22.3 实际问题与二次函数 第1课时 课件(共21张PPT)2024-2025学年人教版数学九年级上册

(共21张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
第1课时
第二十二章 二次函数
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
（1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法)
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；
顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；
（2）开口方向：向下；对称轴：x= ；
顶点坐标：（ ， ）；
最大值： .
二次函数 的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定.
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题，
商品销售过程中的最大利润问题.（重点）
问题1：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随
矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的
面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值.
矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 m.场地的面积: ，
(0S=l(30-l)
即S=-l2+30l
请同学们画出此函数的图象
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
O
问题1：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
即l是15m时，场地的面积S最大（S=225㎡).
O
问题1：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低
（高）点，所以当 时，二次函数y=ax2+bx+c有
最小（大）值 .
结论：
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
请同学们思考：
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生
了变化？
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况.
①先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品
的利润y也随之变化，我们先来确定y随x变化的函数解析式.
涨价x元,则每星期少卖 件，实际卖出 件,
每件利润为 元，因此，所得利润
为　　　　　　　　 元.
10x
(300-10x)
(60+x-40)
（60+x-40）(300-10x)
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
【解析】设每件涨价x元，则y=(60+x-40)(300-10x)，
(0≤x≤30)
即y=-10（x-5）2+6250
∴当x=5时，y最大值=6 250.
怎样确定x的取值范围
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元.
也可以这样求最值：
②在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考①的过程得出答案.
【解析】设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，因此，得利润：
y=(300+20x)(60-40-x)
=-20(x -5x+6.25)+6125
=-20（x-2.5） +6125
∴x=2.5时，y最大值=6125.
怎样确定x的取值范围
（0＜x＜20）
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
用二次函数解决最值问题的一般步骤：
【归纳】
抽象
二次函数问题
运用
问题的解决
实际问题
1. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
25 m
D
A
C
B
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
2.(2020·湖北中考)某商店销售一批头盔,售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市” 期间，计划将头盔降价销售，经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 ____元.
【解析】设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元 w= (x-50) [200+ ( 80-x ) 20]=-20 (x-70) 2 +8000
当x=70时，w取得最大值，此时w=8000 故答案为:70
70
3.(2020·葫芦岛中考)小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周的销售量y（本）与销售单价x (元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表:
(1)求y与x之间的函数关系式; (2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15, 且x为整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b( k≠0)
即y与x之间的函数关系式为y=-50x+1100
(2)由题意可得：W= (x-10)y=(x-10) (-50x+1100)
=-50(x-16)2+ 1800 ∵a=-50<0
∴w有最大值 当x<16时，w随x的增大而增大 当x=15时，x有最大值，此时w=-50( 15-16) 2+ 1800=1750
答:销售单价为15元时每周获利最大，最大利润是1750元.
一个人有了远大的理想，就是在最艰苦困难的时候，也会感到幸福.
——佚名