21.2.2 公式法 课件(共21张PPT)-2024-2025学年人教版数学九年级上册

(共21张PPT)
21.2.2 公式法
21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
请用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0.
【解析】移项，得 2x2+4x=-1
二次项系数化为1，得 x2+2x=-
配方，得 x2+2x+1=- +1
即 (x+1)2=
开方，得 x+1= ,x+1=-
∴x1= -1,x2=- -1.
1.了解一元二次方程求根公式的推导过程；
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
3.理解一元二次方程根的判别式的概念，并能应用根的判别式解决问题.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)
方程两边都除以a
【解析】
移项，得
配方，得
即
问题：接下来能用直接开平方解吗？
即
一元二次方程的求根公式
特别提醒
∵a ≠0,4a2>0，
当b2-4ac ≥0时，
∵a ≠0,4a2>0，
当b2-4ac ＜0时，
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
【归纳】
一般地，式子b2-4ac＜0叫做一元二次方程
ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”
表示它，即Δ=b2-4ac.
【归纳】
当Δ＞0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个不相等的实数根；
当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)无实数根.
【归纳】
当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
直接利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
【例1】一元二次方程 的根的情况
是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【例题】
【解析】 ∵b2-4ac=(-5)2-4×2×1=17＞0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
A
【解析】 a=2 , b=5 , c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49＞0.
∴ x =
∴ x1=-3, x2=
【例2】用公式法解方程:2x2+5x-3=0.
【例题】
（2021·淮北质检）用公式法解方程:x2-5x-1=0.
【解析】 这里a=1, b=-5 , c=-1
b2-4ac=
x=
即 x1 , x2
（-5）2-4×1×(-1)=29>0
【跟踪训练】
【例3】用公式法解方程:
【解析】方程两边同乘以3,得 2x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2
∴b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25
即x1=2，x2=
【例题】
解方程：
【解析】化简为一般式
a=1, b= , c= 3
∵b2 - 4ac=( )2 - 4×1×3=0
【跟踪训练】
即 x1= x2= .
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2.求出b2-4ac的值.
3.若b2-4ac≥0代入求根公式:
(a≠0, b2-4ac≥0)
否则原方程无解.
4.写出方程的解： x1= , x2=
【归纳】
1.由公式法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)，若 b2-4ac≥0得求根公式：
通过本课时的学习，需要我们掌握：
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
3.能应用根的判别式解决问题.
1.（2021·定远一模）关于x的方程(x-1)(x+2)=m2( m 为常数)
的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
【解析】 ∵关于x的方程(x-1)(x+2)=m2( m 为常数)
∴ x2 + x-2-m2=0
∵b2-4ac=12+8+4 m2 =9+4m2>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
A
2.用公式法解下列方程：
(1)x2 +2x=5
(2) 6t2 -5=13t
(3)（x-2)(1-3x)=6
这里 a=3, b=-7, c=8
∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0
∴原方程没有实数根
【解析】去括号，得 x-2-3x2+6x=6
化简为一般式，得 3x2-7x+8=0
【解析】当a-5=0时，有实数解x= ，此时a=5；
当 时，应满足 ，
解得a≥1，
综上所述a≥1.
3.关于x的方程(a-5)x2－4x－1＝0有实数根，求a的
取值范围.
　 数学中的一些美丽定理具有这样的特性:
它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏得
极深.
——高斯