22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 第2课时 课件(共19张PPT)2024-2025学年人教版数学九年级上册

(共19张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x h)2+k的图象和性质
第2课时
观察图象,回答问题.
函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
在同一坐标系中作出二次函数y=3x 和 y=3(x-1) 的图象．
1
2
3
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
-1
x
y
5
y=2(x-1)2+1
y=2(x-1)2
y=2x2
观察这三个图象是如何平移的.
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.(重点）
3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点）
【例1】画出函数y=- (x+1) 1的图象，指出它的
开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=- x 经过怎样
的变换可以得到抛物线y=- (x+1) -1？
【例题】
二次函数y=- (x+1)2-1的
图象可以看作是抛物线
y=- x2先沿着x轴向左平移
1个单位,再沿直线x=-1向
下平移1个单位后得到的.
二次函数y= (x+1)2 1的图象和抛物
线y= x ，y= (x+1)2有什么关系
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别
是什么
对称轴仍是平行于
y轴的直线(x=-1).
顶点是
(-1,-1).
开口向下,当x=-1时
y有最大值，且最大
值是-1.
y
x
y=- (x+1)
y=- x
y=- (x+1) -1
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,
y=-3(x-1)2-2,y=-3x 和y=-3(x-1)2的图象
【跟踪训练】
对称轴仍是平行于
y轴的直线(x=1).
顶点分别是
(1,2)或(1,-2)
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
开口向下,
当x=1时y有
最大值且
最大值= 2
(或最大值=-2).
y
x=1
与y=-3x 有关
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x ,y=-3(x-1)2有什么关系 它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
二次函数y=a(x-h) +k与y=ax 的关系：
一般地,由y=ax 的图象可得到二次函数y=a(x-h) +k的图象.y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体向左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体向上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移；当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h) +k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关.
抛物线y=a(x-h) +k有如下特点：
（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；
（2）对称轴是直线x=h；
（3）顶点坐标是（h，k）.
【归纳】
从二次函数y=a(x-h) +k的图象可以看出：
如果a＞0,当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；
如果a＜0,当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小.
y
x
【例题】【例2】要修建一个圆形喷水池，
在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端
安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与
池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为
3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
点（3，0）在抛物线上，求a没问题.
【解析】如图建立直角坐标系，点（1，3）
是顶点，设抛物线的解析式为
y=a(x-1)2 +3（0≤x≤3），
∵点（3，0）在抛物线上，
∴0=a(3-1)2 +3， ∴a=-0.75，
∴y=-0.75(x-1)2 +3(0≤x≤3),
当x=0时，y=2.25，即水管应长2.25m.
点（1，3）是顶点，知道h=1，k=3，求出a就可以了!
向空中发射一枚炮弹，经x s后的高度为ym，且时间
与高度的关系为y=ax2 bx+c（a≠0）.若此炮弹在第
7s与第14s时的高度相等，则 在下列时间中炮弹所在
高度最高的是（ ）
A．第8s B．第10s
C．第12s D．第15s
B
【跟踪训练】
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
y=a(x-h) +k 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0 向上 x=h （h，k）
a<0 向下 x=h （h，k）
当堂练习
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1, -2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , -6 )
向上
直线x=-3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(-3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1
个单位，那么所得抛物线是___________________.
4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 .
3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平
移1个单位，得到抛物线的解析式为______________.
先向左平移一个单位，再向下平移两个单位（或先向下平移两个单位，再向左平移一个单位）
5.已知二次函数的图象如图所示，关于该函数
在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )
A.有最小值0，有最大值3
B.有最小值-1，有最大值0
C.有最小值-1，有最大值3
D.有最小值-1，无最大值
【解析】因为图象顶点的纵坐标为-1，最高值为３．
C
6.某广场有一喷水池，水从地面喷出．如图，以水平地面为
轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲
线是抛物线y=-(x-2)2+4（单位：m）的一部分，则水喷出的最
大高度是( )
A．4m B．3m C．2m D．1m
x (m)
y (m)
【解析】抛物线的顶点坐标为（2,4），
所以水喷出的最大高度是4m.
A
一个人能在关键时刻被他人寄予信任，这是最大的荣誉和幸福.
——佚名