22.1.1 二次函数 课件(共19张PPT)2024-2025学年人教版数学九年级上册

(共19张PPT)
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
第二十二章 二次函数
1.了解二次函数的概念，知道二次函数的一般形式.
2.会列简单的二次函数解析式.
1.什么叫函数
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.一元二次方程的一般形式是什么？
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.
2.什么是一次函数？正比例函数？
ax2+bx+c=0 (a,b,c是常数，a≠0)
问题1：
正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，
表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .
y=6x2
此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题2：
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
n边形有＿＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这
点不相邻的各顶点，可作＿＿＿＿条对角线.因此，n边形的对角线总数为＿＿＿＿＿.
n
（n-3）
此式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系，对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的年产量是20件，一年后的产量是_______件，再
经过一年后的产量是_____________件，即两年后的产量为： .
即：y=20x2+40x+20.
y=20(1+x)2
20(1+x)
20(1+x)(1+x)
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，
对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.
问题1-3中函数关系式有什么共同点
函数都是用自变量的二次整式表示的
y=6x2
y=20x2+40x+20
二次函数的定义：
形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和
常数项，但不能没有二次项.
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.
（1）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间
的函数关系；
（2）菱形的两条对角线的和为26cm，写出菱形的面积
S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
【例题】
（1）由题意得 ，其中y是x的二次函数；
（2）由题意得 ，
其中S是x的二次函数.
【解析】
1.正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？
2.矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将其长增加xcm，
其宽增加2xcm,则面积增加到ycm ，试写出y与x的
关系式．
【答案】
【跟踪训练】
1. y=x
2. y=2x +11x+12
3.若函数 为二次函数，求m的值.
解①得：m=2或m=-1;
解②得：m≠1且m≠-1;
所以 m=2.
①
②
【解析】因为该函数为二次函数，
1.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的函数叫做二次函数.
y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx (a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax +bx+c是整式,自变量x的最高次数
是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
理解二次函数的定义应该注意的几个问题:
2.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的
值一定是____.
0
1.如果函数y= +kx+1是二次函数,则k的值一定是______.
0或3
3.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（cm）
之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函
数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积
S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为
y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
5.体育课上，老师用绳子围成一个周长为30m的游戏场地，
围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x
（单位：m），矩形ABCD的面积为S（单位：m ）．
（1）求S与x之间的函数解析式（不要求写出自变量x的
取值范围）.
（2）若矩形ABCD的面积为50m ，且AB＜AD，请求出
此时AB的长.
【解析】（1）S=x(15-x)=-x2+15x
（2）由题意：-x2+15x＝50
解得：x1＝5，x2=10
∵AB＜AD
∴AB＝5m.
喷泉的高度不会超过它的源头，一个人的成就不会超过他的信念.
——佚名