【中考考点探究】第3节 与圆有关的计算 2025年中考一轮数学专题复习学案（河北）（含答案）

第3节　与圆有关的计算
(6年3考,2~14分)
　　弧长和扇形面积考查的主要是公式的应用,理解并记住公式是解决问题的关键.河北中考单独考查弧长和扇形面积的题目较少,多与圆的其他知识相结合进行考查.河北省近4年三次考查弧长,两次考查扇形面积.预测2025年河北省中考试题仍将延续将弧长和扇形面积融入其他问题的解决之中这一传统.
回归教材·过基础——河北中考核心考点梳理
【知识体系】
【考点清单】
考点与圆有关的计算　(常考点)
弧长和扇形面积的计算弧长公式:l=. 扇形的面积公式:S==lr
圆锥与 侧面展开图 圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的①　　　　等于圆锥的母线,扇形的弧长等于圆锥的②　　　　
底面周长 C=2πr(r是底面圆的半径)
底面面积 S底=③　　　　
侧面积 S侧=④　　　　
全面积 S全=S侧+S底=⑤　　　　
【基础演练】
1.(北师九下P101例2变式)如图,在扇形OAB中,OA=2 cm,∠AOB=120°,则的长为　　　　cm.
2.(北师九下P101例2变式)一个扇形的圆心角是135°,半径为4,则这个扇形的面积为　　　　.(结果保留π)
3.(冀教九上P169习题A组第2题变式)小吴同学在数学综合实践活动中,制作了一个圆锥模型(如图),经过小吴同学的测量得到圆锥底面的直径为10 cm,圆锥的高为12 cm,则根据测量数据推算该圆锥的侧面积为　　　　cm2.(结果保留π)
4.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=2,以C为圆心,CB的长为半径画弧,图中阴影部分的面积为　　　　.
真题精粹·重变式——河北6年真题精选及拓展
考向关于弧长或扇形面积的计算　(6年6考)
(2024·河北14题2分)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴.如图,某折扇张开的角度为120°时,扇面面积为S,该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为Sn,若m=,则m与n之间的关系图象大致是 (　　)
核心突破·拓思维——学科核心素养提升
题型　关于弧长或扇形面积的计算
如图,P是△ABC内一点,PD⊥BC,垂足为D,将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到扇形DPE,过点E作EM⊥PE交AB于点M,连接PM,与交于点F,过点P作PN⊥PM交BC于点N.
(1)求证:△EPM≌△DPN.
(2)已知PD=3,EM=(取1.73).
①通过计算比较线段PN和哪个长度更长;
②计算图中阴影部分的面积(结果保留π).
　　计算弧长或者扇形面积(包括与扇形有关的面积计算)是河北省中考的必考知识,大多放到圆的综合题中,难度较大,可能放到压轴题的位置;有时在选择题中还要增加一道,充分体现了对几何计算的重视.虽然解题过程中包含推理成分,但并不是严格意义上的证明题,所以即便是在压轴题中,关于圆的推理步骤可以适当简略,只要能体现基本思路即可.
　　求阴影面积的三种常用方法
1.公式法:若所求阴影部分的面积是规则图形,直接用几何图形的面积公式求解.
2.和差法:将不规则阴影面积通过和差的方法,转化为规则图形的计算.
3.等积转化法:通过对图形的变换,为利用公式法或和差法求解创造条件.
(1)直接等面积转化:当CD∥AB时.
(2)平移转化法:当E,F分别是AB,CD的中点时.
(3)对称转化法:当D是AB的中点时.
(4)旋转转化法
　　(1)由题意可知所证明的两个直角三角形有一锐角相等,所夹直角边相等,故可用ASA证明.
(2)①在直角三角形中,由两条直角边长可得锐角度数与斜边PN的长.
利用弧长公式求的长度,比较近似值或用平方法比较它与PN的大小;
②将阴影部分的面积转化为△PEM与扇形PEF面积之差,分别计算二者面积,相减得到结果.
参考答案
考点清单
①半径　②底面周长　③πr2　④πrl　⑤πrl+πr2
基础演练
1.　2.6π　3.65π　4.2-π
真题精粹·重变式
1.C
核心突破·拓思维
例(1)证明:∵EM⊥PE,PD⊥BC,
∴∠PEM=∠PDN=90°.
∵PM⊥PN,∠EPD=90°,
∴∠EPD=∠MPN=90°,
∴∠EPD-∠MPD=∠MPN-∠MPD,
∴∠EPM=∠DPN.
在△EPM和△DPN中,
∴△EPM≌△DPN(ASA).
(2)①∵PD=3,EM=,△EPM≌△DPN,
∴DN=EM=,
∴PN===2≈3.46.
在Rt△PDN中,tan ∠DPN==,
∴∠DPN=30°,
∴∠DPF=90°-30°=60°,
∴的长==π≈3.14,
∴线段PN的长度更长.
②∵PD=3,EM=,∠DPN=30°,△EPM≌△DPN,
∴PE=PD=3,∠EPM=∠DPN=30°,
∴阴影部分的面积=S△PEM-S扇形PEF
=×3×-
=-π.