【中考考点探究】第1节 实数(含二次根式) 2025年中考一轮数学专题复习学案（河北）（含答案）

第1节　实数(含二次根式)
(每年2~6题,6~23分)
　　实数是河北中考必考知识,重点是有理数及其相关概念、科学记数法与有理数的运算,主要出现在选择题与解答题的第一题,以基础性问题为主,突出考查基本概念与算理算法.简单的无理数或二次根式运算偶尔出现,更多情况下,将其作为重要的解题工具,参与到实数的运算、解一元二次方程、勾股定理、三角函数等内容中.预测2025年河北省中考试卷仍将保持这一特点,重点关注数轴与有理数的运算,计算题会以新颖的形式呈现,不会出现繁杂的大计算量问题.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点1实数的分类　(轮考点)
按定义分 小数
续表
按正、负性分 实数
考点2实数的相关概念　(常考点)
数轴1.三要素:原点、正方向、单位长度. 2.特征:实数与数轴上的点一一对应,通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向
相反数1.概念:只有符号不同的两个数互为相反数. 2.代数意义:a,b互为相反数 a+b=0. 3.几何意义:在数轴上位于原点两侧,与原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数
绝对值1.几何意义:一个数在数轴上所对应点到原点的距离. 2.运算性质:|a|= |a-b|= 3.非负性:|a|≥0,若|a|+b2=0,则a=b=⑥　　　　
倒数1.概念:乘积为1的两个数互为倒数,a的倒数为⑦　　　　(a≠0). 2.代数意义:ab=1 a,b互为倒数. 【温馨提示】0没有倒数,倒数等于本身的数是±1
考点3科学记数法　(常考点)
定义把一个数表示成a×10n的形式(1≤|a|<10,n为整数)
确定n的方法当原数的绝对值≥10时,n为正整数,它等于原数的整数位数减1;当0<原数的绝对值<1时,n为负整数,n的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)
考点4实数的大小比较　
数轴比较法通常规定正方向向右时,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
性质比较法正数>0>负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而⑧　　　　
作差比较法a-b>0 a>b;a-b=0 a=b;a-b<0 a平方法a2>b2 a>b(a>0,b>0)
考点5实数的运算　(常考点)
运算法则 加法法则 同号相加:取相同的符号,并把绝对值相加
异号相加:绝对值相等时,和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值
减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数:a-b=a+(-b)
乘除法则 两数相乘(除),同号得正,异号得负,并把绝对值相乘(除);任何数同0相乘后得0;0除以任何非零数,仍得0. 【温馨提示】几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正
运算律 加法 交换律:a+b=b+a. 结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
乘法 交换律:ab=ba. 结合律:(ab)c=a(bc). 分配律:a(b+c)=ab+ac
常见运算 乘方 几个相同因数的积;负数的偶(奇)次方为正(负)
零次幂 a0=⑨　　　　(a≠0)
平方根、算术平方根 若x2=a(a≥0),则x=　　　　　　　　,其中　　　　　　　　是算术平方根
立方根 若x3=a,则x=　　　　　　　　
混合运算 先乘方、开方,再乘除,最后加减;同级运算,从左向右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.计算时,可以结合运算律,使问题简单化
考点6二次根式　(常考点)
概念一般地,我们把形如(a　　　　0)的式子叫作二次根式
最简二次根式同时满足下列两个条件的二次根式:1.被开方数不含分母. 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,如,都不是最简二次根式
二次根式的性质1.≥0,a≥0(双重非负性). 2.()2=　　　　(a≥0). 3.=|a|= 4.=·(a≥0,b≥0). 5.=(a≥0,b>0)
二次根式的运算1.加减运算:先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 2.乘除运算:·=(a≥0,b≥0); =(a≥0,b>0). 3.分母有理化
【基础演练】
1.(北师八上P25第1题变式)若-□是正无理数,则“□”可以是 (　　)
A.(-) B.-
C.0 D.3.14
2.(人教八下P2例1变式)若y=有意义,则x的取值范围是 (　　)
A.x>0 B.x≥0 C.x>2 D.x≥2
3.-3表示的意义是 (　　)
A.-×-×-
B.-+-+-
C.
D.
4.下列二次根式中,能与合并的是 (　　)
A. B. C. D.
5.(人教八上P147第8题变式)数0.000 000 12用科学记数法表示为1.2×10-n,当n增大1时,相当于原数 (　　)
A.乘10 B.除以10
C.增加10 D.减少10
6.关于,下列说法不正确的是 (　　)
A.是最简二次根式
B.是无理数
C.整数部分是2
D.一定能够在数轴上找到表示的点
7.如图,在数轴上注明了四段范围,若某段上有两个整数,则这段是 (　　)
A.段① B.段② C.段③ D.段④
8.有甲、乙两个算式:
甲:=2.乙:2+3=5.
下列说法正确的是 (　　)
A.甲对
B.乙对
C.甲、乙均对
D.甲、乙均不对
9.下列运算或化简正确的是 (　　)
A.= B.2+=2
C.×=2 D.+3=4
10.(北师八上P50第6题变式)已知a,b为两个连续的整数,a<11.如图,这是洪涛同学的小测卷,他的得分应是　　　　分.
姓名:　洪涛　　　　　　得分:　 　
填空(每小题25分,共100分)
①2的相反数是　-2　;
②倒数等于它本身的数是　1和-1　;
③-1的绝对值是　1　;
④8的立方根是　2　.
12.算式:在-8□2中,“□”表示“+、-、×、÷”中的一个.
(1)若“□”表示“-”,其结果为　　　　.
(2)若结果为-4,则“□”表示　　　　.
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
　　①将河北近6年真题按考向进行分类;
②部分近6年河北未考查的重要考向,设置“考向拓展”;
③针对河北高频考向下的典型试题设置“真题变式”进行强化.
考向1实数的分类　(6年1考)
1.(2023·河北2题3分)规定:(→2)表示向右移动2,记作+2,则(←3)表示向左移动3,记作 (　　)
A.+3 B.-3
C.- D.+
考向2实数的相关概念　(6年3考)
2.(2024·河北5题3分)能与--相加得0的是 (　　)
A.-- B.+
C.-+ D.-+
考向3科学记数法　(6年6考)
3.(2022·河北6题3分)某正方形广场的边长为4×102 m,其面积用科学记数法表示为 (　　)
A.4×104 m2 B.16×104 m2
C.1.6×105 m2 D.1.6×104 m2
4.(2023·河北8题3分)一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为 (　　)
A.5×10-4 B.5×10-5
C.2×10-4 D.2×10-5
5.(2023·河北10题2分)光年是天文学上的一种距离单位,一光年是指光在一年内走过的路程,约等于9.46×1012 km,下列正确的是 (　　)
A.9.46×1012-10=9.46×1011
B.9.46×1012-0.46=9×1012
C.9.46×1012是一个12位数
D.9.46×1012是一个13位数
6.(2024·河北13题2分)已知光速为300 000千米/秒,光经过t(1≤t≤10)秒传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米,则n可能为 (　　)
A.5 B.6
C.5或6 D.5或6或7
考向4实数的大小比较　(6年1考)
7.(2024·河北1题3分)如图,这是某地连续5天的日最低气温,则能表示这5天日最低气温变化情况的是 (　　)
考向5平方根、算术平方根、立方根　(6年2考)
8.(2024·河北4题3分)与结果相同的是 (　　)
A.3-2+1 B.3+2-1
C.3+2+1 D.3-2-1
9.(2022·河北4题3分)下列计算正确的是 (　　)
A.=2+3 B.=2×3
C.=32 D.=0.7
考向6无理数的估值　(6年1考)
10.(2024·河北18题4分)已知a,b,n均为正整数.
(1)若n<(2)若n-1<考向7数轴　(6年6考)
11.(2024·河北11题2分)如图,将数轴上-6与6两点间的线段六等分,这五个等分点所对应的数依次为a1,a2,a3,a4,a5,则下列说法正确的是 (　　)
A.a3>0
B.|a1|=|a4|
C.a1+a2+a3+a4+a5=0
D.a2+a5<0
12.(2024·河北20题9分)如图,有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32,乙数轴上的三点D,E,F所对应的数依次为0,x,12.
(1)计算A,B,C三点所对应的数的和,并求的值.
(2)当点A与点D上下对齐时,点B,C恰好分别与点E,F上下对齐,求x的值.
考向8二次根式的运算　(6年2考)
13.(2023·河北7题2分)若a=,b=,则= (　　)
A.2 B.4 C. D.
14.(2024·河北17题3分)已知-=a-=b,则ab=　　　　.
15.变运算——减法变乘法 若×==a,则a-b=　　　　.
考向9实数的运算　(6年5考)
16.(2022·河北3题3分)与-3相等的是 (　　)
A.-3- B.3-
C.-3+ D.3+
17.(2024·河北9题3分)若取1.442,计算-3-98的结果是 (　　)
A.-100 B.-144.2
C.144.2 D.-0.014 42
18.变考法——融入加法结合律 嘉琪同学在计算4-2++3时,运算过程正确且比较简便的是 (　　) A.4-3-2- B.4+3-2-
C.4-2++3 D.4+-2-3
19.(2023·河北20题8分)有个填写运算符号的游戏:在“1□2□6□9”中的每个□内,填入“+”“-”“×”“÷”中的某一个(可重复使用),然后计算结果.
(1)计算:1+2-6-9.
(2)若1÷2×6□9=-6,请推算□内的符号.
(3)在“1□2□6-9”的□内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数.
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型1　数轴上的点与实数的关系
用直尺画数轴时,数轴上的点A,B,C分别代表数字a,b,c,已知AB=6,BC=2,如图所示.设p=a+b+c,该数轴的原点为O.
(1)若点A所表示的数是-1,则点C所表示的数是　　　　.
(2)若点A,B所表示的数互为相反数,则点C所表示的数是　　　　,此时p的值为　　　　.
(3)若数轴上点C表示的数为4,求p的值.
　　数轴的三要素是原点、正方向和单位长度,它们都是“规定”的.
河北中考重点考查的是原点,数轴上原点的位置改变时,同一个点表示的数也有所不同,确定点所表示的数是解题关键.有时也考查单位长度,通过单位长度的缩放改变点所表示的数.
本题中数轴的正方向和单位长度都是确定的,同一个点所表示的数不同,是原点的位置变化造成的.
　　“数轴上的点与实数的关系”题型解法的一般步骤
分析点的数据和位置特征确定原点位置得到其他点所表示的数代入数值进行计算
题型2　有理数的运算
佳佳在“+”“-”“×”“÷”四个符号中选了一个符号,填入22+2×1□的□中,计算的结果是8.
(1)佳佳选取的运算符号是　　　　.
(2)佳佳认为:把题目中的“2”(指数除外)换成“a”(a≠0)后,在□中填入“×”一定比在□中填入“÷”的值大,请通过计算说明佳佳的说法是否正确.
　　运算符号残缺型算式解法“三字诀”
序号口诀做法依据
1算能计算的部分先进行计算实数的运算法则和运算律
2猜根据结果和已知信息逆推,猜想缺少的运算符号有哪几种可能,排除明显不合题意的运算符号逆运算之间的关系和运算法则
3验对猜想的符号进行逐一验证,确定最终答案实数的运算法则和运算律
　　利用缺少数字或运算符号等不完整的算式,考查逆向思维和算理算法.有时会与最大值、最小值或取值范围相结合.
参考答案
考点清单
①0　②分数　③无理　④-a　⑤b-a　⑥0　⑦
⑧小　⑨1　⑩±　　　≥　a　a　-a
基础演练
1.A　2.B　3.A　4.C　5.B　6.A
7.B　8.D　9.D
10.9　11.100
12.-10　÷
真题精粹·重变式
1.B　2.C　3.C　4.D　5.D
6.C　提示:当t=1时,光传播的距离为1×300 000=300 000=3×105(千米),则n=5;
当t=10时,光传播的距离为10×300 000=3 000 000=3×106(千米),则n=6.
∵1≤t≤10,∴n可能为5或6.故选C.
7.A　8.A　9.B
10.(1)3　(2)2
11.C
12.(1)∵点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32,
∴A,B,C三点所对应的数的和为-4+2+32=30.
∵AB=2-(-4)=6,AC=32-(-4)=36,
∴==.
(2)由数轴得DE=x-0=x,DF=12-0=12,
由题意得=,
∴=,
∴x=2.
13.A　14.6　15.-2　16.A　17.B　18.B
19.(1)原式=-12.
(2)∵1÷2×6□9=-6,∴1××6□9=-6,
∴3□9=-6,∴□内的符号是“-”.
(3)这个最小数是-20.
提示:在“1□2□6-9”的□内填入符号后,使计算所得数最小,则1□2□6的结果最小.
第一个□内排除“+”“×”,第二个□内排除“+”.
经过试算,可知1□2□6的最小值是1-2×6=-11,
∴1□2□6-9的最小值是-11-9=-20,
∴这个最小数是-20.
核心突破·拓思维
例1
(1)7.
提示:∵AB=6,BC=2,
∴AC=AB+BC=6+2=8.
∵点A所表示的数是-1,
∴点C所表示的数是-1+8=7.
(2)5;5.
提示:∵点A,B所表示的数互为相反数,
∴原点O是线段AB的中点.
∵AB=6,
∴OA=OB=3,
∴a=-3,b=3.
∵BC=2,
∴c=3+2=5,
∴p=a+b+c=-3+3+5=5.
(3)∵点C表示的数为4,AB=6,BC=2,
∴c=4,b=4-2=2,a=2-6=-4,
∴p=a+b+c=-4+2+4=2.
例2
(1)÷.
提示:根据题意,得22+2×1÷=4+2×2=4+4=8.
(2)把题目中的“2”(指数除外)换成“a”后,
当在□填入“×”时,a2+a1×=a2+1,
当在□填入“÷”时,a2+a1÷=a2+a a=a2+a2=2a2,
若a2+1>2a2,整理得a2<1,
所以,只有当a2<1,且a≠0时,在□中填入“×”才比在□填入“÷”值大,
则佳佳的说法错误.