24.1.3 弧、弦、圆心角 课件(共25张PPT) 2024-2025学年人教版数学九年级上册

(共25张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
圆的对称性
圆的轴对称性
垂径定理及其推论
圆的中心对称性
？？？
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点）
所以圆是中心对称图形
.
O
A
B
180°
观察：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
·
·
O
B
A
·
O
B
A
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
顶点在圆心上
A
B
O
O
O
A
B
M
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
弦
判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
圆内角
圆外角
圆周角
（后面会学到）
圆心角
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与
CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
⌒
C
·
O
A
B
D
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么 ，弦AB=弦CD
归纳
⌒
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角；②两条弧；③两条弦,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
【归纳】
证明：
∴ AB=AC
又∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形， AB=BC=CA
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC
·
A
B
C
O
∵
【例1】如图，在⊙O中， ,∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
∴ △ABC是等腰三角形
【例题】
【例2】如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点 A，B和C，D，求证：AB=CD.
M
证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，
M，N为垂足.
O
N
【例题】
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距，有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
【拓展】
已知：如图，AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD
的弦心距，根据本节定理及推论填空：
（1）如果AB=CD，那么
__________,_______, _______.
（2）如果OE=OF，那么
__________,_______, _______.
∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
⌒
⌒
【跟踪训练】
（3）如果 那么
____________,__________,_________.
（4）如果∠AOB=∠COD，那么
_________,________,_________.
OE=OF AB=CD
⌒
⌒
AB=CD
∠AOB=∠COD OE=OF
AB=CD
填一填： 如图，AB，CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，________________．
（2）如果 ，那么____________，_______________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
解：OE=OF.
理由如下：
在同圆或等圆中，圆心角及所对的弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距，有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
1．如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　.
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD
的关系是（ ）
A. AB=2CD
⌒ ⌒
B. AB>CD
⌒ ⌒
C. AB⌒ ⌒
D. 不能确定
⌒ ⌒
60°
A
4.如图，已知AB,CD为
的两条弦，
，求证：AB＝CD.
【解析】
5.如图，已知AB,CD为⊙O的两条弦，
求证:AB＝CD.
.
C
A
B
D
O
成功：A=x+y+z. A代表成功，x代表艰苦的劳动，y代表正确的方法，z代表少说空话.
——爱因斯坦