22.3 实际问题与二次函数 第2课时 课件(共23张PPT) 2024-2025学年人教版数学九年级上册

(共23张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
第2课时
第二十二章 二次函数
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
x
y
x
y
x
y
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k
（4）y=ax2+bx+c
O
O
O
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点)
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重点难点)
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
问题1：图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
l
l
如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
当拱桥离水面2m时,水面宽4m,
即抛物线过点(2,-2),
∴这条抛物线所表示的二次函数为
问题1：图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
1.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；
O
A
C
D
B
y
x
20 m
h
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.
【跟踪训练】
2.悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
x
-450
450
x
O
-450
450
y
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a 4502+0.5.
解得
故所求表达式为
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
y
x
O
-450
450
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
y
x
O
-450
450
解：当x=450－100=350（m）时，得
当x=450－50=400（m）时，得
问题2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
解得
a=－0.2
k=3.5
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m.
2.25a+k=3.05
k=3.5
x
y
O
【跟踪训练】
（2021·中山期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h=20时，t=1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（　）
A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③
【解析】
由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）
在抛物线上，顶点为（3，40）， 设函数解析式为h=a（t-3）2+40， 将（0，0）代入得：0=a（0-3）2+40， 解得：a=-40/9， ∴h=-40/9（t-3）2+40． ①∵顶点为（3，40）， ∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2=80m，故②正确； ③令h=20，则20=-40/9（t-3）2+40， 解得t=3±3 22，故③错误； ④令t=2，则h=-40/9（2-3）2+40=320/9m，故④错误． 综上，正确的有①②．
【跟踪训练】
（2021·中山期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h=20时，t=1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（　）
A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③
A
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线问题
（实物中的抛物线形问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
转化的关键
【解析】由题意得：h=-5t2-+20t+1.5=-5(t-2) 2+21.5
∵a=-5< 0
故当t=2时，h取得最大值，此时h=21.5
1.(2020·山西中考)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s )之间的关系可以近似地用公式h=-5t2 +vot+ho表示，其中ho(m)是物体抛出时离地面的高度，v0 (m/s)是物体抛出时的速度.某人将-个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( ）
A.23.5m B.22.5m C.21.5m D.20.5m
C
2.某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
数学化
●B(1,2.25)
(0,1.25)
●
C
●
D
o
A
x
y
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;
同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
设抛物线为y=a(x+h)2+k，
由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.
●B(1,2.25)
(0,1.25)
●
D
o
A
x
y
●
C
在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.
——拉普拉斯