广东省揭阳市2016届高三学业水平考试数学试卷（文） Word版含答案

揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试
数学(文科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
(A) (B) (C) (D)
2．已知复数满足，则
(A) (B) (C) (D)
3．已知向量，则
(A) 8 (B)5 (C) 4 (D)
4．若方程在区间有解，则函数的图象可能是
5．在等差数列中，已知则此数列的公差为
(A) (B)3 (C) (D)
6．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数，则不等式成立的概率是
(A) (B) (C) (D)
7．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是
(A)  (B) (C) 1 (D)
8．函数的最大值和最小正周期分别为
(A) (B) (C) (D)
9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描
述汽车价值变化的算法流程图，则当时，最后输出的S为
(A) (B) (C) (D)
10．已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1 D1在一半球底
面上，且A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为
(A) (B) (C) (D)
11．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线
与的一个交点，若，则=
(A)3 (B)4 (C)6 (D)8
12．若关于的方程在内有两个不同的实数解,则实数的取值范围为
(A) 或 (B) (C) (D)或
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
13． 已知，则 ．
14．设变量，满足约束条件，则
的最小值为 ．
15．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是
一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截
去部分的几何体的表面积为 ．
16．数列的通项公式，其前
项和为，则等于 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知分别是内角的对边，且.
（I）求的值；
（II）若，，求的面积．
18．（本小题满分12分）
某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为
.
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”，
若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”；
（Ⅲ）设表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的
时间，且已知，求事件“”的概率.
19．（本小题满分12分）
如图4，在三棱柱ABC -A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的
等边三角形，D为AB中点．
(Ⅰ)求证：BC1∥平面A1CD；
(Ⅱ)若四边形CB B1C1是正方形，且
求多面体的体积.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，且长轴的长为4，离心率等于.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆在第一象限的一点的横坐标为1，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，，求证：直线AB的斜率为定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数 曲线在点处的切线方程为
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）当且时，求证：
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图5，四边形ABCD内接于，过点A作的切线EP交CB
的延长线于P，已知．
（I）若BC是⊙O的直径，求的大小；
(II）若，求证：．
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．
（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求的值.
24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若,求证：
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数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：BCADAC DBCACD
解析：
9.依题意知，设汽车年后的价值为,则，结合程序
框图易得当时，．
10. 设半球的半径为，依题意可得 ，解得，
所以此半球的体积为.
11. 如右图，根据已知条件结合抛物线的定义易得：
.
12. 令则，关于的方程在内有两个不同的实数解等价于方程在上有唯一解或，解得或.[或方程在上有唯一解等价于直线与关于的函数，图象有唯一交点，结合图象易得．
二、填空题：13.；14. -8；15.；16.687．
解析：15.依题意知该几何体如右图示：则被截去部分的几何体的表面积为
.
16.
三、解答题：
17．解：（I）∵、为的内角，
由知，结合正弦定理可得：
------------------------------------------------------------3分
,-----------------------------------------------------------------4分
∵ ∴.--------------------------------------------------------5分
（II）解法1：∵，，
由余弦定理得：，----------------------------------------7分
整理得： 解得：或（不合舍去）--------------------------9分
∴，由得
的面积．--------------------------------------12分
【解法2：由结合正弦定理得：，---------------------6分
∵， ∴, ∴,-----------------------------7分
∴
=----------------------------9分
由正弦定理得：，-------------------------------------------------10分
∴的面积．------------------------------------12分】
18.解：（1）由得；-------------------2分
（Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为，--------------------3分
不少于1小时的频数为1200，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；------5分
（Ⅲ）由直方图知，成绩在的人数为人，设为；------6分
成绩在 的人数为人，设为.---------------------------7分
若时，有三种情况；
若时，只有一种情况；-------------------------------------------8分
若分别在内时，则有共有6种情况.所以基本事件总数为10种，------------------------------------------------------------------10分
事件“”所包含的基本事件个数有6种.
∴P（）=----------------------------------------------------12分
19.（I)证法1：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，
则E为AC1中点，-------------------------------2分
∵D为AB的中点，∴DE∥BC1，------------------4分
∵BC1平面A1CD，DE平面A1CD，------------5分
∴BC1∥平面A1CD. -----------------------------6分
【证法2：取中点，连结和，-----1分
∵平行且等于 ∴四边形为平行四边形
∴ -----------------------------------2分
∵平面，平面
∴平面,------------------------------3分
同理可得平面------------------------4分
∵ ∴平面平面
又∵平面
∴BC1∥平面A1CD. -------------------------------6分】
(Ⅱ) -------------------------------------7分
又 ，
又 面-------------------------------------------9分
（法一）∴所求多面体的体积-----------------------10分
即所求多面体的体积为.----------------12分
【（法二）过点作于，
∵平面平面 且平面平面
∴平面,----------------------------------------------------------10分
∴所求多面体的体积
.------------------------------------------12分】
20.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为--------------------------------1分
由题意，解得．-----------------------------------------4分
所以，椭圆的方程为．-------------------------------------------------5分
（Ⅱ）由椭圆的方程，得．-------------------------------------6分
由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PA的斜率为k，
则PA的直线方程为．--------------------------------------------7分
由得：．-------------8分
设A(xA, yA)，B(xB, yB)，则，-------------------------------9分
同理可得----------------------------------------------------10分
则，．
所以直线AB的斜率为定值．----------------------------------12分
21.解：（Ⅰ）∵----------------------------------------------------1分
由直线的斜率为0，且过点
得即------------------------------------------------------3分
解得-----------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）当时，不等式--------------------------6分
当时，不等式-----------------------------7分
令
当时， 所以函数在单调递增，------------------------9分
当时，故成立------------------------------10分
当时，故也成立-------------------------11分
所以当且时，不等式 总成立----------------------------12分
22.解：（I）EP与⊙O相切于点A，，-----------------------1分
又BC是⊙O的直径，----------------------------------------------3分
四边形ABCD内接一于⊙O，
-------------------------------------------------------------------5分
（II）
---------------------------------------------------------------7分
-------------------------------------------------------------------8分
又--------------------------------------------------10分
23.解：（I）直线的普通方程为，------------------------------------2分
曲线C的直角坐标系方程为--------------------------------------------4分
（II）⊙C的圆心（0，0）到直线的距离
------------------------------------------------------------6分
∴ --------------------------------------------------------8分
∵
故．-----------------------------------------------10分
24.解：（I）由题意，得，
因此只须解不等式 ---------------------------------------------1分
当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即；------------------------------------2分
当时，原不式等价于1≤2，即；------------------------------------3分
当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即.--------------------------------------4分
综上,原不等式的解集为. -------------------------------------------5 分
（II）由题意得------------------------------------6分
=---------------------------------------------8分
--------------------------------------------------------------9分
所以成立．------------------------------------------------10分