2024-2025学年上海交大附中高一上学期数学周测及答案（2024.10）（含答案）

交大附中2024学年第一学期高一年级数学练习
2024.10
一、填空题
1．方程组的解集为________．
2．已知全集，集合，，则________．
3．已知集合，，若，则实数的取值范围是______．
4．若集合只有一个元素，则________．
5．用反证法证明“自然数，，中至多有一个偶数”时，假设应为________．
6．若集合，，则________．
7．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．
8．设集合，且，则实数的取值范围是_______．
9．若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________．【上海数学研讨】
10．设集合，，则、之间的关系为____．
11．设集合，现对的任一非空子集，令为中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为________．
12．对于数集，其中，，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质．则下列命题中为真命题的是________．
①具有性质； ②若集合具有性质，则；
③集合具有性质，若，则．
二、单选题
13．数集，，，若，，【上海数学研讨】则（ ）
A． B． C． D．、、都有可能
14．若、是全集的真子集，则下列四个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件．其中与命题等价的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
15．设、、、、、均为非零实数，不等式和的解集分比为集合和，且，，那么“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
16．当一个非空数集满足“如果、，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：
①0是任何数域的元素；
②若数域有非零元素，则；
③集合是一个数域；
④有理数集是一个数域．其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三．解答题
17．用适当的方法表示下列集合，【上海数学研讨】并判断它是有限集还是无限集．
（1）不等式的解集；
（2）二元二次方程组的解集；
（3）由大于且小于9的偶数组成的集合．
18．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数．
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若是单元素集合，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围．
19．下列命題中，判断条件是条件的什么条件．
（1），；
（2）是直角三角形，是等腰三角形；
（3）四边形的对角线互相平分，四边形是矩形；
（4），；
（5），关于的方程有实根．
20．设集合，．
（1）若，【上海数学研讨】求实数的值；
（2）若集合中有两个元素、，求；
（3）若，，求实数的取值范围．
附加题：
1．集合有10个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则________．
2．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，．现有关于“取整函数”的两个命题：
①集合是单元素集；
②对于任意，成立，则以下说法正确的是（ ）
A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题
C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.;
5.中至少有两个偶数; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.①②③
11．设集合，现对的任一非空子集，令为中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为________．
【答案】【上海数学研讨】
【解析】集合的非空子集共有个,其中,最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集,共有个,
同上可知，最小值为2的子集共有个，最小值为3的子集共有个,,最小值为6的子集共有个;最大值为6的子集可视为的子集与集合的并集,共有个,
同上可知，最大值为5的子集共有个，最大值为4的子集共有个,,最大值为1的子集共有个,
所以,的所有非空子集中的最小值之和为
最大值之和为
所以所有这样的的算术平均值为
故答案为:7.
12．对于数集，其中，，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质．则下列命题中为真命题的是________．
①具有性质；
②若集合具有性质，则；
③集合具有性质，若，则．
【答案】①②③
【解析】因为,【上海数学研讨】
所以
根据集合具有性质的定义,对于任意
若,则或,或,
若,取,则;
若,取,则;
若,取,则;
若有一个为负数,则或,
若,则取,则；
若,则取,则;故①正确；
对于任意,存在,使得
取,存在)使得,所以,
不妨设,所以若集合具有性质,则,故②正确;
③假设,令,则存在,使得,
同②得中必有一个数为-1,若,则,于是,矛盾,
若,则,于是,也矛盾,所以,又由②得,所以,所以,故③正确,故真命题是①②③正确.故答案为:①②③.
二、选择题
13.A 14.B 15.C 16.B
16．当一个非空数集满足“如果、，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：
①0是任何数域的元素；
②若数域有非零元素，则；
③集合是一个数域；
④有理数集是一个数域．其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B【上海数学研讨】
【解析】对于①,若,由互异性,假设则,可得,故数域必含
元素0,①正确,
对于②，数域有非零元素，可知，则，,故②正确;
对于③,若是一个数域,则中应该有元素1,这与中元素都是偶数矛盾,故不是数域,③错误;
对于④,若任意是有理数,则,、(除数)都是有理数,
所以有理数集是数域,④正确.综上所述,其中的假命题只有③，1个.故选：B.
三．解答题
17.（1），无限集； （2），有限集；（3），有限集
18.（1） （2） （2）
19.（1）必要不充分条件 （2）既不充分也不必要条件 （3）必要不充分条件
（4）充分不必要条件 （5）充分不必要条件
20．设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若集合中有两个元素、，求；
（3）若，，求实数的取值范围．
【答案】（1）或. （2） （3）
【解析】(1)由题意得,
因为,所以,所以即,
化简得,即，解得或,
检验：当时，,满足,
当时,,满足,所以或.
(2)因为集合中有两个元素,所以方程有两个根,
所以且
所以
(3)因为,且,
当时,,解得,符合题意;
当时,则无解;
当时,则所以；
当时,则无解,
【上海数学研讨】综上，的取值范围.
附加题
1.
2.A