2024-2025学年天津市耀华中学红桥学校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市耀华中学红桥学校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是( )
A. B. C. D.
2.已知为抛物线：的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为( )
A. B. C. D.
3.若点在圆的外部，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.两条平行的直线分别经过点，，它们之间的距离满足的条件是( )
A. B. C. D.
5.若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围( )
A. B. C. D.
7.若直线：与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
8.已知为圆上任意一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，直线的方程为，若圆上有且仅有个点到直线的距离为，则直线的倾斜角为( )
A. 或 B. 或 C. D.
10.，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点到直线：和：的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
12.德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？结论是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大人们称这一命题为米勒定理在平面直角坐标系内，已知，，点是直线：上一动点，当最大时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.已知直线与直线平行，则实数的值为______．
14.已知圆：，直线：，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为______．
15.已知双曲线过点且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程是______．
16.已知为椭圆：的两个焦点，若点在椭圆上，且满足，则椭圆的方程为 ．
17.已知点是双曲线左支上一点，是双曲线的左、右两个焦点，且，与两条渐近线相交于，两点如图，点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______．
18.三角形中，顶点，点在直线上，点在轴上，则三角形周长的最小值为______．
19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线：上任意一点，则的最小值为______．
20.已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为______．
三、解答题：本题共3小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点．
求圆的方程；
过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
22.本小题分
已知椭圆：经过点，，点是椭圆的下顶点．
求椭圆的标准方程；
过点且互相垂直的两直线，与直线分别相交于，两点，已知，求直线的斜率．
23.本小题分
已知椭圆：经过点，期左、右焦点分别为、，过的一条直线与椭圆交于、两点，的周长为
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、均异于点，证明直线与斜率之和为定值．
参考答案
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21.解：由题意得圆心在过点和直线垂直的直线上，
该直线方程为，即，
联立，解得，即圆心为，
半径为，
故圆方程为；
由于，故在圆外，
过点的直线被圆截得的弦长为，
若直线斜率不存在，则方程为，
圆心到的距离为，则弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到的距离为，
由于直线被圆截得的弦长为，
故，解得，故直线的方程为，
综合得直线的方程为或．
22.解：根据题意，椭圆：经过点，，
则有，解得，
所以椭圆的标准方程为；
由题意知，直线，的斜率存在且不为零，
设直线：，与直线联立方程有，得，
设直线：，同理，
因为，所以，
，无实数解；
，，，解得，
综上可得，直线的斜率为．
23.解：Ⅰ由已知可知 的周长为，，得，
又椭圆经过点，得，
椭圆的方程为分
证明：Ⅱ由题设可设直线的方程为，，
化简，得，代入，得，
由已知，设，，，
则，，分
从而直线，的斜率之和
分
，
故直线与斜率之和为定值分
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