22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时 课件(共25张PPT)2024-2025学年人教版数学九年级上册

(共25张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时
说出二次函数 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.它是由y=-4x2怎样平移得到的？
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减性
极值
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当x而减小；当x>h时，
y随着x的增大而增大.
当x而增大；当x>h时，
y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）
怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象
配方化成顶点式
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为完全平方式,后两项合并同类项
化简
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
… 29 14 5 2 5 14 29 …
列表:根据对称性,选取适当值列表计算
∵a=3>0,∴开口向上；
对称轴:直线x=1；
顶点坐标:(1,2).
再根据顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标.
x=1
● (1，2)
通过图象你能看出当x取何值时y随x的增大而减小，当x取何值时，y随x的增大而增大吗？
当x<1时y随x的增大而减小;当x>1时，y随x的增大而增大.
在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上.同学们，你想到了什么？
0
画出y＝ x2－6x＋21的图象.
配方得：
y= x2－6x＋21
=
(x－6)2＋3.
由此可知，抛物线 的顶点是点（6，3），
对称轴是直线x＝6.
y＝ x2－6x＋21
【例题】
O
y
x
5
10
5
10
20
15
x ＝6
y＝ (x－6)2＋3
y＝ x2－6x＋21
怎样平移抛物线
y＝ x2得到抛物线
y＝ (x－6)2＋3？
当_____时y随x的增大而增大
当_____时y随x的增大而减小
x>6
x<6
·
（8，5）
·
（4，5）
·
(6，3)
·
（12，21）
·
（0，21）
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
【跟踪训练】
一般地,对于二次函数y=ax +bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
你能把函数y=ax +bx+c通过配方法化成顶点式吗？
【 思考】
y=ax +bx+c
一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
【 归纳】
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.
对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）
对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）
对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
【跟踪训练】
函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间有什么关系？
【 思考】
1.相同点:
(1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最大(或小)值.
(4)a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小.
在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大. a<0时，开口向
下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大.在对称轴右侧，
y都随x的增大而减小.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax 的关系
2.不同点:
(1)位置不同.
(2)顶点不同:分别是__________和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是___________和y轴.
(4)最值不同:分别是_______和0.
3.联系:
y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax +bx+c的图象先沿x轴整体向左(右)平移|____|个单位(当___>0时,向右平移;当___ <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|_____|个单位 (当______>0时向上平移;当_____<0时,向下平移)得到的.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线
顶点
坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
1.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形
式为（ ）
A. y=(x-4)2+7 B. y=(x-4)2-25
C. y=(x+4)2+7 D. y=(x+4)2-25
【解析】y=x2-8x-9=x2-8x+16-25= (x-4)2-25
B
2.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值
是（ ）
A. 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
【解析】由题意，得
解得a=4.
A
3.（2021·泰安期末）将二次函数y=(x+1)2-2的图象向上平移4个单位,得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A. y=(x+5)2-2 B. y=(x-3)2-2
C. y=(x+1)2-6 D. y=(x+1)2+2
【解析】将二次函数y=(x+1)2-2的图象向上平移4个
单位,得到的图象对应的函数表达式是
y=(x+1)2-2+4，即y=(x+1)2+2.
D
一个人除非自己有信心，否则不能带给别人信心.
——佚名