【中考考点探究】第2节 一次函数的图象、性质与解析式 2025年中考一轮数学专题复习学案（河北）（含答案）

第2节　一次函数的图象、性质与解析式
(每年1~2题,2~13分)
　　一次函数是河北中考必考的重点内容,题型大致集中在两个方面:一是考查一次函数的图象性质,解答难度较大的问题时可使用少量几何原理(比如平行线分线段成比例定理);二是一次函数的实际应用,每年或隔年轮换一次题型.预测2025年河北省中考解答题会出现上述两种题型之一,需要确定一次函数的解析式,并根据一次函数性质求解,可能涉及直线的平移、轴对称等图形变换.同时考查数形结合思想、待定系数法等重要的数学思想方法.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点1一次函数的概念及其图象、性质　(常考点)
一次函数 的相关 概念 1.概念:一般来说,形如y=kx+b(k≠0)的函数叫作一次函数.特别地,当b=0时,称为正比例函数. 2.图象形状:一次函数y=kx+b是一条经过点(0,b)和(① 　　　　,0)的直线.特别地,正比例函数y=kx的图象是一条恒经过点②　　　　的直线
一次函数 的性质 k,b符号 k>0,b>0 k>0,b<0 k>0,b=0 k<0,b>0 k<0,b<0 k<0,b=0
大致图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四
图象性质 y随x的增大而③　　　　 y随x的增大而④　　　　
一次函数与 坐标轴交 点坐标 1.交点坐标:求一次函数与x轴的交点,只需令y=0,解出x即可;求与y轴的交点,只需令x=0,求出y即可.故一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点是-,0,与y轴的交点是(0,b). 2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象恒过点(0,0)
考点2确定一次函数解析式　(轮考点)
确定一次函数解析式的条件1.待定系数法,其一般步骤如下: 设:设函数解析式为⑤　　　　(k≠0). 代:将已知点的坐标代入函数解析式,解方程或方程组.解:求出k与b的值,得到函数解析式. 写:将k,b的值代入所设解析式. 2.常见类型: (1)已知两点确定解析式. (2)已知两对函数对应值确定解析式. (3)平移转化型:如已知函数是由y=2x平移所得到的,且经过点(0,1),则可设要求函数的解析式为⑥　　　　,再把点(0,1)的坐标代入即可
一次函数y=kx+b(k≠0)图象的平移规律: 1.一次函数图象平移前后⑦　　　　不变,或两条直线可以通过平移得到,则可知它们的⑧　　　　值相同. 2.若向上平移h(h>0)个单位长度,则函数解析式变为y=kx+b+h;若向下平移h(h>0)个单位长度,则函数解析式变为y=kx+b-h. 3.若向左平移m(m>0)个单位长度,则函数解析式变为y=k(x+m)+b;若向右平移m(m>0)个单位长度,则函数解析式变为y=k(x-m)+b
考点3一次函数与方程(组)、不等式的关系
一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象与x轴交点的横坐标
一次函数与方程组二元一次方程组的解 两个一次函数y=k1x+b1 和y=k2x+b2图象的交点坐标
一次函数与不等式1.函数y=kx+b的函数值y⑨　　　　时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集. 2.函数y=kx+b的函数值y⑩　　　　时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集
【基础演练】
1.(人教八下P82第4题变式)下列函数中,y是x的一次函数的是 (　　)
A.y=x2-5 B.y=3
C.y=kx+b D.y=x-1
2.对于一次函数y=-2x+6的图象及性质,下列结论正确的是 (　　)
A.函数图象经过第一、二、三象限
B.y随x的增大而增大
C.函数图象与y=-2x+1的图象平行
D.函数图象必过点(-3,0)
3.(人教八下P90第2题变式)在一次函数y=kx+b中,当x=1时,y=-1;当x=2时,y=3.则当x=-2时,y的值是 (　　)
A.-3 B.-2 C.13 D.-13
4.(北师大八上P124习题5.7第1题变式)如果直线y=3x+6与y=2x-4的交点坐标为(a,b),那么下列选项中解为的方程组是 (　　)
A. B.
C. D.
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向1一次函数图象的判断
1.若k≠0,b<0,则y=kx+b的图象可能是 (　　) A　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　D
考向2一次函数的图象与性质　(6年5考)
2.如图,直线l:y=-x-3与直线y=a(a为常数)的交点在第四象限,则a的值可能是 (　　) A.1 B.-1 C.-3 D.-4
考向3一次函数图象的综合问题　(6年4考)
3.(2024·河北25题10分)如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5).
(1)求AB所在直线的解析式.
(2)某同学设计了一个动画:在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出.
①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系;
②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光,求此时整数m的个数.
4.(2023·河北24题10分)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线l,如图所示.而某同学为观察k,b对图象的影响,将上面函数中的k与b交换位置后得到另一个一次函数,设其图象为直线l'.
x -1 0
y -2 1
(1)求直线l的解析式.
(2)请在图上画出直线l'(不要求列表计算),并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长.
(3)设直线y=a与直线l,l'及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值.
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型1　用动态观念解决一次函数图象问题
如图,在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(0,1),B(2,1).
(1)若直线y=x+b与线段AB有交点,求b的取值范围.
(2)若直线y=kx-1与线段AB有交点,求k的取值范围.
　　(1)把直线y=x+b看作是由直线y=x平移得到的一条直线,分别计算它经过点A,B时b的值,进而得到b的取值范围.
(2)把直线y=kx-1看作绕点(0,-1)旋转的一条直线,分别计算它经过点A,B时k的值,进而得到k的取值范围.
题型2　一次函数图象综合问题
(2024·河北一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=2x+1与y轴交于点A,直线l2与y轴,x轴交于点B,点C,l1与l2交于点D(1,m),连接OD,已知OC的长为4.
(1)求点D的坐标及直线l2的解析式.
(2)求△AOD的面积.
(3)若直线l2上有一点P使得△ADP的面积等于△ADO的面积,直接写出点P的坐标.
　　坐标系中三角形面积的求法
　　河北省中考试卷上出现一次函数图象综合问题,除了与其他图象的综合外,主要是与几何图形的简单综合,之所以简单,体现在三个方面:一是几何图形简单,以三角形或矩形为主,且经常有平行于坐标轴的边;二是图形关系简单,通常不涉及全等、相似等;三是图形的地位简单,在题目中属于“配角”,考查的重点仍然是一次函数图象.
参考答案
考点清单
①-　②(0,0)　③增大　④减小　⑤y=kx+b
⑥y=2x+b　⑦k　⑧k　⑨>0　⑩<0
基础演练
1.D　2.C　3.D　4.A
真题精粹·重变式
1.B　2.D
3.(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
把A(-8,19),B(6,5)代入,得
解得
故直线AB的解析式为y=-x+11.
(2)①由题意可知直线y=mx+n经过点(2,0),
∴2m+n=0.
②由2m+n=0,得n=-2m,则射线CD所在直线的解析式为y=mx-2m.
设直线AB与射线CD交于点E,
由得-x+11=mx-2m,
∴(m+1)x=2m+11,
∴x===2+.
∵x为整数,∴m+1可取-9,-3,-1,1,3,9,对应的2+分别为1,-1,-7,11,5,3,
对应的m分别为-10,-4,-2,0,2,8.
∵m≠0,∴整数m的个数为5.
4.(1)∵在直线l:y=kx+b中,当x=-1时,y=-2;当x=0时,y=1,∴解得
∴直线l的解析式为y=3x+1.
(2)依题意可得直线l'的解析式为y=x+3.
如图,由得
∴两直线的交点为A(1,4).
∵直线l':y=x+3与y轴的交点为B(0,3),
∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为AB==.
(3)把y=a代入y=3x+1,得a=3x+1,解得x=;
把y=a代入y=x+3,得a=x+3,解得x=a-3.
分三种情况:
①当第三点在y轴上时,a-3+=0,
解得a=;
②当第三点在直线l上时,2×=a-3,
解得a=7;
③当第三点在直线l'上时,2×(a-3)=,
解得a=.
综上所述,当直线y=a与直线l,l'及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称时,a的值为或7或.
核心突破·拓思维
例1
(1)当直线y=x+b经过点A(0,1)时,
可得b=1.
当直线y=x+b经过点B(2,1)时,
可得×2+b=1,解得b=0.
∵直线y=x+b在点A,B之间平移,
∴b的取值范围为0≤b≤1.
(2)当直线y=kx-1经过点B(2,1)时,
可得2k-1=1,解得k=1.
直线y=kx-1绕点(0,-1)逆时针旋转的过程中,
经过第一象限时,k的值变大,则k的取值范围为k≥1;
经过点A(0,1)时,与y轴重合,直线为x=0,不含k;
经过第二象限时,即k<0,与线段AB无交点,
综上可知,k的取值范围为k≥1.
例2
(1)∵点D(1,m)在直线l1:y=2x+1上,
∴m=2×1+1=3,
∴点D的坐标为(1,3).
∵OC的长为4,
∴C(4,0).
设直线l2的解析式为y=kx+b,
把D(1,3),C(4,0)代入y=kx+b,得
解得
∴直线l2的解析式为y=-x+4.
(2)∵直线l1的解析式为y=2x+1,
∴点A坐标为(0,1),
∴SAOD=OA·xD=×1×1=.
(3)由(1)知,直线l2的解析式为y=-x+4,
∴点B坐标为(0,4).
如图,设点P坐标为(m,-m+4),
当P在射线DB上时,
∵S△APD=S△ABD-S△ABP,
∴=AB·xD-AB·xP,
即=×3×1-×3m,
解得m=,
∴P,;
当P在射线DC上时,
过点A作x轴的平行线交BC于点Q,
则Q(3,1),
∴S△ADQ=AQ·(yD-1)=×3×2=3,
S△APQ=AQ·(yP-1)=×3(-m+3),
∴S△ADP=S△ADQ-S△APQ,
∴=3-(-m+3),
解得m=,
∴P,.
综上所述,点P的坐标为,或,.