直角三角形，当CP为斜边时，则：，
即：，
整理得：
解得：，，即点P为（2，5）；
II、若是直角三角形，当AP为斜边时，则：，
即：，
整理得：
解得：，，即点P为（－1，4）；
综上所述：点P坐标为（2，5）或（－1，－4）．
（4）解：如图，设点Q坐标为（x，），其中，
∵点B坐标为（1，0），点F坐标为（－2，－3）
则：，
，
，
I、若是直角三角形，当BQ为斜边时，则：，
即：，
整理得：
解得：，；
当时，，即点Q坐标为（－1，－4）
II、若是直角三角形，当BQ为斜边时，则：，
即：，
整理得：
解得：（不合题意，舍去），；此时Q点不存在
III、若是直角三角形，当BQ为斜边时，则：，
即：，
整理得：，
解得：，，，
当时，，
当时，，即点Q为或；
综上所述：点Q坐标为（－1，－4）或或．
28．（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）存在，P的坐标为（，）或（，）；（3）存在，点P的坐标为（－4，5）或（，）；（4）点M的坐标为（0，－3）；（5）存在，P的坐标为（，－）或（，－）；（6）点M的坐标为（，）或（，）；（7）在y轴上存在点N，点N的坐标为（0，±2）；（8）见解析，（－1，－3）．
【难度】0.4
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合)
【详解】答案：（1）解：∵，
∴A（－3，0），C（0，－3），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）．
（2）解：假设存在，
如图，当点P在x轴上方时，过点P作PH⊥x轴于点H，设点P的坐标为（a，），
则，
∵点A（－3，0），点C（0，－3），点E（－1，0），点P（a，），
∴AH＝a－（－3）＝a＋3，PH＝，OC＝3，EO＝1，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时，
∴点P的坐标为（，），
当点P在x轴下方时，如图，过点作⊥x轴于点F，设点的坐标为（b，），
则，
∵点A（－3，0），点C（0，－3），点E（－1，0），点（b，），
∴AF＝b－（－3）＝b＋3，＝，OC＝3，EO＝1，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时，
∴点的坐标为（，），
综上所述，在抛物线上存在点P，使，此时点P的坐标为（，）或（，）．
（3）解：假设存在，
如图，当点P在直线AC的右上方时，
设直线AD为，
将A（－3，0），D（－1，－4）代入，得
，
解得：，
∴直线AD为，
∵，
∴，
∴设直线PC为，
将C（0，－3）代入，得，
∴直线PC为，
将与联立方程，得
，
解得：，（不符合题意，舍去）
当时，，
∴点P的坐标为（－4，5）；
如图，当点在直线AC的左下方时，延长交x轴于点G，延长AD交y轴于点H，
∵直线AD为，
∴当x＝0时，y＝－6，
∴OH＝6，
∵，，
∴，
即：，
∴在△GOC与△HOA中，
，
∴△GOC≌△HOA（ASA），
∴OG＝OH＝6，
∴点G的坐标为（－6，0），
设直线CG为，
将G（－6，0），C（0，－3）代入，得
，
解得：，
∴直线CG为，
将与联立方程，得
，
解得：，（不符合题意，舍去）
当时，，
∴点P的坐标为（，），
综上所述，抛物线上存在点P，使得，此时点P的坐标为（－4，5）或（，）．
（4）解：如图，过点D作DH⊥y轴于点H，
∵点D为（－1，－4），点C为（0，－3），
∴DE＝OH＝4，OC＝3，DH＝1，
∴CH＝OH－OC＝1，
∴在Rt△CDH中，CD＝，
∵DM平分，
∴∠CDM＝∠FDM，
∵DFy轴，
∴∠CMD＝∠FDM，
∴∠CMD＝∠CDM，
∴CM＝CD＝，
∴OM＝OC－CM＝3－，
又∵点M在y轴的负半轴上，
∴点M的坐标为（0，－3）．
（5）解：假设存在，
∵，
∴PC＝PO，
∴点P在OC的垂直平分线上，
∵O（0，0），C（0，－3），
∴OC的垂直平分线为直线y＝－，
将y＝－代入，得
，
解得：，，
∴在抛物线上存在点P，使得，此时点P的坐标为（，－）或（，－）．
（6）解：若点M在点C的左上方时，满足，
如图，过点M作MH⊥AB于点H，过点C作CG⊥MH，交HM的延长线于点G，
∵，
∴，
∴，
设直线AC为，
将A（－3，0），C（0，－3）代入，得
，
解得：，
∴直线AC为，
∵点M在直线AC上，
∴设点M的坐标为（x，－x－3），
又∵点B（1，0），点C（0，－3），
∴MH＝x＋3，BH＝1－x，MG＝－x－3－（－3）＝－x，CG＝－x，
∴在Rt△MHB中，，
在Rt△MGC中，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
将代入，得，
∴此时点M的坐标为（，），
若点在点C的右下方时，满足，
如图，过点作于点N，
∵，，
∴，
∴，
设点的坐标为（m，－m－3），
又∵点B（1，0），点M（，），
∴MH＝＋3＝，BH＝1－（）＝，N＝－m－3，BN＝1－m，
∴在Rt△MHB中，，
在Rt中，，
∵，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
将代入，得，
∴此时点的坐标为（，），
综上所述，当直线AC与BM的夹角等于的2倍时，点M的坐标为（，）或（，）．
（7）解：假设在y轴的正半轴上存在点N，使得，
如图，过点N作NM⊥BN，交CB的延长线于点M，过点M作MH⊥y轴于点H，
则∠MHN＝∠MNB＝∠BON＝90°，
∵点A（－3，0），点C（0，－3），
∴OA＝OC＝3，
又∵∠AOC＝90°，
∴∠BAC＝∠OCA＝45°，
∴，
∴，
∵∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝∠MBN＝45°，
∴NB＝MN，
∵∠MHN＝∠MNB＝90°，
∴∠HMN＋∠HNM＝∠ONB＋∠HNM＝90°，
∴∠HMN＝∠ONB，
∴在△HMN与△ONB中，
，
∴△HMN≌△ONB（AAS），
∴HM＝ON，HN＝OB，
∵点B坐标为（1，0），
∴HN＝OB＝1，
设HM＝ON＝a，则OH＝ON＋HN＝a＋1，
∴点M的坐标为（a，a＋1），
设直线BC为，
将B（1，0），C（0，－3）代入，得
，
解得：，
∴直线BC为，
将点M（a，a＋1）代入得：
，
解得：，
∴点N的坐标为（0，2），
当点N在y轴的负半轴时，如图所示，根根轴对称的性质可得此时点N的坐标为（0，－2），
综上所述，在y轴上存在点N，使得，此时点N的坐标为（0，±2）．
（8）解：如图，过点D作直线l⊥y轴，过点M、N分别作直线l的垂线，垂足分别为点H、G，
设点M的坐标为（m，），点N的坐标为（n，），
∵顶点D的坐标为（－1，－4），且M、N分别位于点D的左右两侧，
∴，，
，，
根据题意可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
整理得：，
设直线MN为，
将M（m，），N（n，）代入，得
，
解得：，
∴直线MN为，
∵，
∴，
∴直线MN为，
∴当即时，，
∴无论m，n取何值，直线MN总会经过定点（－1，－3），
∴直线MN恒过定点，该定点坐标为（－1，－3）．
