2024-2025学年天津市耀华中学红桥学校高二（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年天津市耀华中学红桥学校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.与直线 = 2 + 3平行，且与直线 = 3 + 3交于 轴上的同一点的直线方程是( )
A. = 2 + 4 B. = 2 2 C. = + 4 D. = 2
2.已知 为抛物线 ： 2 = 8 的焦点， 为 上一点，且| | = 4，则 到 轴的距离为( )
A. 4 B. 4√ 2 C. 8 D. 16
3.若点(2,1)在圆 2 + 2 + + = 0的外部，则 的取值范围是( )
1 1
A. ( , +∞) B. ( ∞, )
2 2
1 1
C. ( 4, ) D. ( ∞, 4) ∪ ( ,+∞)
2 2
4.两条平行的直线分别经过点 (3,0)， (0,4)，它们之间的距离 满足的条件是( )
A. 0 < ≤ 3 B. 0 < ≤ 5 C. 0 < ≤ 4 D. 3 < ≤ 5
5.若直线 ： + 4 + 2 = 0与曲线 = √ 4 2有两个交点，则实数 的取值范围是( )
3
A. { | = ±1} B. { | < }
4
3 3
C. { | 1 ≤ < } D. { | 1 ≤ < }
4 4
2 2
6.已知命题 ：方程 + = 1表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围( )
5 1
A. 3 < < 5 B. 4 < < 5 C. 1 < < 5 D. > 1
2
7.若直线 ： + 2 = 0与曲线 2 = 1有且只有一个交点，则满足条件的直线 有( )
4
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
1
8.已知 ( , )为圆 : 2 + 2 2 4 + 4 = 0上任意一点，则 的最大值为( )
+1
4 4
A. 2 B. C. D. 0
3 3
9.在平面直角坐标系 中，直线 的方程为 4 = 0，若圆 2 + 2 4 = 0上有且仅有3个点到直
线 的距离为1，则直线 的倾斜角为( )
2 5
A. 或 B. 或 C. D.
3 3 6 6 3 6
2
10. 1， 2是椭圆 +
2 = 1的左、右焦点，点 在椭圆上运动，则| 1 2 |的最大值是( ) 4
A. 4 B. 5 C. 2 D. 1
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2 2
11.已知双曲线 2 = 1( > 0)的右焦点到其一条渐近线的距离等于√ 2，抛物线
2 = 2 ( > 0)的焦点
2
与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点 到直线 1：4 3 + 8 = 0和 2： = 3的距离之和的最小值
为( )
11 14 16 21
A. B. C. D.
5 5 5 5
12.德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点 ， 是∠ 的 边上的两个定点， 是 边上的一个
动点，当 在何处时，∠ 最大？结论是：当且仅当△ 的外接圆与边 相切于点 时，∠ 最大.人
们称这一命题为米勒定理.在平面直角坐标系内，已知 (1,0)， (3,0)，点 是直线 ： + 1 = 0上一动
点，当∠ 最大时，点 的坐标为( )
1 3
A. ( , ) B. (√ 2, √ 2 + 1) C. (1,2) D. (√ 3, √ 3 + 1)
2 2
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
13.已知直线 + 1 = 0与直线( 1) + + 1 = 0平行，则实数 的值为______．
14.已知圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 25，直线 ：(2 + 1) + ( 1) + 4 = 0，当圆 被直线 截得的
弦长最短时，直线 的方程为______．
1
15.已知双曲线过点(4,√ 3)且渐近线方程为 = ± ，则该双曲线的标准方程是______．
2
2 2 3
16.已知 1, 2为椭圆 ：2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点，若点 (1, )在椭圆上，且满足| 1| + | | = 4， 2 2
则椭圆 的方程为 ．
2 2
17.已知点 是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)左支上一点 1， 是双 2
曲线的左、右两个焦点，且 1 ⊥ 2， 2与两条渐近线相交于 ， 两
点(如图)，点 恰好平分线段 2，则双曲线的离心率是______．
18.三角形 中，顶点 (2,3)，点 在直线 + 2 = 0上，点 在 轴上，则三角形 周长的最小值为
______．
2 2
19.已知椭圆 ： + = 1的左、右焦点分别为 2 2
5 4 1
、 2， 为椭圆 上任意一点， 为曲线 ： + 6
4 + 12 = 0上任意一点，则| | + | 2|的最小值为______．
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2 2
20.已知椭圆 ： + = 1的右焦点为 (1,0)，上顶点为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且△ 的
4
重心恰为点 ，则直线 斜率为______．
三、解答题：本题共 3 小题，共 32 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心在直线 = 2 上，且圆 与直线 + 1 = 0相切于点 (2, 1)．
(1)求圆 的方程；
(2)过点 (2,1)的直线 被圆 截得的弦长为2，求直线 的方程．
22.(本小题10分)
2 2 1 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)经过点(√ 3, )，(1, )，点 是椭圆的下顶点． 2 2
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且互相垂直的两直线 1， 2与直线 = 分别相交于 ， 两点，已知 = ，求直线 1的斜率．
23.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)经过点 (0, 1)，期左、右焦点分别为 1、 2，过 2的一条直线与椭圆
交于 、 两点，△ 1 的周长为4√ 2
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)经过点 (1,1)且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 、 (均异于点 )，证明直线 与 斜率之和
为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】2 + 5 = 0
2
15.【答案】 2 = 1
4
2 2
16.【答案】 + = 1
4 3
17.【答案】√ 5
18.【答案】5√ 2
19.【答案】2√ 2 1
3√ 3
20.【答案】
4
21.【答案】解：(1)由题意得圆心在过点 (2, 1)和直线 + 1 = 0垂直的直线上，
该直线方程为 + 1 = 2，即 = 3，
= 2 = 1
联立{ ，解得{ ，即圆心为 (1, 2)，
= 3 = 2
半径为 = | | = √ (1 2)2 + ( 2 + 1)2 = √ 2，
故圆 方程为( 1)2 + ( + 2)2 = 2；
(2)由于(2 1)2 + (1 + 2)2 > 2，故 (2,1)在圆 外，
过点 (2,1)的直线 被圆 截得的弦长为2，
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若直线斜率不存在，则方程为 = 2，
圆心 (1, 2)到的距离为2 1 = 1，则弦长为2√ 2 1 = 2，符合题意；
当直线1斜率存在时，设其方程为 1 = ( 2)，即 2 + 1 = 0，
| +2 2 +1| |3 |
则圆心 (1, 2)到的距离为 = = ，
√ 2 2 +1 √ +1
由于直线 被圆 截得的弦长为2，
|3 | 4
故2 = 2√ 2 2 = 2√ 2 ( )
2，解得 = ，故直线 的方程为4 3 5 = 0，
2 3√ +1
综合得直线 的方程为 = 2或4 3 5 = 0．
2 2 1 √ 3
22.【答案】解：(1)根据题意，椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)经过点(√ 3, )，(1, )， 2 2
3 1 1 1
+
2 2
= 1 =
则有{ 4
2 4
，解得{ ，
1 3 1
+ = 1
2 2
= 1 2
4
2
所以椭圆 的标准方程为 + 2 = 1；
4
(2)由题意知 (0, 1)，直线 1， 2的斜率存在且不为零，
= 1 1 1
设直线 1： = 1 1，与直线 = 联立方程有{
1 ，得 ( , )，
= 1 1 1 1
1 1 1
设直线 2： = 1，同理 ( 1 , 1 )， 1 1 1
1 1
1 1
因为 = ，所以| | = | 1 |， 1 1 1
1
1 1 1
① = 1 ， 1 + = 0无实数解； 1 1 1 1
1
1 1 1
② = 21 ， 1 = 2， 1 2 1 1 = 0，解得 1 = 1 ± √ 2， 1 1 1 1
1
综上可得，直线 1的斜率为1 ± √ 2．
23.【答案】解：(Ⅰ)由已知可知△ 1 的周长为4 ，∴ 4 = 4√ 2，得 = √ 2，
又椭圆经过点 (0, 1)，得 = 1，
2
∴椭圆 的方程为 + 2 = 1.… (4分)
2
证明：(Ⅱ)由题设可设直线 的方程为 1 = ( 1)， ≠ 2，
2
化简，得 = + 1，代入 + 2 = 1，得(1 + 2 2) 2 4 ( 1) + 2 ( 2) = 0，
2
由已知△> 0，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1 2 ≠ 0，
4 ( 1) 2 ( 2)
则 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，…(6分)
1+2 1+2
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从而直线 ， 的斜率之和
+1 +1 +2 +2 1 1
+ =
1 + 2 = 1 + 2 = 2 ( 2)( + ) …(8分)
1 2 1 2 1 2
1+ 2 4 ( 1)= 2 ( 2) = 2 ( 2) = 2 2( 1) = 2，
1 2 2 ( 2)
故直线 与 斜率之和为定值2.… (12分)
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