湘教版数学八年级下册 2.7 正方形 导讲练课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
2.7 正方形
第二章 四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
正方形的定义
正方形的性质
正方形的判定
知1－讲
感悟新知
知识点
正方形的定义
1
1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 正方形的四条边都相等 ，四个角都是直角 .
2. 正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是菱形和矩形.
感悟新知
2. 特殊四边形间的关系如图 2.7－1 所示：
知1－讲
知1－练
如图2.7－2，在Rt△ ABC 中，∠ ABC=90°，BD 平分∠ ABC 交AC 于点D，DE ⊥ BC，DF ⊥ AB.求证：四边形BEDF 是正方形.
例1
知1－练
解题秘方：紧扣正方形的定义进行判定.
方法点拨
利用正方形的定义判定正方形，是建立在四边形是平行四边形的基础上，并且既要有一组邻边相等，又要有一个角是直角，三者缺一不可 .
知1－练
证明： ∵ DE ⊥ BC，∠ ABC=90°，
∴ DE ∥ AB，同理可得 DF ∥ BC，
∴四边形BEDF 是平行四边形.
∵ BD 平分∠ ABC，DE ⊥ BC，DF ⊥ AB，
∴ DE=DF.
又∵ ∠ ABC=90° ，
∴四边形BEDF 是正方形.
三者缺一不可
感悟新知
知2－讲
知识点
正方形的性质
2
1. 正方形的性质：正方形既是矩形，又是菱形，因此正方形具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即
(1) 边： 四条边相等，邻边垂直，对边平行；
(2) 角： 四个角都是直角；
感悟新知
知2－讲
(3) 对角线： 对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
(4)正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
(5)正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；
(6)正方形的面积为边长的平方或对角线平方的一半 .
感悟新知
知2－讲
2. 特殊四边形的性质间的关系：
类型 平行 四边形 矩形 菱形 正方形
边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 感悟新知
知2－讲
角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角
对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图2.7－3所示.
知2－讲
感悟新知
2.正方形的特殊性质：
(1) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；
(2) 周长相等的四边形中，正方形的面积最大 .
解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息.
知2－练
[ 中考·绵阳 ]如图 2.7 － 4，在边长为 3 的正方形 ABCD中，∠ CDE=30°， DE ⊥ CF，则 BF 的长是( )
A. 1 B. C. D. 2
例2
知2－练
感悟新知
方法点拨
利用正方形的性质解题，由于正方形的性质较多，解题时不宜一一列出来，需要根据题中已知条件，结合要证明的结论，选择证明结论成立所需要的性质，使解题思路更清晰.
知2－练
解： 设 DE 与 CF 相交于点 O.
∵四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，
∴∠ B= ∠ DCE=90°， CD=BC=3.
在 Rt △ DCE 中，∠ CDE=30°，
∴ CE= DE.
知2－练
设 CE=x，则 DE=2x，
根据勾股定理，得 CD2+CE2=DE2，
即 32+x2=(2x) 2，解得 x= (负值舍去)，
∴ CE= . ∵ DE ⊥ CF，∴∠ DOC=90°，
∴∠ DCO=60°，∴∠ BCF=30° = ∠ CDE.
又∵∠ B= ∠ DCE， BC=CD，
∴△ CBF ≌△ DCE( ASA)，∴ BF=CE= ．
答案： C
知2－练
感悟新知
技巧点拨
利用正方形的性质求解线段的长的思路：
利用正方形的性质求解线段的长度时，通常将涉及的线段转化到直角三角形中，然后结合勾股定理或三角形全等求解 .
感悟新知
知3－讲
知识点
正方形的判定
3
1. 判定方法：
(1) 从四边形出发： ①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；
(2)从平行四边形出发： ①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
感悟新知
知3－讲
(3)从矩形出发： ①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；
(4)从菱形出发： ①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形 .
感悟新知
知3－讲
2. 四边形间的关系： 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如图 2.7 － 5所示 .
知3－讲
感悟新知
特别提醒
常见的判定思路：
(1)从边上证明. 矩形 正方形；
(2)从角上证明.菱形 正方形；
邻边相等
有一个角是直角
知3－讲
感悟新知
(3)从对角线上证明.
①矩形 正方形；
②菱形 正方形；
③平行四边形 正方形；
④四边形 正方形；
对角线互相垂直
对角线相等
对角线相等且互相垂直
对角线相等且互相垂直平分
知3－练
感悟新知
如图 2.7 － 6，点 A′， B′， C′， D′分别是正方形 ABCD四条边上的点，并且 AA′ =BB′ =CC′ =DD′ . 求证：四边形A′ B′ C′ D′是正方形 .
例3
知3－练
感悟新知
解题秘方：紧扣“先确定一种特殊的四边形，再加上边或角或对角线的关系”确定正方形 .
知3－练
感悟新知
证明： ∵四边形 ABCD 为正方形，
∴ BC=CD=DA=AB，
∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠ D=90° .
又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，
∴ D′A=A′B=B′C=C′D，
∴△ AA′D′≌△ BB′A′≌△ CC′B′≌△ DD′C′ ( SAS ) .
知3－练
感悟新知
∴ D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠ 2= ∠ 3.
∴四边形 A′B′C′D′为菱形 .
∵∠ 1+ ∠ 2=90°，
∴∠ 1+ ∠ 3=90°.
∴∠ D′A′B′=180° － ( ∠ 1+ ∠ 3 ) =90°.
∴ 四边形 A′B′C′D′ 为正方形 .
知3－练
感悟新知
方法点拨
判定四边形是正方形的方法
如果已知条件是平行四边形，需证它既是菱形又是矩形；
如果已知条件是四边形，若按边角关系证明，则需证它的四条边相等，四个角是直角；若按特殊四边形证明，则要先证它是平行四边形，再证它既是菱形又是矩形；
知3－练
感悟新知
如果已知条件是矩形，再证它的邻边相等或对角线互相垂直即可；
如果已知条件是菱形，再证它有一个角是直角或对角线相等即可.
正方形
正
方
形
性质
判定
对角线相等
正方形的面积公式
特殊的矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
特殊的菱形
一个角是直角