2024-2025学年江西省萍乡市高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省萍乡市高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线，与平面满足，，对于下列两个命题：“”是“”的充分不必要条件；“”是“”的必要不充分条件，判断正确的是( )
A. ，都是真命题 B. 是真命题，是假命题
C. 是假命题，是真命题 D. ，都是假命题
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知，且，，则( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，，，若，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知数列是等比数列，且，，，成等差数列若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，，满足，则( )
A. B. C. D.
10.若函数图象的两相邻对称轴间的距离为，且图象关于点中心对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则( )
A. 在区间上单调递减
B. 在区间上有两个极值点
C. 的图像与的图像关于直线对称
D. 直线是曲线的切线
11.已知函数，函数的定义域为，且在区间上单调递减，若的图象关于直线对称，则( )
A. 的图像关于轴对称
B. 的图像关于原点对称
C. 若恒成立，则或
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正数，满足，则的最小值为______．
13.用铁水灌注上、下底面的边长分别为和的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为，则所需铁水的体积为______灌注过程中铁水无额外损耗
14.设，且，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．
证明：，，，四点共面；
求平面与平面夹角的正弦值．
16.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，．
求四边形的周长；
求四边形的面积．
17.本小题分
已知首项为的正项数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
设，记数列的前项和为，证明：．
18.本小题分
已知函数．
证明：的图象与轴相切；
设．
当时，求函数的单调区间；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，且为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，．
求四棱锥在顶点处的离散曲率；
求四棱锥内切球的表面积；
若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围．
参考答案
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15.解：证明：如图，取的中点，
连接，，
则，，
在正方体中，，，
，，
四边形是平行四边形，，
，，
四边形是平行四边形，，
，，，，四点共面．
如图，延长交的延长线于点，
延长交的延长线于点，连接，，，则点在上，
不妨设正方体的棱长为，
则，，，，
是的中点，
，，
是平面与平面的夹角，
平面，平面，
，
．
16.解：由，，可得，
在中，．
所以在中，，
即，整理得，解得舍负．
所以四边形的周长．
根据，，可得，
所以．
由，，可得，
所以，
可得四边形的面积．
17.解：因为，，且，
所以，解得，
当时，，
可得，
所以，又，
所以，又，
所以是首项和公差均为的等差数列，
所以；
证明：由可知，
所以，
所以，
得，
所以．
18.解：证明：易知的定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又，
所以曲线在处的切线方程为，
即的图象与轴相切．
因为，
可得，
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递增；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，无减区间；
当时，函数的单调增区间为，减区间为；
若在上恒成立，
即在上恒成立，
设，函数定义域为，
可得．
令，函数定义域为，
可得，单调递减，
又，，
所以函数在内存在唯一的零点，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
又，
解得，
所以，
所以．
故实数的取值范围为．
19.解：在四棱锥中，平面，底面为正方形，，，
平面，平面，，
，．
平面，平面，，
，，、平面，平面，
平面，，，
多面体在点处的离散曲率为，
其中为多面体的一个顶点，且为多面体的所有与点相邻的顶点，
由离散曲率的定义得四棱锥在顶点处的离散曲率为：
．
四边形为正方形，，
平面，平面，，
，、平面，平面，
平面，，
设四棱锥的表面积为，
则
．
设四棱锥的内切球的半径为，
则，
，
四棱锥内切球的表面积为．
如图，过点作交于点，连接，
平面，平面，
则为直线与平面所成的角．
由题意知，当与重合时，，
当与不重合时，设，
在中，由余弦定理得：
，
，
，∽，，，
，
当分母最小时，最大，即最大，此时与重合，
由，得，即，
的最大值为，
直线与平面所成角的取值范围为．
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