22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 课件(共16张PPT)2024-2025学年人教版数学九年级上册

(共16张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要
已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤
是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设： （表达式）
(2)代： （坐标代入）
(3)解： 方程（组）
(4)还原：（写表达式）
二次函数解析式有哪几种表达方式？
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
如何求二次函数的解析式？
已知二次函数图象上两个点的坐标，可用待定系数法求其解析式
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
1.会用待定系数法确定二次函数的解析式.
2.会求简单的实际问题中的二次函数解析式.
解析：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
由条件得：
a-b+c=10，
a+b+c=4，
4a+2b+c=7，
解方程组得：
因此，所求二次函数的解析式是：
a=2, b=-3, c=5.
y=2x2-3x+5
【例1】已知一个二次函数的图象过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式.
【例题】
【例2】已知抛物线的顶点为(-1，-3),
与y轴交点为(0，-5),求抛物线的解析式.
y
o
x
解析：
设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3
由点( 0,-5 )在抛物线上得：
a-3=-5, 得a=-2
故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3
-1
-3
【例题】
【例3】当x=1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式.
【例题】
解析：方法一：由题意知，抛物线的顶点为（1,4），对
称轴为x=1，又因为抛物线与x轴两交点之间的距离为6，
所以抛物线与x轴的两交点为（-2,0）和（4,0），
设函数解析式为y=a(x-1)2+4，因为当x=-2时，y=0，
所以0=a(-2-1)2+4，所以 ，所以函数解析式为
y= (x-1)2+4，即
【例3】当x=1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式.
【例题】
解析：方法二：由题意知，抛物线的顶点为（1,4），对
称轴为x=1，又因为抛物线与x轴两交点之间的距离为6，
所以抛物线与x轴的两交点为（-2,0）和（4,0），
设函数解析式为y=a（x+2)(x-4)，因为当x=1时，y=4，
所以4=a(1+2)(1-4)，所以 ，所以函数解析式为
y= (x+2)(x-4)，即
1.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数
a，b，c的值，由已知条件（如二次函数图象上三个点
的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c就
可以写出二次函数的解析式.
2.当给出的点的坐标有顶点时，可设顶点式y=a(x-h)2+k,
将h，k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出
a的值.
3.当抛物线与x轴的两个交点易得到时，可设交点式
y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.
【归纳】
已知二次函数的图象经过点(-1，-5)，(0，-4)和
(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x-4.
a＋b＋c＝1，
c＝-4，
a-b＋c＝-5，
解得
b＝3，
c＝-4，
a＝2，
【跟踪训练】
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
1.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表
达式是 .
顶点坐标是（1，6）
y=-2(x-1)2+6
2.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且
过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点
∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)
又∵抛物线过点M(0，1)
∴ 1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1
∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)
即y＝－x2＋1.
3.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(-4，-3)，与y轴
交于点B，对称轴是x＝-3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(-4，-3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝-3，c-4b＝-19.
∵对称轴是x＝-3
∴ ＝-3
∴b＝6
∴c＝5
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
解：∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.
一个人如果看到什么都是本分，那就没有感激；如果看到情分更多，那就会有一种珍重之心.
——佚名