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2024-2025学年九年级上学期期末模拟卷
18．（8 分） 20．（8 分）
数学·答题卡
姓 名：_________________________________________
准考证号：
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必
须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆
珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出
区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考
无效。 此栏考生禁填
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
标记
5． 正确填涂
第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 19．（8 分） 21．（8 分）
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11.（3 分）________________ 12. （3 分）________________
13.（3 分）________________ 14. （3 分）________________
15.（3 分） ________________ 16. （ 3 分）________________
三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8 分）
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22．（10 分） 23．（10 分）
24．（12 分）
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浙教版2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围：浙教版九年级上册全册+九年级下册1-2章（二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质+相似三角形+解直角三角形+直线与圆的位置关系）。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个圆
C．两个菱形 D．两个等腰三角形
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．cosB＝3 D．
3．（3分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为3cm的圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点A在⊙D外 B．点B在⊙D内
C．点C在⊙D上 D．以上说法都不对
4．（3分）下列事件中属于随机事件的有（ ）
①太阳从西边升起；
②任意买一张体育彩票会中奖；
③掷一枚1元硬币，有牡丹的一面朝下；
④小明长大后成为一名宇航员．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
5．（3分）如图，△ABC内接于圆，过点B的直线与AC的延长线交于点D．若CD＝CB，且∠D＝25°，则的度数为（ ）
A．25° B．50° C．75° D．100°
6．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE沿BP折叠，得到△BC′P，点C的对应点为点C′，BC′的延长线交DE于点F，若DF＝EF，则∠BPC′的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
7．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图是小红用圆规设计的图案，其中心是一个大圆，外围由若干个全等的半圆弧组成．设这个图案的外围周长为L，中心大圆周长为l，则L与l的数量关系是（ ）
A．L＝l B．L＝2l C．2L＝3l D．3L＝4l
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．3
10．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+px+q的对称轴为直线x＝﹣2，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，﹣1）．若要在y轴上找一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果线段a、b满足，那么的值等于 ．
12．（3分）将二次函数y＝2（x﹣3）2+5的图象在平面直角坐标系中先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则最后得到的函数图象的解析式为 ．
13．（3分）如图，乐器上的一根琴弦AB＝50cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C、D之间的距离为 ．
14．（3分）学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+26t+1．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面 m处打开．
15．（3分）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为 ．
16．（3分）如图，已知正方形纸片ABCD，E为CB延长线上一点，F为边CD上一点，将纸片沿EF翻折，点C恰好落在AD边上的点H，连接BD，CH，CG．CH交BD于点N，EF、CG、BD恰好交于一点M．若DH＝2，BG＝3，则线段MN的长度为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算下列各式的值：
（1）8sin260°+tan45°﹣4cos30°；
（2）．
18．（8分）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和4等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．
19．（8分）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，已知∠ADC＝∠ACB．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝2，AC＝3，求的值．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
21．（8分）如图1是一种可折叠单面A字展架，其主体部分的示意图如图2，由展板BC、支架OA（可绕O点转动）和活动杆DFE（D，E，F均为可转动支点）组成．该展架是通过改变∠DFE的大小使其打开或收拢，在使用该展架时为了防止倾倒，∠AOB不得小于30°．现测得OD＝OE＝60cm，AD＝BE＝40cm，DF＝EF＝15cm．
（1）求支架底端A，B张开的最大距离．
（2）工作人员转动支点，使FD与OA垂直后并固定（如图3），请你判断此时是否符合规范使用的要求？并说明理由．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
22．（10分）如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB切于点C，与OA交于点E，与AO的延长线交于点D，连结BD，且BD＝BC．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
23．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含t的代数式表示）．
（2）点P（m，n）在该二次函数图象上，其中t﹣2≤m≤t+1．
①当t＝2时，求n的取值范围．
②请探究n的最大值与最小值之差是否会随着t的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含t的代数式表示这个差．
24．（12分）已知△OAB和△ODC有公共顶点O，∠OBA＝∠OCD＝30°，∠OAB＝∠ODC＝60°，连接AD，BC，取AD的中点M并连接OM．
（1）如图1，若点D位于线段OA上，则 （直接写出答案）
（2）如图2，若点D位于线段OB上．
①不添加其它字母和连线，直接写出图中除△AOB∽△DOC外的另一组相似三角形；
②猜想OM与BC的位置关系，并证明你的结论．
（3）当点D运动到图3所示位置时，第（1）、（2）②问的结论是否发生变化？证明你的结论．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个圆
C．两个菱形 D．两个等腰三角形
【思路点拔】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可
【解答】解：A．任意两个平行四边形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个圆一定相似，本选项符合题意；
C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
D．任意两个三角形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．cosB＝3 D．
【思路点拔】先根据勾股定理求出AC＝2，再根据锐角三角函数的定义分别求解可得．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，
∴AC2，
A．sinA，故A选项错误；
B．tanA，故B选项错误；
C．cosB，故C选项错误；
D．tanB2，故D选项正确；
故选：D．
3．（3分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为3cm的圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点A在⊙D外 B．点B在⊙D内
C．点C在⊙D上 D．以上说法都不对
【思路点拔】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；连接AD，由BC＝6cm，D是BC的中点，可得CD、BD的长，进而利用勾股定理求出AD；然后由圆D的半径r＝3cm，根据上步所求出的线段长与3cm作比较，即可判断点A、B、C与圆的位置关系．
【解答】解：连接AD．
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD为BC的中线，
∴BD＝CD＝3cm，
由等腰三角形三线合一，可知AD⊥BC，
∴AD（cm）．
∵7＜9，
∴3，
∴点A在圆D内部，点B和点C在圆D上．
故选：C．
4．（3分）下列事件中属于随机事件的有（ ）
①太阳从西边升起；
②任意买一张体育彩票会中奖；
③掷一枚1元硬币，有牡丹的一面朝下；
④小明长大后成为一名宇航员．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【思路点拔】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可作出判断．
【解答】解：①太阳从西边升起是不可能事件；
②任意买一张体育彩票会中奖是随机事件；
③掷一枚1元硬币，有牡丹的一面朝下是随机事件；
④小明长大后成为一名宇航员是随机事件．
故选：C．
5．（3分）如图，△ABC内接于圆，过点B的直线与AC的延长线交于点D．若CD＝CB，且∠D＝25°，则的度数为（ ）
A．25° B．50° C．75° D．100°
【思路点拔】先利用等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠D＝25°，然后利用三角形的外角性质可得∠ACB＝50°，即可解答．
【解答】解：∵CD＝CB，
∴∠CBD＝∠D＝25°，
∵∠ACB是△BCD的一个外角，
∴∠ACB＝∠CBD+∠D＝50°，
∴的度数＝2∠ACB＝100°，
故选：D．
6．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE沿BP折叠，得到△BC′P，点C的对应点为点C′，BC′的延长线交DE于点F，若DF＝EF，则∠BPC′的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
【思路点拔】由正五边形纸片ABCDE，可得，由DF＝EF，可得，由折叠的性质可知，∠BC′P＝∠C＝108°，，根据∠BPC′＝180°﹣∠BC′P﹣∠C′BP，求解作答即可．
【解答】解：∵五边形纸片ABCDE是正五边形，
∴，
∵DF＝EF，
∴∠ABF，
由折叠得：∠BC′P＝∠C＝108°，，
∴∠BPC′＝180°﹣∠BC′P﹣∠C′BP＝180°﹣108°﹣27°＝45°，
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】 解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△COA，
∴，
∴，
故选：D．
8．（3分）如图是小红用圆规设计的图案，其中心是一个大圆，外围由若干个全等的半圆弧组成．设这个图案的外围周长为L，中心大圆周长为l，则L与l的数量关系是（ ）
A．L＝l B．L＝2l C．2L＝3l D．3L＝4l
【思路点拔】设圆的半径为R，用含有R的代数式表示L、l，进而得出结论．
【解答】解：如图，连接OA、OB，设圆的半径为R，则圆的周长l＝2πR，
∵内部的六边形是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴OA＝OB＝AB＝R，
∴半圆弧AB的长为πR，
∴LπR×6＝3πR，
∴2L＝3l，
故选：C．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．3
【思路点拔】取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ＝PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值＝THAT＝3．
【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，
∵AT＝TB，
∴BC＝BT，
∵BP＝BQ，∠CBT＝∠PBQ，
∴∠TBP＝∠CBQ，
∴△TBP≌△CBQ（SAS），
∴CQ＝PT，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值＝THAT＝3，
∴CQ的最小值为3．
故选：A．
10．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+px+q的对称轴为直线x＝﹣2，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，﹣1）．若要在y轴上找一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
【思路点拔】根据线段垂直平分线的性质，可得N，′根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得M点坐标，根据两点之间线段最短，可得MN′，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．
【解答】解：如图，
作N点关于y轴的对称点N′，
连接MN′交y轴于P点，
将N点坐标代入抛物线，并联立对称轴，得
，
解得，
y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，
M（﹣2，﹣2）．
N点关于y轴的对称点N′（1，﹣1），
设MN′的解析式为y＝kx+b，
将M、N′代入函数解析式，得
，
解得，
MN′的解析式为yx，
当x＝0时，y，即P（0，），
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果线段a、b满足，那么的值等于 ．
【思路点拔】由，可设a＝5k，则b＝2k，代入，计算即可．
【解答】解：∵，
∴可设a＝5k，则b＝2k，
∴．
故答案为：．
12．（3分）将二次函数y＝2（x﹣3）2+5的图象在平面直角坐标系中先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则最后得到的函数图象的解析式为 y＝2（x﹣1）2+2 ．
【思路点拔】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将二次函数y＝2（x﹣3）2+5的图象在平面直角坐标系中先向左平移2个单位长度所得函数解析式为：y＝2（x﹣3+2）2+5，即y＝2（x﹣1）2+5，
再把二次函数y＝2（x﹣1）2+5的图象向下平移3个单位长度所得函数解析式为：y＝2（x﹣1）2+5﹣3，即y＝2（x﹣1）2+2，
故答案为：y＝2（x﹣1）2+2．
13．（3分）如图，乐器上的一根琴弦AB＝50cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C、D之间的距离为 50（2）cm ．
【思路点拔】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，表示为，由此即可求解．
【解答】解：弦AB＝50cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC＝x cm，则AC＝（50﹣x）cm，
∴，解方程得，x＝75﹣25，
点D是靠近点A的黄金分割点，设AD＝y cm，则BD＝（80﹣y）cm，
同理y＝75﹣25，
∴C，D之间的距离为：
50﹣x﹣y＝50﹣（75﹣25）﹣（75﹣25）＝50（2）（cm）．
故答案为：50（2）cm．
14．（3分）学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+26t+1．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面 170 m处打开．
【思路点拔】把二次函数配方为顶点式，写出最大值解题即可．
【解答】解：h＝﹣t2+26t+1＝﹣（t﹣13）2+170
∵a＝﹣1＜0，
∴点火升空的最高点距地面170m，
故答案为：170．
15．（3分）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为 2 ．
【思路点拔】首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵OQ为定值，
∴当OP的值最小时，PQ的值最小，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，
∴ABOA＝8，
∴OP4，
∴PQ2．
故答案为2．
16．（3分）如图，已知正方形纸片ABCD，E为CB延长线上一点，F为边CD上一点，将纸片沿EF翻折，点C恰好落在AD边上的点H，连接BD，CH，CG．CH交BD于点N，EF、CG、BD恰好交于一点M．若DH＝2，BG＝3，则线段MN的长度为 ．
【思路点拔】作CP⊥HG于P，首先证明DH＝HP，GP＝BG，推出GH＝5，设正方形边长为a，在Rt△AHG中利用勾股定理求出a，再由BG∥CD，得，由DH∥CB，得，分别求出BM、DN即可解决问题．
【解答】解：作CP⊥HG于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，AD∥BC，∠CDA＝90°，
∴∠DHC＝∠HCE，
由翻折性质可知，∠ECH＝∠EHC，
∴∠DHC＝∠CHE，
∵CD⊥HD，CP⊥HE，
∴CP＝CD＝BC，
∴△CHD≌△CHP，△CGP≌△CGB，
∴DH＝HP＝2，PG＝GB＝3，
∴HG＝2+3＝5，
设正方形边长为a，在Rt△AHG中，∵HG2＝AH2+AG2，
∴52＝（a﹣2）2+（a﹣3）2，
∴a＝6或﹣1（舍弃），
∴CD＝BC＝6，BD＝6，
∵BG∥CD，
∴，
∴BM＝2，
∵DH∥CB，
∴，
∴DN，
∴MN＝BD﹣DN﹣BM．
故答案为．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算下列各式的值：
（1）8sin260°+tan45°﹣4cos30°；
（2）．
【思路点拔】答题时首先牢记特殊角的三角函数值，然后运用实数运算法则进行计算．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
18．（8分）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和4等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．
【思路点拔】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得；
（2）先计算出数字之积为偶数的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平．
【解答】解：（1）列表如下：
﹣2 ﹣3 2 3
1 ﹣2 ﹣3 2 3
2 ﹣4 ﹣6 4 6
3 ﹣6 ﹣9 6 9
由表可知，共有12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结果，
所以甲获胜概率为；
（2）∵指针所在区域的数字之积为偶数的概率为，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，
将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平．
19．（8分）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，已知∠ADC＝∠ACB．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝2，AC＝3，求的值．
【思路点拔】（1）由两组对角相等的两个三角形相似可证△ADC∽△ACB；
（2）由相似三角形的性质可得，可求AB的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB，
∴BD，
∴．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
【思路点拔】（1）根据垂径定理得OD⊥AC，根据圆周角定理得BC⊥AC，然后由平行线的判定可得结论；
（2）根据垂径定理和等腰三角形的性质得DE＝4，设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，然后根据勾股定理和中位线性质可得答案．
【解答】解：（1）∵，
∴OD⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴：OD∥BC．
（2）∵AD＝CD，
∴OD⊥AC于点E且AE＝CE，
又∵AC＝10，
∴，
∵DE＝4，
设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣4）2+52，
∴，
又∵O，E为AB，AC的中点，
∴OE，OE∥BC，
∴BC＝2OE．
21．（8分）如图1是一种可折叠单面A字展架，其主体部分的示意图如图2，由展板BC、支架OA（可绕O点转动）和活动杆DFE（D，E，F均为可转动支点）组成．该展架是通过改变∠DFE的大小使其打开或收拢，在使用该展架时为了防止倾倒，∠AOB不得小于30°．现测得OD＝OE＝60cm，AD＝BE＝40cm，DF＝EF＝15cm．
（1）求支架底端A，B张开的最大距离．
（2）工作人员转动支点，使FD与OA垂直后并固定（如图3），请你判断此时是否符合规范使用的要求？并说明理由．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
【思路点拔】（1）当D，E，F三点共线时，AB最大，根据锐角三角函数即可解答；
（2）连接OF，先根据锐角三角函数求出∠DOF，即可求出∠AOB，再判断即可．
【解答】解：（1）当D，E，F三点共线时，AB最大，过点O作OH⊥AB，如图：
由等腰三角形的性质可知OH经过点F，
∵OD＝OE＝60cm，AD＝BE＝40cm，
∴AD＝OB＝100cm，AH＝BH，
∴，即，
解得AH＝25，
∴AB＝2AH＝50cm；
（2）不符合要求，连接OF，如图：
∵DF⊥OA，
∴∠ODF＝90°，
∴tan∠DOF0.25，
∴∠DOF＝14°，
∵OD＝OE，DF＝EF，
∴△DOF≌△EOF（SSS），
∴∠EOF＝∠DOF＝14°，
∴∠AOB＝28°，
∵28°＜30°，
∴此时不符合规范使用的要求．
22．（10分）如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB切于点C，与OA交于点E，与AO的延长线交于点D，连结BD，且BD＝BC．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【思路点拔】（1）先根据切线的性质得到∠OCB＝90°，再证明△BOD≌△BOC得到∠ODB＝∠OCB＝90°，则OD⊥DB，然后根据切线的判定方法可判断BD为⊙O的切线；
（2）根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△ADF﹣S扇形EOG﹣S△ODG进行计算即可．
【解答】 解：（1）BD与⊙O相切．
理由如下：∵⊙O与AB切于点C，
∴OC⊥AB，
∴∠OCB＝90°，
在△BOD和△BOC中，
，
∴△BOD≌△BOC（SSS），
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
∴OD⊥DB，
∴BD为⊙O的切线；
（2）∵∠ODB＝90°，OA＝OB，△ODB≌△OCB，
∴∠A＝∠OBA＝∠OBD＝30°，
∵∠OCA＝90°，OC＝2，
∴，∠AOC＝60°，
∴S△OAC22；
S扇形OCE；
∴S阴影＝2．
23．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含t的代数式表示）．
（2）点P（m，n）在该二次函数图象上，其中t﹣2≤m≤t+1．
①当t＝2时，求n的取值范围．
②请探究n的最大值与最小值之差是否会随着t的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含t的代数式表示这个差．
【思路点拔】（1）把解析式化成顶点时，即可求出二次函数图象的顶点坐标；
（2）①当t＝2时，则二次函数y＝x2﹣4x+2，0≤m≤3，即可求得n的取值范围是﹣2≤n≤2；
②由题意可知n的最小值为﹣t，最大值为x＝t﹣2时的值，即n的最大值为（t﹣2）2﹣2t（t﹣2）+t2﹣t＝4﹣t，可得n的最大值与最小值之差＝4﹣t+t＝4．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（t，﹣t）；
（2）①当t＝2时，则二次函数y＝x2﹣4x+2，0≤m≤3．
∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线开口向上，x＝2时有最小值﹣2，
当x＝0时，y＝2，
∴n的取值范围是﹣2≤n≤2；
②二次函数y＝x2﹣2tx+t2﹣t的图象开口向上，对称轴为直线x＝t，顶点坐标为（t，﹣t），
∵点P（m，n）在该二次函数图象上，其中t﹣2≤m≤t+1．
∴n的最小值为t，最大值为x＝t﹣2时的值，即n的最大值为（t﹣2）2﹣2t（t﹣2）+t2﹣t＝4﹣t，
∴n的最大值与最小值之差＝4﹣t+t＝4，
∴n的最大值与最小值之差不会随着t的变化而变化，n的最大值与最小值之差是4．
24．（12分）已知△OAB和△ODC有公共顶点O，∠OBA＝∠OCD＝30°，∠OAB＝∠ODC＝60°，连接AD，BC，取AD的中点M并连接OM．
（1）如图1，若点D位于线段OA上，则 2 （直接写出答案）
（2）如图2，若点D位于线段OB上．
①不添加其它字母和连线，直接写出图中除△AOB∽△DOC外的另一组相似三角形；
②猜想OM与BC的位置关系，并证明你的结论．
（3）当点D运动到图3所示位置时，第（1）、（2）②问的结论是否发生变化？证明你的结论．
【思路点拔】（1）设OD＝a，OA＝b，表示出BC和OM，代入计算即可；
（2）①△AOD∽△BOC，利用两边对应成比例夹角相等即可证明；
②根据三角形相似，利用三角形内角和得出OM与BC垂直；
（3）延长OM交BC于N，在MN上截取MH＝OM，证明出△OAH∽△BOC即可．
【解答】
（1）解：设OD＝a，OA＝b，
∵∠OBA＝∠OCD＝30°，∠OAB＝∠ODC＝60°，
∴∠AOB＝∠DOC＝90°，
∴CD＝2a，OC，
同理：OBb，
∴BC（a+b），AD＝b﹣a，
∵M是AD的中点，
∴DMAD，
∴OM＝OD+DM＝a，
∴，
故答案为：2．
（2）①解：△AOD∽△BOC，
延长OM交BC于点N，
由（1）得：，∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴△AOD∽△BOC；
②解：OM⊥BC，
证明：∵△AOD∽△BOC，
∴∠DAO＝∠CBO，
∵AD的中点是M，∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴MO＝MD，
∴∠ADO＝∠NOB，
∵∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠CBO+∠NOB＝90°，
∴OM⊥BC；
（3）解：第（1）、（2）②问的结论不变，
证明：延长OM交BC于N，在MN上截取MH＝OM，
∵AM＝MD，∠OMD＝∠AMH，
∴△OMD≌△HMA（SAS），
∴AH＝OD，∠HAD＝∠ADO，
∴AH∥OD，
∴∠HAO+∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∴△AOD∽△BOC，
由（2）可知，，
∴，
∴△OAH∽△BOC，
∴，∠CBO＝∠AOH，
∴，
∵∠AOH+∠NOB＝90°，
∴∠CBO+∠NOB＝90°，
∴OM⊥BC．
