24.1.4 圆周角 课件(共26张PPT) 2024-2025学年人教版数学九年级上册

(共26张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及简单应用.
2.掌握圆周角的定理的推论及简单应用.
3.了解圆内接多边形的有关概念.
4.掌握圆内接四边形的性质并灵活应用.
.
O
B
C
A
圆周角特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
·
C
O
A
B
·
C
O
B
A
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
O
·
C
A
B
B
C
A
·
O
（4）
● O
A
B
C
● O
A
B
C
●O
A
B
C
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
有没有圆周角？
有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
它们都对着同一条弧
⌒
⌒
(1)当圆心在圆周角的一边上时
结论：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
C
O
B
A
如图,观察圆周角∠BAC与圆心角∠BOC,
它们的大小有什么关系
结论:同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
(2)当圆心在圆周角外部时能否转化为(1)的情况
提示:过点B作直径BD.由(1)可得:
∴ ∠ABC = ∠AOC
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD
●
O
D
A
B
C
(3)当圆心在圆周角内部时能否转化为(1)的情况
提示:过点B作直径BD.由(1)可得:
∴ ∠ABC = ∠AOC.
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD
●O
A
B
C
D
结论:同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
【归纳】
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
也可以理解为：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
相等
D
A
B
O
C
E
F
问题2 如图,若 ∠A与∠B相等吗？
相等
想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
【推论1】
同弧或等弧所对的圆周角相等.
A1
A2
A3
O
A
B
C
2.90°的圆周角所对的弦是否是直径？
【推论2】
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
【探究】
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC,AD,BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2
∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
【解析】
【例题】
1.（2021 河南模拟）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，
∠AOB=100°，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ）
A.45° B.35° C.60° D.50°
D
【跟踪训练】
∵OA，OB是⊙O的两条半径∠AOB=100°， 由圆周角定理得，∠ACB= ∠AOB=50°．
【解析】
2.（2021 永吉县模拟）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BC=5，∠A=30°，则AC的长为（　　）
A.10 B.8 C. D.
∵AB是⊙ O的直径，∴∠ACB=90° ∵∠A=30°，∴BC= AB ∵ BC=5 ，∴ AB=10
由勾股定理得：
【解析】
D
C
O
D
B
A
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，圆O是四边形ABCD的外接圆.
C
O
D
B
A
【探究】如图,圆内接四边形ABCD中，
∵ ∠A的度数等于弧BCD的一半，∠BCD的度数等于弧BAD的一半，
又∵弧BCD与弧BAD的度数和为360°
∴∠A＋∠C＝
180°.
同理∠B＋∠D＝180°.
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
【跟踪训练】
（2021 金台区一模）如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边
形，CE是⊙O的直径，连接BC，DC．若∠BDC=20°，则∠A的
度数为（　）
A.90° B.100° C.110° D.120°
∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE=90° ∵∠BDC=20°，∴∠BDE=∠CDE-∠BDC=70° ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠A=180°-∠BDE=110°
【解析】
C
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.圆周角定义及其两个特征；
2.圆周角定理的内容及其推论；
3.圆内接多边形的有关定义；
4.圆内接四边形的性质.
1.（2021 徐州模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（　　）
A．54° B．36° C．28° D．18°
B
∵∠AOB与∠ACB都对弧AB，∠AOB=72° ∴∠ACB= ∠AOB=36°
【解析】
2.（2021 新华区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解析】
连接BD，如图所示： ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90° ∵C为半圆的中点， ∴∠ADC=∠BDC= ∠ADB=45°
B
3.（2021 鹿城区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，它的一个外角∠CBE=70°，则∠AOC的度数为（　　）
A．70° B．110° C．140° D．160°
∵∠CBE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠CBE=70° ∴∠D=∠CBE=70° 由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=140°
【解析】
C
数学——科学不可动摇的基石，促进人类事业进步的丰富源泉.
——巴罗