《解直角三角形的应用》同步提升训练题（原卷版+解析版）

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《解直角三角形的应用》同步提升训练题
1．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小明站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC＝75°，求小明到古塔的水平距离即BC的长．（结果保留根号）
【思路点拔】过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AO＝40米，OC＝20米，OE＝BD，OE∥BD，从而可得∠EOC＝∠OCD＝45°，进而可得∠AOE＝30°，然后在Rt△OCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方方向匀速飞行4秒到达空中O点处，匀速飞行8秒到达塔顶，无人机的速度为5米/秒，作OD⊥BC交BC的延长线于点D，作OE⊥AB交AB于点E，如图：
∴AO＝8×5＝40（米），OC＝4×5＝20（米），OE＝BD，OE∥BD，
∴∠EOC＝∠OCD＝45°，
∵∠AOC＝75°，
∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°，
在Rt△OCD中，CD＝OC cos45°＝2010（米），
在Rt△AOE中，OE＝AO cos30°＝4020（米），
∴OE＝BD＝20米，
∴BC＝BD﹣CD＝（2010）米，
∴小李到古塔的水平距离即BC的长为（2010）米．
2．如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌CD．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部D到地面的距离（即DH的长度）．已知测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小张在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝10m，且图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内，求DH的长．（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
【思路点拔】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可．
【解答】解：如图所示：延长EF交CH于N，
则∠CNF＝90°，
∵∠CFN＝45°，
∴NF＝CN，
由题意可得，EF＝AB＝10m，CD＝6m，
设DN＝x m，则NF＝CN＝DN+CD＝（x+6）m，
∴EN＝EF+FN＝10+（x+6）＝（x+16）m，
∵，
∴EN tan∠DEN＝DN，
∴x≈（x+16）×0.6，
∴x≈24，
∴DH＝DN+NH≈24+1.2＝25.2（m），
答：点D到地面的距离DH的长约为25.2m．
3．在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡CB的坡度为，BC＝6米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为60°．
（1）α＝ 　30　度；
（2）求杨树AB的高度．（AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到0.1米，参考数据：
【思路点拔】（1）延长AB交DC于H，得到∠AHD＝90°，根据三角函数的定义即可求得答案；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）延长AB交DC于H，
则∠AHD＝90°，
在Rt△BCH中，tanα＝tan∠BCH，
∴α＝30°．
故答案为：30；
（2）在RtBCH中，cos∠BCH，∠BCH＝30°，BC＝6米，
∴BHBC＝3米，CHBC＝3米，
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝tan60°，DH＝DC+CH＝（4+3）米，
∴AH（4+3）＝（49）米，
∴AB＝AH﹣BH＝49﹣3＝46≈12.9（米），
答：杨树AB的高度约为12.9米．
4．直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，PO为飞机的高度．求：
（1）∠APB的度数；
（2）求PO的长．
【思路点拔】（1）过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，过点A作AQ⊥PO于Q，可得PC∥OB∥AQ，得到∠CPA＝∠PAQ＝30°，∠CPB＝∠PBO＝60°，再根据角的和差关系即可求解；
（2）由（1）可得∠ABP＝90°﹣60°＝30°，即得∠APB＝∠ABP，得到AP＝AB＝200米，进而由直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差关系即可求解．
【解答】解：（1）从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，过点A作AQ⊥PO于Q，则PC∥OB∥AQ，如图，
∴∠CPA＝∠PAQ＝30°，∠CPB＝∠PBO＝60°，
∴∠APB＝∠CPB﹣∠CPA＝60°﹣30°＝30°；
（2）∵∠ABP＝90°﹣60°＝30°，
∴∠APB＝∠ABP，
∵直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，
∴AP＝AB＝200米，
在Rt△APC中，∠CPA＝30°，
∴米，
∴PO＝AC+AB＝300米．
5．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为70米，此时无人机D距地面AB的高度为74.6米，求小区楼房BC的高度．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【思路点拔】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，解直角三角形求出DE、DF的长，即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：
则∠DAE＝75°，∠DCF＝45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DF＝CF，
在Rt△ADE中，tan∠DAE，
∴AE20（米），
∴BE＝AB﹣AE≈70﹣20＝50（米 ），
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE≈50米，
∴DF＝CF≈50米，
∴BC＝EF＝DE﹣DF≈74.6﹣50＝24.6（米），
答：小区楼房BC的高度约为24.6米．
6．贾老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小刚所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是，小刚和小亮制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
课题 测量古树的高度
测量工具 平面镜、测倾器和皮尺
测量示意图及说明 说明：①D、C、B、F四点共线，DE、AB均垂直于DF ②平面镜大小忽略 ③测倾器高度忽略
测量数据 小刚眼睛与地面高度DE＝1.5米，小刚到平面镜的距离CD＝3米， 平面镜到测倾器的距离为CF＝33米，∠AFB＝53°
参考数据 sin53°，cos53，tan53
请你根据以上测量报告，求古树AB的高度．
【思路点拔】根据垂直定义可得∠EDC＝∠ABC＝∠ABF＝90°，然后设BF＝x米，则CB＝（33﹣x）米，在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再根据题意可得：∠ACB＝∠DCE，从而证明△EDC∽△ABC，进而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵ED⊥DF，AB⊥DF，
∴∠EDC＝∠ABC＝∠ABF＝90°，
设BF＝x米，
∵CF＝33米，
∴CB＝CF﹣BF＝（33﹣x）米，
在Rt△ABF中，∠AFB＝53°，
∴AB＝BF tan53°x（米），
由题意得：∠ACB＝∠DCE，
∴△EDC∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x＝9，
经检验：x＝9是原方程的根，
∴ABx＝12（米），
∴古树AB的高度约为12米．
7．山城重庆，虽然山多坡多，但是很多重庆人都喜欢爬山望远．“会当凌绝顶，一览众山小”，能让人心境开阔．小育、小才和小庆三位同学相约周末爬山，因小庆临时有事，要晚一点来，小育和小才先在山脚C处集合，此时测得山顶A的仰角是45°，两人边走边聊，沿着倾斜角为30°的斜坡前进1200m到达凉亭D，在凉亭D测得山顶A的仰角为60°．（参考数据：1.41，1.73，2.45）（1）求山AB的高度（结果保留根号）．
（2）随着山路越来越陡，小育和小才两人的速度也越来越慢．若从凉亭D出发的后一段，两人的行进速度为3千米/时．当他们从凉亭D出发的同时，小庆在山脚C处乘坐观光缆车到山顶A与小育小才会合．已知观光缆车的速度为6千米/时，是小育小才还是小庆先到达山顶A？请通过计算说明．
【思路点拔】（1）首先根据题意分析图形；作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，构造两个直角三角形，分别求解可得DF与EA的值，再利用图形关系，进而可求出答案；
（2）求出小育小才所用时间和小庆所用时间即可得到结论．
【解答】解：作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，在Rt△CDF中∠DCF＝30°，CD＝1200米，
∴DF＝CD sin30°1200＝600（米）
CF＝CD cos30°1200＝600（米）
在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，设DE＝x米，
∴AE＝tan60° xx（米）
在矩形DEBF中，BE＝DF＝600米，
在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
即：x+600＝600x
∴x＝600，
∴AB＝AE+BE＝（600600）米；
（2）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠ADE＝60°，DE＝600米，
∴AD＝2DE＝1200米，
∴小育小才所用时间为1.2÷3＝0.4（小时），
∵ACAB＝6006002.318千米，
∴小庆所用时间为2.318÷6≈0.386（小时），
∵0.4＞0.386，
∴小庆先到达山顶A．
8．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离（CE的长度）为8m，测得旗杆的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，求旗杆AB的高度．
【思路点拔】利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE．AB＝AE+BE．
【解答】解：在△EBC中，有BE＝EC×tan45°＝8，
在△AEC中，有AE＝EC×tan30°，
∴AB＝8（米）．
答：旗杆AB的高度为（8）米．
9．如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为60°，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为45°，AP＝10m，AB＝8m，点B到地面m的距离为4m．
（1）求斜坡l的坡度；
（2）求点M与点N的高度差．
【思路点拔】（1）过B作BE⊥AP于E，根据勾股定理得到AE4（m），于是得到斜坡l的坡度＝BE：AE＝4：41：；
（2）BF⊥MP于F，求得EP＝BF＝（410）m，PF＝BE＝4m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）过B作BE⊥AP于E，
在Rt△ABE中，∵AB＝8m，BE＝4m，
∴AE4（m），
∴斜坡l的坡度＝BE：AE＝4：41：；
（2）BF⊥MP于F，
则EP＝BF＝（410）m，PF＝BE＝4m，
∵∠MBF＝45°，
∴MF＝BF＝（410）m，
∵∠ANP＝90°﹣60°＝30°，AP＝10m，
∴PN10（m），
∴，
∴4＝（14﹣6）m，
答：点M与点N的高度差为（14﹣6）m．
10．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求D到BC的距离；
（2）求古塔AB的高度．（结果保留根号）
【思路点拔】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，于是得到DH＝BF，BH＝DF，设DF＝x m，CFx m，根据勾股定理即可得到结论；
（2）由（1）知，BH＝DF＝10m，于是得到CF＝10m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴，
设DF＝x m，CFx m，
∴CD2x＝20（m），
∴x＝10，
∴DF＝10m，
答：D到BC的距离为10m；
（2）由（1）知，BH＝DF＝10m，
∴CF＝10m，
∴DH＝BF＝（1030）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AHDH（1030）＝（10+10）m，
∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，
答：古塔AB的高度是（20+10）m．
11．2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以6.8m/s的速度竖直上升5s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔DE的高度．
【思路点拔】（1）根据题意求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出BC；
（2）延长ED交BC的延长线于点F，设DE＝x m，用x表示出DF、BF，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）由题意可知：AB＝6.8×5＝34（m），
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
则BC＝AB＝34m，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离为34m；
（2）如图②，延长ED交BC的延长线于点F，
则四边形ABFE为矩形，
∴EF＝AB＝34m，
设DE＝x m，则DF＝（34﹣x）m，
在Rt△DFC中，∠DFC＝45°，
则FC＝DF＝（34﹣x）m，
∴BF＝CF+BC＝（68﹣x）m，
在Rt△BFD中，∠FBD＝20°，
∵tan∠FBD，
∴DF＝BF tan∠FBD，即34﹣x＝（68﹣x）×0.36，
解得：x≈15，
答：四门塔DE的高度约为15m．
12．小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．
国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为40°，求小雁塔的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54）
【思路点拔】根据题意可得：BA⊥AD，CD＝24米，然后设AC＝x米，则AD＝（x+24）米，再分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：BA⊥AD，CD＝24米，
设AC＝x米，则AD＝AC+CD＝（x+24）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝57°，
∴AB＝AC tan57°≈1.54x（米），
在Rt△ABD中，∠ADB＝40°，
∴AB＝AD tan40°≈0.84（x+24），
∴1.54x＝0.84（x+24），
解得：x＝28.8，
∴AB＝1.54x≈44（米），
∴小雁塔的高度约为44米．
13．如图，为了测量某建筑物BC的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据测量员的测量数据．
（1）求坡顶D到AB的距离．
（2）求建筑物BC的高度．（参考数据：）
【思路点拔】（1）过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，得BF＝DH，在Rt△ADH中求出DH；
（2）解直角三角形求出EF、CF的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）点A、B、C、D、E在同一平面内，如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
则四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH，
沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．
在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，
∴AH2+DH2＝AD2，即DH2+（2.4DH）2＝1302，
解得：DH＝50米，
答：坡顶D到地面AB的距离为25米；
（2）由（1）知，DH＝50米，
∴BF＝DH＝50米，
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴EF＝BF＝50米，
在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，
∴，
∴（米），
∴BC＝BF+CF＝50+86.6＝136.6（米）．
即建筑物BC的高度约为136.6米．
14．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°（参考数据：，，tan53°）
（1）∠AEM＝ 　45　度，∠ACN＝ 　53　度，MN＝ 　0.3　米；
（2）电子厂AB的高度为多少米？
【思路点拔】（1）根据题意可得：∠AEM＝45°，∠ACN＝53°，EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：EM＝BF，CN＝BD，DF＝5m，从而可设EM＝BF＝x m，则BD＝CN＝（x﹣5）m，然后分别在Rt△AEM和Rt△ACN中，利用锐角三角函数的定义求出AM和AN的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：∠AEM＝45°，∠ACN＝53°，EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，
∴MN＝BM﹣BN＝1.8﹣1.5＝0.3（m），
故答案为：45；53；0.3；
（2）由题意得：EM＝BF，CN＝BD，DF＝5m，
设EM＝BF＝x m，则BD＝CN＝（x﹣5）m，
在Rt△AEM中，∠AEM＝45°，
∴AM＝EM tan45°＝x（m），
在Rt△ACN中，∠ACN＝53°，
∴AN＝CN tan53°（x﹣5）m，
∵AM+MB＝AN+BN，
∴x+1.8（x﹣5）+1.5，
解得：x＝20.9，
∴AM＝20.9m，
∴AB＝AM+BM＝20.9+1.8＝22.7（m），
∴电子厂AB的高度为22.7m．
15．2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．求飞船从B处到C处的距离．
【思路点拔】根据题意可得：BO⊥OC，然后在Rt△AOC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AO和OC的长，再在Rt△BOC中，解直角三角形即可求出BC．
【解答】解：由题意得：BO⊥OC，
在Rt△AOC中，AC＝8km，∠ACO＝30°，
∴AOAC＝4km，
∴OC4km，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴∠B＝45°＝∠BCO，
∴OB＝OC＝4km，
∴BC4km．
答：飞船从B处到C处的距离为4km．
16．安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号）
【思路点拔】过点D作DH⊥AB于点H，先根据坡比的概念得到CG＝90米，然后证明BH＝DG＝30米，DH＝BG，设AB＝BC＝x米，在Rt△ADH中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，
∵斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米，
∴，
∴CG＝90米，
∵DG⊥BG，AB⊥BG，
∴四边形BHDG是矩形，
∴BH＝DG＝30米，DH＝BG，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
设AB＝BC＝x米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米，
DH＝BG＝CG+BC＝（x+90）米，
在Rt△ADH中，，
∴，
解得，
∴米，
答：飞机距离地面的高度为米．
17．图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度AB＝980m，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求西安电视塔的高度CD．（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
【思路点拔】过点C作CF⊥AB，先说明四边形CDBF是矩形，再在Rt△ACF、Rt△DBA中，利用直角三角形的边角间关系求出AF的长，最后利用线段的和差关系得结论．
【解答】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，
∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°．
∴四边形CDBF是矩形．
∴BF＝CD，CF＝BD＝980m．
∵CF∥BD∥AE，
∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°．
在Rt△ACF中，
∵tan∠ACF，
∴AF＝tan∠ACF CF
＝tan37°×980
≈0.75×980
≈735（m）．
∴CD＝FB＝AB﹣AF
＝980﹣735
＝245（m）．
答：西安电视塔的高度CD为245m．
18．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿BC后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离DE为1.2米；然后，苏海沿BC的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为45°，此时，测得EG＝2.1米，测倾器的高度FG＝1.2米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且AB、DE、FG均垂直于BG，求雕像的高度AB．
【思路点拔】根据已知条件推出△ABC∽△DEC，求得AB与BC的关系，再根据题意易得四边形HBED、四边形DEGF、四边形HBGF均为矩形，得到，根据∠AFH＝45°，得AH＝HF，构造一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设BC＝x米，如图，
根据题意可得，∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠DEC＝90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∴，
∵点B、C、E、G在同一水平直线上，且AB、DE、FG均垂直于BG，DE＝FG＝1.2m，
∴四边形HBED、四边形DEGF、四边形HBGF均为矩形，
∴，
∵∠AFH＝45°，
∴AH＝HF，
∴，
解得x＝12.6，
∴，
答：雕像的高度为16.8米．
19．“复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的α角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点A到地面距离AB＝1.95m，旗杆底部C到B的距离CB＝9m，α＝37°．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【思路点拔】过点A作AE⊥CD于E，根据正切的定义求出DE，进而求出DC．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD于E，
则四边形ABCE为矩形，
∴AE＝BC＝9m，EC＝AB＝1.95m，
由题意可知：∠DAE＝α＝37°，
在Rt△DAE中，AE＝9m，∠DAE＝37°，
∵tan∠DAE，
∴DE＝AE an∠DAE≈9×0.75＝6.75（m），
∴DC＝6.75+1.95＝8.7（m），
答：旗杆的高度约为8.7m．
20．为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图2．从山脚的点A开始向山上修建坡道AB和CD，并在点B与点C之间设置一段与地面l平行的平路BC，其中AB＝CD＝600m，BC＝50m，坡道AB，CD的坡角分别为15°，45°．
（1）求点B到水平地面l的高度；
（2）求点A与点D之间的水平距离．（结果精确到1m．参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
【思路点拔】（1）过点B作BE⊥ l 于E，过点D作DG⊥ l 于G，交BCDE延长线于F，解Rt△ABE得BE＝105米，AE＝576米，由此可得出答案；
（2）解Rt△CDF得CF＝423米，再根据AG＝AE+BC+CF即可得出答案．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥l于E，过点D作DG⊥l于G，交BCDE延长线于F，如图所示：
在Rt△ABE中，AB＝600m，∠BAE＝15°，
∵sin∠BAE，coa∠BAE，sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，
∴BE＝600×sin15°≈600×0.25＝105（米），AE＝AB coa15°≈600×0.96＝576（米），
答：点B到水平地面l的高度是105米．
（2）在Rt△CDF中，∠DCF＝45°，CD＝600米，√2≈1.41，
∵cos∠DCF，
∴CF＝600 cos45°＝600300×1.41＝423（米），
又∵BC＝50米，
∴AG＝AE+BC+CF＝576+50+423＝1049（米），
答：点A与点D之间的水平距离1049米．
21．瑞天时代广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3m，一楼到地平线的距离BC＝1m．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.6m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【思路点拔】（1）根据题意可得∠BAD＝18°，再根据锐角三角函数即可求出结果；
（2）如图，过点C作CE⊥AD于点E，根据锐角三角函数求出CE的长，再进行比较即可得结论．
【解答】解：（1）由题意可知：∠BAD＝18°，
在Rt△ABD中，AB6.25（m），
答：应在地面上距点B约6.25m远的A处开始斜坡的施工；
（2）按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场；理由如下：
如图，过点C作CE⊥AD于点E，
则∠ECD＝∠BAD＝18°，
在Rt△CED中，CE＝CD cos18°≈3×0.95＝2.85（m），
∵2.85＞2.6，
∴按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场．
22．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角∠ABG为12°．
（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【思路点拔】（1）根据cos12°，得出BG的长度；
（2）延长GB，NM交于点H，得出四边形DNHG是矩形，通过计算得出GH的长度，从而得出DN的长度．
【解答】解：（1）∵AB＝24cm，BEAB，
∴BE8，
∵，
∴BG＝8cos12°（cm）；
（2）∵sin12°，
∴EG＝8sin12°（cm），
延长GB，NM交于点H，
∴四边形DNHG是矩形，
∴NH＝DG＝DE﹣EG＝（28﹣8sin12°）cm，
∴HM＝NH﹣MN＝（20﹣8sin12°）cm，
∵∠ABG＝12°，∠ABM＝147°，
∴∠FBG＝135°，
∴∠MBH＝45°，
∴BH＝HM＝（20﹣8sin12°）cm，
∴DN＝GH＝BG+BH＝（8cos12°+20﹣8sin12°）cm．
23．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB＝2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO＝3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH＝60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：1.41，1.73）
【思路点拔】过点B作BN⊥OH于N，延长AD交BN于M，根据正弦的定义分别求出BM、BN，计算即可．
【解答】解：如图，过点B作BN⊥OH于N，延长AD交BN于M，
则四边形DHNM为矩形，
∴DH＝MN，
在Rt△AMB中，AB＝2.4m，∠BAM＝45°，
则BM＝AB sin∠BAM＝2.4（m），
在Rt△ANO中，BC＝3m，∠BOH＝60°，
则BN＝OB sin∠BOH（m），
∴MN＝BN﹣BM0.9（m），
∴DH≈0.9m，
答：DH的长约为0.9m．
24．如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度CD＝6米，坡面BC的倾斜角∠CBD＝45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD＝30°．
（1）求新坡面AC的长度；
（2）试求新坡面底部点A到建筑物MN的距离．
【思路点拔】（1）根据含30°角的直角三角形的性质计算；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而求出AD，根据正切的定义求出AD，计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，
则AC＝2CD＝2×6＝12（米），
答：新坡面AC的长度为12米；
（2）在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，CD＝6米，
∴BD＝CD＝6米，
∵NB＝8米，
∴ND＝NB+BD＝8+6＝14（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，
则AD6（米），
∴NA＝ND﹣AD＝（14﹣6）米，
答：新坡面底部点A到建筑物MN的距离为（14﹣6）米．
25．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°）
【思路点拔】根据题意，设设AB＝x cm，分两种情况计算出AF和AH的长，利用AF＝AH建立方程（60+x） sin53°＝（60+2x） sin37°，求出x值即可．
【解答】解：如图1，作AF⊥CG，垂足为F，设AB＝x cm，则AC＝60+x，
∵sin53°，
∴AF＝（60+x） sin53°，
如图2，作AH⊥CG，垂足为H，则AC＝60+2x，
∴AH＝（60+2x） sin37°，
∵AF＝AH，
∴（60+x） sin53°＝（60+2x） sin37°，
∴，
解得：x＝30．
答：每节拉杆的长度为30cm．
26．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为23.9m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【思路点拔】（1）在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH＝i＝1：0.75，设EH＝4x，则FH＝3x，由勾股定理求出EF5x，那么5x＝15，求出x＝3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式1.25，解不等式即可．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∠H＝90°，
∴tan∠EFH＝i＝1：0.75，
设EH＝4x m，则FH＝3x m，
∴EF5x m，
∵EF＝15m，
∴5x＝15m，x＝3，
∴FH＝3x＝9m．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，
H＝AB+EH＝23.9+12＝35.9，H1＝0.9，
∴日照间距系数＝L：（H﹣H1），
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴1.25，
∴CF≥30.75．
答：底部C距F处30.75m远．
27．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1：．
（1）求通道斜面AB的长；
（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：1.41，2.24，2.45）
【思路点拔】（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，解Rt△CMD，得出DM＝CMCD＝3，则AN＝DM＝3，再解Rt△ANB，由通道斜面AB的坡度i＝1：，得出BNAN＝6，然后根据勾股定理求出AB；
（2）先解Rt△MED，求出EMDM＝3，那么EC＝EM﹣CM＝33，再根据BE＝BC﹣EC即可求解．
【解答】解：（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，
∵∠BCD＝135°，
∴∠DCM＝45°．
∵在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，CD＝6，
∴DM＝CMCD＝3，
∴AN＝DM＝3，
∵通道斜面AB的坡度i＝1：，
∴tan∠ABN，
∴BNAN＝6，
∴AB37.4．
即通道斜面AB的长约为7.4米；
（2）∵在Rt△MED中，∠EMD＝90°，∠DEM＝30°，DM＝3，
∴EMDM＝3，
∴EC＝EM﹣CM＝33，
∴BE＝BC﹣EC＝8﹣（33）＝8+334.9．
即此时BE的长约为4.9米．
28．如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）求改善后滑板AD的长为多少米？
（2）若滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据：1.414，1.732，2.449，以上结果均保留到小数点后两位）．
【思路点拔】（1）滑滑板增加的长度实际是（AD﹣AB）的长．在Rt△ABC中，通过解直角三角形求出AC的长，进而在Rt△ACD中求出AD的长得解；
（2）分别在Rt△ABC、Rt△ACD中求出BC、CD的长，即可求出BD的长，进而可求出改造后滑滑板前方的空地长．若此距离大于等于3米则这样改造安全，反之则不安全．
【解答】解：
（1）在Rt△ABC中，
AC＝AB sin45°＝42（米）．
∵∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝2（米）．
在Rt△ADC中，
AD4（米），
改善后滑板AD的长为4米；
（2）这样改造能行，理由如下：
∵CD24.898（米），
（或CD2（米））
BD＝CD﹣BC＝224.898﹣2.828≈2.07（米）．
∵6﹣2.07≈3.93＞3，
∴这样改造能行．
29．为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用、如图，在侧截面示意图中，遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°、且靠墙端离地的高AB为4米，当太阳光线CD与地面DA的夹角为60°时，求AD的长．（结果精确到0.1米：参考数据：，，，．）
【思路点拔】作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，在Rt△BCE中，解直角三角形得出米，米，证明四边形AECF为矩形，得出米，米，在Rt△CDF中，解直角三角形得出DF≈1.4米，即可得解．
【解答】解：如图：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
由题意得∠BCE＝22°，BC＝4米，AB＝4米，∠CDF＝60°，∠BAD＝90°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝22°，BC＝4米，
∴（米），（米），
∴（米），
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CEA＝∠CFA＝∠BAD＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴米，米，
在Rt△CDF中，，
∴DF≈1.4米，
∴（米）．
30．如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于点F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【思路点拔】根据题意可得：EN＝DM＝BF，DF＝BM，DE＝MN＝1米，然后设AN＝x米，在Rt△AEN中，利用锐角三角函数的定义求出EN的长，从而求出CF和DF的长，再在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义可得CF＝DF，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：EN＝DM＝BF，DF＝BM，DE＝MN＝1米，
设AN＝x米，
在Rt△AEN中，∠EAN＝31°，
∴EN＝AN tan31°≈0.6x（米），
∴EN＝DM＝BF＝0.6x米，
∵BC＝4米，AB＝6米，
∴CF＝BC﹣BF＝（4﹣0.6x）米，BM＝DF＝AB﹣AN﹣MN＝6﹣x﹣1＝（5﹣x）米，
在Rt△DCF中，∠CDF＝45°，
∴CF＝DF tan45°＝DF，
∴4﹣0.6x＝5﹣x，
解得：x＝2.5，
∴BM＝5﹣x＝2.5（米），
∴DM和BC的水平距离BM的长度约为2.5米．
31．为满足学校日常教学和办公需求，学校为办公室采购了一批椅子．学生经查阅资料得知椅子坐面与地面保持38～44cm的距离时，对于一般成年人的坐姿舒适度最佳．如图①是学校采购的椅子，如图②是同学们从中抽离出的椅子侧面示意图，支架AB的长为65cm，与地面的夹角为60°，支架BC与地面的夹角为70°，支撑杆ED的长为10cm，且垂直于支架BC，螺帽D、F之间的距离为4cm，椅子坐面GF平行于地面AC．根据以上数据，判断这批椅子是否符合一般成年人坐姿舒适度的范围要求．（结果精确到1cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，）
【思路点拔】过点F作FM⊥AC于点M，设AM＝x cm，则AF＝2x cm， cm，BD＝（61﹣2x）cm，利用三角形内角和定理求得∠B＝50°，在Rt△DBE中，利用锐角三角函数求得x≈24，再利用 cm求解即可．
【解答】解：过点F作FM⊥AC于点M，如图②，
∵∠CAD＝60°，
∴∠AFM＝30°，
设AM＝x cm，则AF＝2x cm，
∴ cm，
∵DF＝4cm，AB＝65cm，
∴BD＝65﹣4﹣2x＝（61﹣2x）cm，
∵∠A＝60°，∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
在Rt△DBE中，，即，
解得x≈24，
∴FMx24≈42（cm），
∵38cm＜42cm＜44cm，
∴这批椅子符合一般成年人坐姿舒适度的范围要求．
32．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，sin22°，cos22°，tan22°≈0.4）
【思路点拔】（1）过B作BF⊥AD于F，根据正弦的定义计算，得到答案；
（2）根据余弦的定义求出AF，再根据正切的定义求出AD，计算即可．
【解答】解：（1）过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，sin∠BAF，
则BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈31.8（米）．
答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；
（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF，
则AF＝ABcos∠BAF＝3×cos37°≈2.4（米），
∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，tan∠EAD，
则AD3.25（米），
∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
33．为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用．如图，在侧截面示意图中，遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°，且靠墙端离地的高AB为4米，当太阳光线CD与地面DA的夹角为67°时，求AD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin67°，cos67°，tan67°）
【思路点拔】过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥AD于点F，易知四边形CEAF为矩形，得到CE＝AF，CF＝AE，利用三角函数求出BE，CE，推出CF，AF，再利用三角函数求出DF，最后根据AD＝AF﹣DF，即可解题．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥AD于点F，
由题易知四边形CEAF为矩形，
∴CE＝AF，CF＝AE，
∵遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°，
∴BE＝BC sin22°≈4（m），
CE＝BC cos22°（m），
∵高AB为4米，
∴CF＝AE＝AB﹣BE＝4（m），
∵，AF＝CE（m），
又∵太阳光线CD与地面DA的夹角为67°，
∴，DF（m），
∴．AD＝AF﹣DF2.7（m），
34．如图是某广场地下停车场的入口处安装雨棚左侧支架的示意图，支架的立柱AB与地面垂直，即∠BAC＝90°，且AB＝2.7米，点A，C，M在同一条水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB＝33°，支撑杆DE⊥BC于点E，该支架的边BD与BC的夹角∠DBE＝66°，且测得CE＝2.2米．求该支架的边BD的长．（结果精确至1米，参考数据：sin33°≈0.54，sin66°≈0.91，cos33°≈0.84，cos66°≈0.41，tan33°≈0.65，tan66°≈2.25）
【思路点拔】根据题意，得∠BAC＝90°，AB＝2.7米，∠ACB＝33°，∠DBE＝66°，CE＝2.2米，DE⊥BC，解Rt△ABC得出BE，解Rt△BED，即可求得BD的长，即可求解．
【解答】解：根据题意，得∠BAC＝90°，AB＝2.7米，∠ACB＝33°，∠DBE＝66°，CE＝2.2米，DE⊥BC，
在Rt△ABC中，，
∴（米），
∴BE＝BC﹣CE≈5﹣2.2＝2.8（米）．
在Rt△BED中，，
∴（米）．
∴该支架的边BD的长约为7米．
35．科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，AM为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流AC与水平面夹角为63°时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动10cm至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，MC＝AB．
（1）求连接水管AM的长．（结果保留整数）
（2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，1.73）
【思路点拔】（1）根据∠ACM的正切值求解即可；
（2）连接BC．首先证明出四边形ABCM为矩形，进而得到BD＝2BC＝40cm，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵MC＝AB＝10cm，∠ACM＝63°，
∴AM＝MC tan∠ACM＝MC tan63°≈10×2.0＝20cm．
答：连接水管AM的长为20cm．
（2）如图，连接BC．
∵AB∥MC，AB＝MC，
∴四边形ABCM为平行四边形．
∵∠AMC＝90°，
∴四边形ABCM为矩形，
∴BC＝AM＝20cm，∠BCD＝90°．
∵∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝40cm，
∴．
答：水盆两边缘C，D之间的距离为34.6cm．
36．如图，5G时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度i＝1：2.4（即DB：AB＝1：2.4）的山坡AD上加装了信号塔PQ，信号塔底端Q到坡底A的距离为13m．当太阳光线与水平线所成的夹角为53°时，且AM＝8m，ME＝9m．
（1）AQ＝　13　m，∠PEN＝　37　°；
（2）求信号塔PQ的高度大约为多少米？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【思路点拔】（1）根据题意分别写出AQ、∠PEN；
（2）过点E作EH⊥PQ于H，根据坡度的概念、勾股定理求出AG、QG，根据正切的定义求出PH，进而求出PQ．
【解答】解：（1）由题意可知：AQ＝13m，∠QPE＝180°﹣90°﹣53°＝37°，
∵PQ∥MN，
∴∠PEN＝∠QPE＝37°，
故答案为：13，37°；
（2）如图，过点E作EH⊥PQ于H，
则四边形HGME为矩形，
∴HG＝ME＝9m，HE＝GM，
设QG为x m，
∵斜坡AD的坡度为1：2.4，
∴AG＝2.4x m，
由勾股定理得：QG2+AG2＝AQ2，即x2+（2.4x）2＝132，
解得：x＝5（负值舍去），
∴AG＝12m，HQ＝9﹣5＝4（m），
∴GM＝12+8＝20（m），
在Rt△PHE中，∠PEH＝53°，HE＝20m，
∵tan∠PEH，
∴PH＝HE tan∠PEH≈20×1.3＝26（m），
∴PQ＝PH+HQ＝4+26＝30（m），
答：信号塔PQ的高度大约为30米．
37．2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．
（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）
【思路点拔】（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°，即可得出DE．
（2）由（1）得，DE＝0.4m，则GE＝GD﹣ED＝0.64（m），在Rt△GEF中，tan53°，sin53°，解得EF＝0.48，FG＝0.8，根据运动员的身高为GF+EF+DE可得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，
sin30°，
解得DE＝0.4，
∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m．
（2）由（1）得，DE＝0.4m，
∴GE＝GD﹣ED＝1.04﹣0.4＝0.64（m），
∵EF∥AB，
∴∠GEF＝∠EDB＝90°，
在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，GE＝0.64m，
tan53°，
sin53°，
∴EF＝0.48，FG＝0.8，
∴运动员的身高为GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）．
38．风景秀丽的阿掖山位于日照市岚山区内，是市民旅游休闲的打卡地，从阿掖山东侧的岚山驿站乘坐缆车只需要187s即可上山，为游客上下山提供了方便．如图，是阿掖山缆车索道平面图，A是山脚驿站，整个索道分为AB、BC两段，索道AB长500米，且与水平面的夹角∠1＝16°，缆车在该段上行驶速度为5m/s，索道BC与水平面的夹角∠2＝30°，缆车在该段上行驶速度为4m/s（A、B、C、O在同一平面内）．求阿掖山OC的高度．（精确到1米，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
【思路点拔】根据矩形的性质得到BD＝OE，根据正弦的定义求出BD，根据题意求出BC，再根据含30°角的直角三角形的性质求出CE，进而求出OC．
【解答】解：由题意可知：四边形BDOE为矩形，
∴BD＝OE，
在Rt△BAD中，∠1＝16°，AB＝500米，
则BD＝AB sin∠1≈500×0.28＝140（米），
∵索道AB长500米，缆车在该段上行驶速度为5m/s，
∴缆车在索道AB段上用时100s，
∴缆车在索道BC段上用时为187﹣100＝87（s），
∵缆车在索道BC段上行驶速度为4m/s，
∴BC＝87×4＝348（米），
在Rt△CBE中，∠2＝30°，
则CEBC348＝174（米），
∴OC＝140+174＝314（米），
答：阿掖山OC的高度约为314米．
39．郑州市政府坚持以人民为中心的发展思想和“人民至上、生命至上”理念，未雨绸缪好过亡羊补牢，对京广路隧道考虑增加多种安全措施，排除安全隐患．根据各段隧道空间情况，在不影响交通的情况下，加装了大小、形状不一的19条人行逃生爬梯．如图1，起初工程师计划修建一段坡角为50°（即∠ABC＝50°，∠BAC＝40°）的爬梯AB，从安全角度再次考虑，工程师对爬梯的设计进行了修改，如图2，修建了AD、EF两段平行的爬梯，并在中间修建了1米的水平平台DE，点C、B、F三点共线，小明实地测量后得到AC为4米，CF为5米．
（1）求修改后的爬梯坡角比修改前坡角减缓了多少度？
（2）求修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【思路点拔】（1）先构造平行四边形DGFE，可得AC，CG，再根据特殊角的三角函数求出∠AGC，进而得出答案；
（2）根据求出BC，即可得出答案．
【解答】解：（1）延长AD交CF于点G，如图，
∵DE∥GF，DG∥EF，
∴四边形DGFE是平行四边形，
∴DE＝GF＝1米，
∴CG＝CF﹣GF＝5﹣1＝4＝AC，
∴，
∴∠AGC＝45°，
∴∠ABC﹣∠AGC＝50°﹣45°＝5°．
答：修改后的爬梯坡角比修改前坡角减缓了5度；
（2）在Rt△ABC中，，
∴CB＝4×tan40°≈4×0.84＝3.36（米），
∴BF＝CF﹣CB＝5﹣3.36≈1.6（米）．
答：修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离为1.6米．
40．某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道．已知点A在点C的正南方，点B在点C的东南方向，点D在点A的正西方，点D在点C的南偏西60°方向上，点B在点A北偏东37°方向上，若AB＝200米．（参考数据：，，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）
（1）求CD的长度；
（2）小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线A﹣D﹣C慢跑到点C，他的平均速度是400米/分．爸爸选择沿路线A﹣B﹣C散步到点C，他的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C？
【思路点拔】（1）过连接AC，过点B作BF⊥AC于点F，利用解直角三角形，求出BF、CF、AF，得AC＝280米，再在Rt△ACD求出CD计算结果保留整数即可．
（2）先求出两人路程，再求出需要的时间即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，连接AC，过点B作BF⊥AC于点F，
已知点A在点C的正南方，点B在点C的东南方向，点D在点A的正西方，点D在点C的南偏西60°方向上，点B在点A北偏东37°方向上，AB＝200米，
∴∠MCA＝90°，∠CAD＝90°，∠BAC＝37°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，
∴BF＝AB sin∠BACBF＝AB sin∠BAC＝200 sin37°≈200×0.6＝120（米），
AF＝AB cos∠BAC＝200 cos37°≈200×0.8＝160（米），
∴（米），
∴AC＝AF+CF＝160+120＝280（米），
∴（米），
答：CD的长度为560米；
（2）∵CD＝560米，∠DCA＝60°，
∴（米），
∴小聪选择沿路线A﹣D﹣C慢跑到点C，所需要的时间为：（484.4+560）÷400≈2.6（分），
∵（米），
所以爸爸选择沿路线A﹣B﹣C散步到点C，所需要的时间为：（200+169.2）÷100≈3.7（分），
∵2.6＜3.7，
答：小聪先到达点C．
41．如图，已知港口A的南偏东80°方向上有一座小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向．
（1）求此时货轮到小岛B的距离．
（2）在小岛B周围36海里范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．
【思路点拔】（1）先根据题意求出∠BAC＝40°，∠ACB＝100°，据此得∠ABC＝∠ACB＝40°，从而得出AC＝BC，从而可得答案；
（2）作BD⊥CD于点D，由∠BCD＝30°，BC＝80海里，可得：海里，从而可得答案．
【解答】解：（1）如图1，标注字母，
一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向．由题意知：∠EAB＝80°，∠EAC＝40°，∠QCB＝60°，
∴∠ACQ＝40°，
∴∠BAC＝80°﹣40°＝40°，∠ACB＝40°+60°＝100°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴BC＝AC＝80海里，
即此时货轮到小岛B的距离为80海里；
（2）如图2，作BD⊥CD于点D，
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°﹣60°＝30°，BC＝80海里，
∴海里，
∵40＞36，
∴货轮向正东方向航行没有触礁危险．
42．如图，M为沙坪坝区物流中心，N，P，Q为三个菜鸟驿站，N在M的正南方向4.3km处，Q在M的正东方向，P在Q的南偏西37°方向2.5km处，N在P南偏西64方向．（sin37≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
（1）求驿站P，驿站N之间的距离（结果精确到0.1km）；
（2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心M出发，以30km/h的速度沿着M﹣N﹣P﹣Q的路线派送快递到各个驿站，派送员途径N，P两个驿站各停留6min存放快递，请计算说明派送员能否在40min内到达驿站Q？
【思路点拔】（1）过P作PA⊥MN于A，PB⊥MQ于B，得到MB＝AP，AM＝PB，解直角三角形即可得到结论；
（2）由于30km/h＝0.5km/min，求得MN+PN+PQ＝4.3+5.1+2.5＝11.9（km），于是得到11.9÷0.5+6+6＝35.8＜40，即可得到结论．
【解答】解：（1）过P作PA⊥MN于A，PB⊥MQ于B，
则MB＝AP，AM＝PB，
在Rt△PBQ中，∵∠BPQ＝37°，PQ＝2.5km，
∴PB＝PQ cos∠BPQ≈2.5×0.83＝2.075（km），
∴AM＝PB＝2.075km，
∵MN＝4.3km，
∴AN＝MN﹣AM＝2.225（km），
在Rt△ANP中，∵∠ANP＝64°，
∴PN5.1（km），
答：驿站P，驿站N之间的距离约为5.1km；
（2）30km/h＝0.5km/min，
∵MN+PN+PQ＝4.3+5.1+2.5＝11.9（km），
∴11.9÷0.5+6+6＝35.8＜40，
故派送员能在40min内到达驿站Q．
43．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB＝240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向．（参考数据：
（1）求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）
（2）大门C在风景点D的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，翻修费用为每米200元，请计算此次翻修工程的总费用．
【思路点拔】（1）过点B作BP⊥AD于点P，在Rt△ABP中，解直角三角形求出BP，根据含30度直角三角形的性质即可求出BD；
（2）过点B作BM⊥CD于点M，在Rt△BDN和Rt△BCM中，根据三角函数的定义求出BD，BM，DM，CM，继而求出DC，即可得到结论
【解答】解：（1）过点B作BP⊥AD于点P，
由题意知∠BAD＝45°，∠CBD＝75°，
∴∠ADB＝30°，∠ABP＝45°＝∠A，
∴BD＝2 B P，AP＝BP，
在Rt△ABP中，AB＝240米，
∴（米），
∴（米）．
答：B、D两地的距离约为339.4米；
（2）过点B作BM⊥CD于点M，
由（1）得（米），
∵∠CDB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∠CBD＝75°，∠DCB＝60°，
∴∠DBM＝45°＝∠CDB，
∴BM＝DM，
在Rt△BDM中，，
∴（米），
在Rt△BCM中，∠CBM＝75°﹣45°＝30°，
∴（米），
∴（米），
费用为元，
答：翻新总费用为75712元．
44．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．
（参考数据：1.41，1.73，2.45）
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B，D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．
【思路点拔】（1）过点B作BE⊥AC，垂足为E，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：∠CDF＝30°，DF∥AG，从而可得∠GAD＝∠ADF＝60°，然后利用角的和差关系可得∠ADC＝90°，从而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出CD和AD的长，再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，最后进行计算比较即可解答．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC，垂足为E，
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣45°＝45°，AB＝40海里，
∴AE＝AB cos45°＝4020（海里），
BE＝AB sin45°＝4020（海里），
在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，
∴CE＝BE tan60°＝2020（海里），
∴AC＝AE+CE＝202077.2（海里），
∴A，C两港之间的距离约为77.2海里；
（2）甲货轮先到达C港，
理由：如图：
由题意得：∠CDF＝30°，DF∥AG，
∴∠GAD＝∠ADF＝60°，
∴∠ADC＝∠ADF+∠CDF＝90°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣∠GAD＝30°，
∴CDAC＝（1010）海里，
ADCD＝（1030）海里，
在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，BE＝20海里，
∴BC40（海里），
∴甲货轮航行的路程＝AB+BC＝40+4096.4（海里），
乙货轮航行的路程＝AD+CD＝103010102040105.4（海里），
∵96.4海里＜105.4海里，
∴甲货轮先到达C港．
45．如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【思路点拔】过C作CH⊥AB于H，根据三角函数的定义得到BC10（n mile），过D作DG⊥AB于G，求得∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°，得到∠CDB＝60°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过C作CH⊥AB于H，
∵∠CAB＝45°，AC＝30n mile，
∴AH＝CH＝15n mile，
∵∠CBH＝60°，
∴BC10（n mile），
过D作DG⊥AB于G，
∴∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°，
∴∠BDG＝60°，
∴∠CDB＝60°，
∴CD20（n mile），
答：C，D间的距离为20n mile．
46．如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E﹣A﹣C；②E﹣D﹣C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向．（参考数据：，）
（1）求DE的长度．（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
【思路点拔】（1）过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，根据垂直定义可得∠EFA＝∠B＝∠D＝90°，从而可得四边形EFBD是矩形，进而可得：EF＝BD，BF＝DE，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出BD的长，再在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，最后利用线段的和差关系求出BF的长，即可解答；
（2）在Rt△AEF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，然后利用（1）的结论进行计算，比较即可解答．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，
∴∠EFA＝90°，
由题意得：∠B＝∠D＝90°，
∴四边形EFBD是矩形，
∴EF＝BD，BF＝DE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝10千米，
∴BC10（千米），
∵CD＝20千米，
∴EF＝BD＝BC+CD＝30（千米），
在Rt△AEF中，∠AEF＝30°，
∴AF＝EF tan30°＝3010（千米），
∴DE＝BF＝AF+AB＝1010≈27（千米），
∴DE的长度约为27千米；
（2）他应该选择线路②，
理由：在Rt△AEF中，∠AEF＝30°，AF＝10，
∴AE＝2AF＝20（千米），
在Rt△ABC中，BC＝10千米，∠ACB＝45°，
∴AC10（千米），
∴线路①的总路程＝AE+AC＝201048.7（千米），
线路②的总路程＝ED+CD＝1010+20≈47.3（千米），
∵47.3千米＜48.7千米，
∴他应该选择线路②．
47．如图，在点B正北方的A处有一信号接收器，点C在点B的北偏东45°的方向，一电子狗P从点B向点C的方向以4cm/s的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为150cm．
（1）求出点A到线段BC的最小距离；
（2）请判断点A处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．
【思路点拔】（1）作AH⊥BC于H．求出AH即可解决问题；
（2）当AP＝150cm时，，同理HP′＝90cm，根据PP′＝180cm，求出运动时间即可解决问题．
【解答】解：（1）作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∵，∠B＝45°，
则△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝BH，，
∴AH＝BH＝120cm，
答：点A到线段BC的最小距离为120cm；
（2）∵AH＝120cm＜150cm，
∴点A处能接收到信号．
当AP＝150cm时，，
当AP′＝150cm时，HP′＝90cm，
∴PP′＝180cm，
∴可接收信号的时间．
答：可接收信号的时间45s．
48．为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形ABCD人行步道．经测量，点B在点A的正东方向．点D在点A的正北方向，AD＝1000米．点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60°方向，CD＝4000米．（参考数据：1.73）
（1）求步道BC的长度（结果保留根号）；
（2）体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C．其中AD和AB都是下坡，DC和BC都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？
【思路点拔】（1）过点C作CE⊥A交AD的延长线于点E，过点B作BG⊥CE于点G，则四边形ABGE是矩形，得EG＝AB，BG＝AE，由含30°角的直角三角形的性质得DE＝2000米，则BG＝AE＝3000米，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知，CEDE＝2000（米），CG＝BG＝3000米，求得EG＝AB＝CE﹣CG＝（20003000）（米），于是得到路线A→D→C消耗的热量为1000×0.7+4000×0.9＝4300（千卡），路线A→B→C＝（20003000）×0.7+30000.9≈6229（千卡），比较即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥A交AD的延长线于点E，过点B作BG⊥CE于点G，
则∠CED＝∠CGB＝90°，四边形ABGE是矩形，
∴EG＝AB，BG＝AE，
∵∠CDE＝60°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝30°，
∴DECD4000＝2000（米），
∴BG＝AE＝AD+DE＝1000+2000＝3000（米），
∵∠CBG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴BCBG＝3000（米），
答：步道BC的长度为3000米；
（2）他选择路线A→B→C消耗的热量更多，理由如下：
由（1）可知，CEDE＝2000（米），CG＝BG＝3000米，
∴EG＝AB＝CE﹣CG＝（20003000）（米），
∴路线A→D→C消耗的热量为1000×0.07+4000×0.09＝430（千卡），
路线A→B→C＝（20003000）×0.07+30000.09≈412.9（千卡），
∵430＞412.9，
∴他选择路线A→D→C消耗的热量更多．
49．如图，四边形ABCD是一个环湖公园的步行道，AB＝AD＝4km，B在A正东方；C在D正东方，D在A的东北方，C在B北偏东60°方向．
（1）求BC的长度（结果保留根号）；
（2）小王和小张同时从A出发，小王沿A→D→C方向跑，小张沿A→B→C方向跑，若两人速度相同，问谁先到达终点C？（参考数据：，）
【思路点拔】（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，根据题意可得：DC∥AB，从而可得DE＝CF，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出CF的长，再在Rt△BCF中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出BC的长，即可解答；
（2）根据题意可得：DC＝EF，在Rt△BCF中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出BF的长，再在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，
由题意得：DC∥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△AED中，AD＝4km，∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴km，
∴km，
在Rt△BCF中，∠CBF＝90°﹣60°＝30°，
∴km，
∴BC的长度为km；
（2）小张先到达终点C，
理由：由题意得：DC＝EF，
在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，km，
∴ km，
在Rt△AED中，AD＝4km，∠DAE＝45°，
∴ km，
∴ km，
∴小王跑的路程km，
小张跑的路程km，
∵两人速度相同，
∴小张先到达终点C．
50．今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中AB＝2km．明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．
（1）求妈妈步行的速度；
（2）求明明从C处到D处的距离．
（参考数据：sin37°≈0.8，cos37°≈0.6，tan37°≈0.75，1.73，1.41，结果保留两位小数）
【思路点拔】（1）根据正切函数求出BD的长，即路程，则速度＝路程÷时间，代入计算即可；
（2）过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，设AE＝CE＝a km，过点D作DF⊥CE于点F，得矩形BEFD，可得EF＝DB＝1.5（km），DF＝BE＝AE﹣AB＝（a﹣2）km，CF＝CE﹣EF＝（a﹣1.5）km，在Rt△CDF中，由tan∠DCF，得出（a﹣1.5）＝a﹣2，解得a，进而求得DF，然后利用30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得结果．
【解答】解：（1）根据题意可知：AB＝2km，∠BAD＝37°，
∴BD＝AB tan37°≈2×0.75＝1.5（km），
∴1.56（km/h），
答：妈妈步行的速度为6km/h；
（2）如图，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，
∵∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝a km，
过点D作DF⊥CE于点F，得矩形BEFD，
∴EF＝DB＝1.5（km），DF＝BE＝AE﹣AB＝（a﹣2）km，
∴CF＝CE﹣EF＝（a﹣1.5）km，
在Rt△CDF中，tan∠DCF，
∴tan30°，
∴（a﹣1.5）＝a﹣2，
∴a，
∴DF＝a﹣2，
∴CD＝2DF1.37（km）．
答：明明从C处到D处的距离约为1.37km．
51．如图，今年入夏以来，铜仁锦江河达到历史最低水位，一条船在锦江河某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B点，又测得航标C在北偏东45°方向上，以航标为圆心，120米长为半径的圆形区域有浅滩，如果继续前进，这条船是否有被浅滩阻碍的危险？（）
【思路点拔】过C作CD⊥AB于D，设BD＝x米，由题意可知BD＝CD＝x米，在Rt△ACD中，根据，即可列出关于x的等式，解出x，与120作比较即可．
【解答】解：这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险；理由如下：
过C作CD⊥AB于交AB延长线于点D，设BD＝x米，
∵CD⊥AB，且∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x米，
由题意可知∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ACD中，，
解得，
∵137＞120，
故这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险．
52．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为40米，C处与D处的距离为36米，．（计算结果保留整数）
（1）求入口A处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离．
【思路点拔】（1）根据题意可得：∠ABE＝90°，然后在Rt△ABE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答；
（2）先利用三角形内角和定理可得：∠D＝∠BAC＝30°，然后在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，AE＝40米，
∴BEAE＝20（米），ABBE＝2048（米），
∴入口A处到出口B处的距离为48米；
（2）∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∠ABD+∠BAC+∠AEB＝180°，∠C＝∠ABE，∠CED＝∠AEB，
∴∠D＝∠BAC＝30°，
在Rt△CDE中，CD＝36米，
∴DE24（米），
∵BE＝20米，
∴DB＝DE+BE＝242069（米），
∴海洋球D处到出口B处的距离约为69米．
53．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【思路点拔】（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，易得四边形ABMF为矩形，那么可得MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°，所以∠MBC＝60°，利用60°的三角函数值可得CM长，加上MF长即为支点C离桌面l的高度；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，分别得到CE与CN所成的角为30°和70°时EH的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．
由题意得：∠BAF＝90°，
∴四边形ABMF为矩形，
∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．
∵∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝60°．
∵BC＝18cm，
∴CM＝BC sin60°＝189（cm）．
∴CF＝CM+MF＝（92）cm．
答：支点C离桌面l的高度为（92）cm；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC＝90°．
∵DE＝24cm，CD＝6cm，
∴CE＝18cm．
当∠ECH＝30°时，EH＝CE sin30°＝189（cm）；
当∠ECH＝70°时，EH＝CE sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；
∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）
∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．
54．综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整．CA＝CB＝CD＝1.5米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角α的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
（1）如图2，当∠ACB＝90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
（2）如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时﹣14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
【思路点拔】（1）过B作BMLDE于M，在Rt△BEM中，解直角三角形求出EM，进而解答即可；
（2）过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE于M，在Rt△BEM中，解直角三角形求出EM，进而解答即可．
【解答】解：（1）如图1，过B作BM⊥DE于M，
∴CD＝BM＝1.5，BC＝DM＝1.5，
在Rt△BEM中，tan∠BEM，
即5，
∴EM＝0.3，
∴DE＝DM﹣EM＝1.5﹣0.3＝1.2．
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m．
（2）过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE 于M，
则BF＝DM＝1.2，
∴CF0.9，
∴BM＝DF＝CD﹣CF＝1.5﹣0.9＝0.6，
由表格可知，在12时﹣14时，
角a的正切值逐渐减小，即∠BEM逐渐较小，
∴当14时，点E最靠近墙角，
此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在Rt△BEM中，tan∠BEM，
即1.25，
∴EM＝0.48，
∴DE＝DM﹣EM＝1.2﹣0.48＝0.72．
答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72m．
55．居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，∠AOB＝120°，OA＝OB＝40cm；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'，并将显示屏OB旋转到O'B'的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知B'、O'、C三点在一条直线上，且B'C⊥AC，∠O'AC＝37°（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，1.73）．
（1）求散热架ACO'底边AC的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？
【思路点拔】（1）利用AC＝AO'cos∠O'AC计算即可；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，先计算BD，再解△O'AC，计算O′C＝AO′sin37°，得到B′C＝O′B+O′C，再计算B'C﹣BD即可得解．
【解答】解：（1）∵O′C⊥AC，
∴∠ACO′＝90°，
∵∠CAO′＝37°，cos37°≈0.8，
∴AC≈0.8AO′＝0.8×40＝32（cm），
答：AC的长约为32cm；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴，
∴，
∵O′C⊥OA，∠CAO′＝37°，
∴O′C＝AO′sin37°≈40×0.6＝24（cm），
∴B′C＝O′B+O′C≈40+24＝64（cm），
因为64﹣34.6＝29.4（cm）．
所以显示屏顶部B′比原来升高了约29.4cm．
56．随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA＝4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD＝53°，∠COD＝37°．
（1）求此时液压杆AB的长度；
（2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′＝27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）
【思路点拔】（1）过点A作AE⊥BD，分别解直角三角形AOE和直角三角形ABE，进行求解即可；
（2）易得GH＝CE，旋转得到OC′＝OC，解直角三角形得到GH＝CE＝0.6OC米，C′G＝OC′ sin64°≈0.9OC′米，利用C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米，求出OC的长，再减去OA的长即可得出结果．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BD，
在Rt△AEO中，OA＝4米，∠COD＝37°，
∴（米），
在Rt△AEB中，∠ABD＝53°，
∴（米）；
（2）由题意，得：GH＝CE，
在Rt△COE中，∠COD＝37°，
∴米，
∴GH＝CE＝0.6OC米，
∵OC′＝OC，∠COC′＝27°，
∴∠C′OG＝37°+27°＝64°，
在Rt△C′OG中，∠C′OG＝64°，
∴C′G＝OC′ sin64°≈0.9OC′米，
∵C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米，
∴OC＝10米，
∴AC＝OC﹣OA＝6米，
故：AC伸长到的最大长度为6米．
57．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝6m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°，点C，A，D在同一直线上，且直线CD与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果保留根号）．
【思路点拔】（1）在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，然后进行计算即可解答．
【解答】（1）在Rt△ACB中，AC＝6m，∠CAB＝60°，
∴（m），
答：AB长12m；
（2）在Rt△ACB中，AC＝6m，∠CAB＝60°，
∴BC＝ACtan60°（m），
在Rt△BCD中，∠CDB＝37°，
（m），
∴m，
答：物体上升的高度CE为m．
58．打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东53°．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯AD到达点D，，再沿DC到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，，
（1）求楼梯AD的长度；
（2）小明计划19：30出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是100m/min，如果选择路线②则可以跑步跑步的平均速度是200m/min，表演正式开始时间是20：00，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）．
【思路点拔】（1）根据勾股定理列方程求解；
（2）根据“时间＝路程÷速度”列式计算．
【解答】解：（1）如图：取点D，过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接CD，AD，
由题意得：∠BCD＝45°，∠CAB＝90°﹣53°＝37°，CD＝1600m，∠B＝90°，
∴CF＝DF＝1600m，四边形BEDF为矩形，
∴BE＝DF＝1600m，
设DE＝5x m，
∵，
∴AE＝12x m，BF＝5x m，
∵tan∠CAB，
解得：x＝100，
∴AE＝1200m，DE＝500m，
∴AD1300m，
答：楼梯AD的长度为1300米；
（2）选择路线①能赶在表演前到达点C处．
理由：按照路线①需要：35.6＞30，
∴选择路线①不能赶在表演前到达点C处，
按照路线②需要：24.5＜30，
∴选择路线②能赶在表演前到达点C处．
59．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，AH与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
（1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P，P到D的距离PD为米，P到地面的距离PE为1.2米，求点D到地面的距离DH的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【思路点拔】（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，根据题意可得：DH＝QE，AD∥PQ，从而可得∠DPQ＝∠ADP＝45°，然后在Rt△DPQ中，利用锐角三角函数的定义求出PQ的长，从而求出QE，DH的长，即可解答；
（2）当∠ADC＝36°，PE＝1.6米时，先在Rt△DPQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，从而求出PF的长，进行比较即可解答．
【解答】解：（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，
由题意得：DH＝QE，AD∥PQ，
∴∠DPQ＝∠ADP＝45°，
在Rt△DPQ中，PD米，
∴PQ＝PD cos45°1（米），
∵PE＝1.2米，
∴DH＝QE＝PE﹣PQ＝1.2﹣1＝0.2（米），
∴点D到地面的距离DH的长为0.2米；
（2）轿车能驶入小区，
理由：当∠ADC＝36°，PE＝1.6米时，
∵AD∥PQ，
∴∠ADP＝∠DPQ＝36°，
∵QE＝0.2米，
∴PQ＝PE﹣QE＝1.6﹣0.2＝1.4（米），
在Rt△DPQ中，DQ＝PQ tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米），
∴PF＝3﹣1.022＝1.978（米），
∵1.978＞1.8，
∴轿车能驶入小区．
60．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米，∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【思路点拔】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）延长OA，ED交于点M，根据题意得出∠ADM＝32°，解Rt△ADM，求得AM，根据OM＝OA+AM与3比较即可求解．
【解答】解：（1）∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝32°，
∴∠GAC＝90°﹣32°＝58°．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，DE∥OB，
∴∠DMA＝90°，
又∵∠DAM＝∠GAC＝58°，
∴∠ADM＝32°，
在Rt△ADM中，AM＝ADsin32°≈0.8×0.53＝0.424，
∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924＜3，
∴该运动员能挂上篮网．中小学教育资源及组卷应用平台
《解直角三角形的应用》同步提升训练题
1．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小明站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC＝75°，求小明到古塔的水平距离即BC的长．（结果保留根号）
2．如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌CD．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部D到地面的距离（即DH的长度）．已知测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小张在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝10m，且图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内，求DH的长．（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
3．在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡CB的坡度为，BC＝6米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为60°．
（1）α＝ 　 　度；
（2）求杨树AB的高度．（AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到0.1米，参考数据：
4．直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，PO为飞机的高度．求：
（1）∠APB的度数；
（2）求PO的长．
5．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为70米，此时无人机D距地面AB的高度为74.6米，求小区楼房BC的高度．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
6．贾老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小刚所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是，小刚和小亮制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
课题 测量古树的高度
测量工具 平面镜、测倾器和皮尺
测量示意图及说明 说明：①D、C、B、F四点共线，DE、AB均垂直于DF ②平面镜大小忽略 ③测倾器高度忽略
测量数据 小刚眼睛与地面高度DE＝1.5米，小刚到平面镜的距离CD＝3米， 平面镜到测倾器的距离为CF＝33米，∠AFB＝53°
参考数据 sin53°，cos53，tan53
请你根据以上测量报告，求古树AB的高度．
7．山城重庆，虽然山多坡多，但是很多重庆人都喜欢爬山望远．“会当凌绝顶，一览众山小”，能让人心境开阔．小育、小才和小庆三位同学相约周末爬山，因小庆临时有事，要晚一点来，小育和小才先在山脚C处集合，此时测得山顶A的仰角是45°，两人边走边聊，沿着倾斜角为30°的斜坡前进1200m到达凉亭D，在凉亭D测得山顶A的仰角为60°．（参考数据：1.41，1.73，2.45）（1）求山AB的高度（结果保留根号）．
（2）随着山路越来越陡，小育和小才两人的速度也越来越慢．若从凉亭D出发的后一段，两人的行进速度为3千米/时．当他们从凉亭D出发的同时，小庆在山脚C处乘坐观光缆车到山顶A与小育小才会合．已知观光缆车的速度为6千米/时，是小育小才还是小庆先到达山顶A？请通过计算说明．
8．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离（CE的长度）为8m，测得旗杆的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，求旗杆AB的高度．
9．如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为60°，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为45°，AP＝10m，AB＝8m，点B到地面m的距离为4m．
（1）求斜坡l的坡度；
（2）求点M与点N的高度差．
10．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求D到BC的距离；
（2）求古塔AB的高度．（结果保留根号）
11．2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以6.8m/s的速度竖直上升5s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔DE的高度．
12．小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．
国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为40°，求小雁塔的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54）
13．如图，为了测量某建筑物BC的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据测量员的测量数据．
（1）求坡顶D到AB的距离．
（2）求建筑物BC的高度．（参考数据：）
14．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°（参考数据：，，tan53°）
（1）∠AEM＝ 　 　度，∠ACN＝ 　 　度，MN＝ 　 　米；
（2）电子厂AB的高度为多少米？
15．2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．求飞船从B处到C处的距离．
16．安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号）
17．图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度AB＝980m，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求西安电视塔的高度CD．（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
18．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿BC后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离DE为1.2米；然后，苏海沿BC的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为45°，此时，测得EG＝2.1米，测倾器的高度FG＝1.2米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且AB、DE、FG均垂直于BG，求雕像的高度AB．
19．“复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的α角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点A到地面距离AB＝1.95m，旗杆底部C到B的距离CB＝9m，α＝37°．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
20．为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图2．从山脚的点A开始向山上修建坡道AB和CD，并在点B与点C之间设置一段与地面l平行的平路BC，其中AB＝CD＝600m，BC＝50m，坡道AB，CD的坡角分别为15°，45°．
（1）求点B到水平地面l的高度；
（2）求点A与点D之间的水平距离．（结果精确到1m．参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
21．瑞天时代广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3m，一楼到地平线的距离BC＝1m．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.6m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
22．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角∠ABG为12°．
（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
23．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB＝2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO＝3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH＝60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：1.41，1.73）
24．如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度CD＝6米，坡面BC的倾斜角∠CBD＝45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD＝30°．
（1）求新坡面AC的长度；
（2）试求新坡面底部点A到建筑物MN的距离．
25．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°）
26．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为23.9m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
27．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1：．
（1）求通道斜面AB的长；
（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：1.41，2.24，2.45）
28．如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）求改善后滑板AD的长为多少米？
（2）若滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据：1.414，1.732，2.449，以上结果均保留到小数点后两位）．
29．为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用、如图，在侧截面示意图中，遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°、且靠墙端离地的高AB为4米，当太阳光线CD与地面DA的夹角为60°时，求AD的长．（结果精确到0.1米：参考数据：，，，．）
30．如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于点F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
31．为满足学校日常教学和办公需求，学校为办公室采购了一批椅子．学生经查阅资料得知椅子坐面与地面保持38～44cm的距离时，对于一般成年人的坐姿舒适度最佳．如图①是学校采购的椅子，如图②是同学们从中抽离出的椅子侧面示意图，支架AB的长为65cm，与地面的夹角为60°，支架BC与地面的夹角为70°，支撑杆ED的长为10cm，且垂直于支架BC，螺帽D、F之间的距离为4cm，椅子坐面GF平行于地面AC．根据以上数据，判断这批椅子是否符合一般成年人坐姿舒适度的范围要求．（结果精确到1cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，）
32．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，sin22°，cos22°，tan22°≈0.4）
33．为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用．如图，在侧截面示意图中，遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°，且靠墙端离地的高AB为4米，当太阳光线CD与地面DA的夹角为67°时，求AD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin67°，cos67°，tan67°）
34．如图是某广场地下停车场的入口处安装雨棚左侧支架的示意图，支架的立柱AB与地面垂直，即∠BAC＝90°，且AB＝2.7米，点A，C，M在同一条水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB＝33°，支撑杆DE⊥BC于点E，该支架的边BD与BC的夹角∠DBE＝66°，且测得CE＝2.2米．求该支架的边BD的长．（结果精确至1米，参考数据：sin33°≈0.54，sin66°≈0.91，cos33°≈0.84，cos66°≈0.41，tan33°≈0.65，tan66°≈2.25）
35．科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，AM为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流AC与水平面夹角为63°时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动10cm至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，MC＝AB．
（1）求连接水管AM的长．（结果保留整数）
（2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，1.73）
36．如图，5G时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度i＝1：2.4（即DB：AB＝1：2.4）的山坡AD上加装了信号塔PQ，信号塔底端Q到坡底A的距离为13m．当太阳光线与水平线所成的夹角为53°时，且AM＝8m，ME＝9m．
（1）AQ＝　 　m，∠PEN＝　 　°；
（2）求信号塔PQ的高度大约为多少米？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
37．2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．
（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）
38．风景秀丽的阿掖山位于日照市岚山区内，是市民旅游休闲的打卡地，从阿掖山东侧的岚山驿站乘坐缆车只需要187s即可上山，为游客上下山提供了方便．如图，是阿掖山缆车索道平面图，A是山脚驿站，整个索道分为AB、BC两段，索道AB长500米，且与水平面的夹角∠1＝16°，缆车在该段上行驶速度为5m/s，索道BC与水平面的夹角∠2＝30°，缆车在该段上行驶速度为4m/s（A、B、C、O在同一平面内）．求阿掖山OC的高度．（精确到1米，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
39．郑州市政府坚持以人民为中心的发展思想和“人民至上、生命至上”理念，未雨绸缪好过亡羊补牢，对京广路隧道考虑增加多种安全措施，排除安全隐患．根据各段隧道空间情况，在不影响交通的情况下，加装了大小、形状不一的19条人行逃生爬梯．如图1，起初工程师计划修建一段坡角为50°（即∠ABC＝50°，∠BAC＝40°）的爬梯AB，从安全角度再次考虑，工程师对爬梯的设计进行了修改，如图2，修建了AD、EF两段平行的爬梯，并在中间修建了1米的水平平台DE，点C、B、F三点共线，小明实地测量后得到AC为4米，CF为5米．
（1）求修改后的爬梯坡角比修改前坡角减缓了多少度？
（2）求修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
40．某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道．已知点A在点C的正南方，点B在点C的东南方向，点D在点A的正西方，点D在点C的南偏西60°方向上，点B在点A北偏东37°方向上，若AB＝200米．（参考数据：，，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）
（1）求CD的长度；
（2）小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线A﹣D﹣C慢跑到点C，他的平均速度是400米/分．爸爸选择沿路线A﹣B﹣C散步到点C，他的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C？
41．如图，已知港口A的南偏东80°方向上有一座小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向．
（1）求此时货轮到小岛B的距离．
（2）在小岛B周围36海里范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．
42．如图，M为沙坪坝区物流中心，N，P，Q为三个菜鸟驿站，N在M的正南方向4.3km处，Q在M的正东方向，P在Q的南偏西37°方向2.5km处，N在P南偏西64方向．（sin37≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
（1）求驿站P，驿站N之间的距离（结果精确到0.1km）；
（2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心M出发，以30km/h的速度沿着M﹣N﹣P﹣Q的路线派送快递到各个驿站，派送员途径N，P两个驿站各停留6min存放快递，请计算说明派送员能否在40min内到达驿站Q？
43．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB＝240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向．（参考数据：
（1）求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）
（2）大门C在风景点D的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，翻修费用为每米200元，请计算此次翻修工程的总费用．
44．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．
（参考数据：1.41，1.73，2.45）
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B，D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．
45．如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
46．如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E﹣A﹣C；②E﹣D﹣C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向．（参考数据：，）
（1）求DE的长度．（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
47．如图，在点B正北方的A处有一信号接收器，点C在点B的北偏东45°的方向，一电子狗P从点B向点C的方向以4cm/s的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为150cm．
（1）求出点A到线段BC的最小距离；
（2）请判断点A处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．
48．为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形ABCD人行步道．经测量，点B在点A的正东方向．点D在点A的正北方向，AD＝1000米．点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60°方向，CD＝4000米．（参考数据：1.73）
（1）求步道BC的长度（结果保留根号）；
（2）体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C．其中AD和AB都是下坡，DC和BC都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？
49．如图，四边形ABCD是一个环湖公园的步行道，AB＝AD＝4km，B在A正东方；C在D正东方，D在A的东北方，C在B北偏东60°方向．
（1）求BC的长度（结果保留根号）；
（2）小王和小张同时从A出发，小王沿A→D→C方向跑，小张沿A→B→C方向跑，若两人速度相同，问谁先到达终点C？（参考数据：，）
50．今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中AB＝2km．明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．
（1）求妈妈步行的速度；
（2）求明明从C处到D处的距离．
（参考数据：sin37°≈0.8，cos37°≈0.6，tan37°≈0.75，1.73，1.41，结果保留两位小数）
51．如图，今年入夏以来，铜仁锦江河达到历史最低水位，一条船在锦江河某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B点，又测得航标C在北偏东45°方向上，以航标为圆心，120米长为半径的圆形区域有浅滩，如果继续前进，这条船是否有被浅滩阻碍的危险？（）
52．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为40米，C处与D处的距离为36米，．（计算结果保留整数）
（1）求入口A处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离．
53．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
54．综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整．CA＝CB＝CD＝1.5米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角α的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
（1）如图2，当∠ACB＝90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
（2）如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时﹣14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
55．居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，∠AOB＝120°，OA＝OB＝40cm；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'，并将显示屏OB旋转到O'B'的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知B'、O'、C三点在一条直线上，且B'C⊥AC，∠O'AC＝37°（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，1.73）．
（1）求散热架ACO'底边AC的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？
56．随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA＝4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD＝53°，∠COD＝37°．
（1）求此时液压杆AB的长度；
（2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′＝27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）
57．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝6m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°，点C，A，D在同一直线上，且直线CD与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果保留根号）．
58．打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东53°．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯AD到达点D，，再沿DC到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，，
（1）求楼梯AD的长度；
（2）小明计划19：30出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是100m/min，如果选择路线②则可以跑步跑步的平均速度是200m/min，表演正式开始时间是20：00，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）．
59．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，AH与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
（1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P，P到D的距离PD为米，P到地面的距离PE为1.2米，求点D到地面的距离DH的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
60．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米，∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）