24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共23张PPT) 2024-2025学年人教版数学九年级上册

(共23张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
如图,半径有:___________.
O
B
C
A
OA、OB、OC
若∠AOB=90°，
则△AOB是 三角形.
弦有:___________.
AB、BC、
AC
等腰直角
●
O
B
C
A
如图,弧有:______________
⌒
AB
⌒
BC
劣弧有：
优弧有：
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
●
⌒
BAC
⌒
ACB
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
你是怎么得出结论的？
圆的对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
用折叠的方法
●O
【问题】如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC, AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
【归纳总结】
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
【思考探索】
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
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如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
⌒
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⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
⌒
⌒
【证明举例】
·
O
A
B
C
D
E
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
【例1】如图，已知在圆O中，弦AB的
长为8㎝，圆心O到AB的距离为3㎝，
求圆O的半径.
E
O
A
B
【解析】根据题意,得AE=4cm ，OE⊥AB，OE=3cm.
在Rt△OEA中，根据勾股定理,得AO2=OE2+AE2=32+42=25，AO=5cm.
【例题】
变式1：AC，BD有什么关系？
变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝____, EC=_____.
FD
FB
变式4：______，AC=BD.
OA=OB
变式5：______，AC=BD.
OC=OD
【试一试】
【归纳】
作垂直于弦的线段，构造由半径、弦的一半、弦心距为三边的直角三角形，然后用勾股定理解决问题.
E
O
A
B
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，
∵ OE⊥AB，
∴ AB=16cm.
16
cm
【跟踪训练】
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
1.（南通 中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 cm.
12
【解析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA， 则AC=BC= AB=5， 在Rt△OAC中，OC= =12， 所以圆心O到AB的距离为12cm． 故答案为12．
2.（滨州 中考）在⊙O中，直径AB=15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB=3：5，则DE的长为（ ）
A.6 B.9 C.12 D.15
【解析】如图所示：连接OD ∵直径AB=15
∴BO=7.5 ∵OC：OB=3：5
∴CO=4.5 ∴ ∴DE=2DC=12．
C
【解析】连接OB，先由垂径定理得AD=BD= AB=3，则
CD=AD-AC=1，再由勾股定理求出OD= ，然后由勾股定理求出OB
即可．
3.（2021 杭州期末）如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥MN，点C在线段AB上，OC=AC=2，BC=4，求⊙O的半径．
连接OB，设AB与MN交于点D，如图所示： ∵AC=2，BC=4 ∴AB=AC+BC=6 ∵AB⊥MN ∴AD=BD= AB=3，∠ODC=∠ODB=90° ∴CD=AD-AC=1， ∴ ∴ 即⊙O的半径为 ．
要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是 “正号”还是“负号”，倘若是“正号”，则进步；倘若是“负号”，就得吸取教训，采取措施.
——季米特洛夫